{"id":23750,"date":"2014-10-01T02:00:58","date_gmt":"2014-10-01T05:00:58","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=23750"},"modified":"2022-12-24T22:21:16","modified_gmt":"2022-12-25T01:21:16","slug":"probleminha-um-pedido-codificado","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-um-pedido-codificado\/","title":{"rendered":".Problema: Um pedido codificado"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

\n

Um filho matem\u00e1tico escreve ao pai, tamb\u00e9m matem\u00e1tico, pedindo dinheiro.
\nDesejando que o valor solicitado fosse expresso por meio de um c\u00f3digo, o filho escreve a soma do n\u00famero SEND <\/strong> com o n\u00famero MORE <\/strong> cujo resultado \u00e9 o n\u00famero MONEY <\/strong>, valor solicitado por ele: <\/p>\n

\"Co\u0301digo<\/p>\n

Na adi\u00e7\u00e3o codificada, cada letra representa um \u00fanico algarismo e um algarismo \u00e9 representado por uma \u00fanica letra; assim, quanto pediu o filho?<\/p><\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\n

\n

Observe, inicialmente, que na adi\u00e7\u00e3o apresentada s\u00e3o utilizadas [tex]8 [\/tex] letras diferentes, ou seja, [tex]8[\/tex] algarismos diferentes, j\u00e1 que cada letra representa um \u00fanico algarismo e cada algarismo s\u00f3 \u00e9 representado por uma \u00fanica letra.
\nComo a soma de dois algarismos distintos apresenta valor m\u00e1ximo [tex]17[\/tex] ([tex]9+8=17[\/tex]) e valor m\u00ednimo [tex]1[\/tex] ([tex]0+1=1[\/tex]), ent\u00e3o, a partir da coluna das dezenas do esquema da adi\u00e7\u00e3o apresentado, pode ser adicionado [tex]1[\/tex] \u00e0 soma dos algarismos de cada coluna (o famoso “vai 1”<\/em>). Para ajudar, vamos colocar um “vai 1”<\/em> nas colunas da segunda, terceira, quarta e quinta somas de algarismos (da direita para esquerda), como representamos a seguir. Durante a discuss\u00e3o do problema, verificaremos se o “vai 1”<\/em> de cada coluna ocorre de fato ou n\u00e3o.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

    \n
  • MONEY<\/strong> \u00e9 um n\u00famero de cinco algarismos, logo podemos concluir que o quarto “vai 1”<\/em> realmente ocorre<\/strong> e, portanto, [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#CDE1F3}{$M=1$}\\,[\/tex].
    \nFicamos, a princ\u00edpio, com o seguinte esquema da adi\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n<\/li>\n

  • Como [tex]S[\/tex] \u00e9 no m\u00e1ximo [tex]9[\/tex], ent\u00e3o a soma dos algarismos dos milhares apresenta valor [tex]11[\/tex] ou [tex]10[\/tex].
    \nA ocorr\u00eancia do valor [tex]11[\/tex] implicaria [tex]O=1[\/tex] ([tex]1\\underline{1}=10+\\underline{1}[\/tex]) e neste caso ter\u00edamos [tex] M=O=1[\/tex], o que n\u00e3o pode acontecer, j\u00e1 que letras distintas representam algarismos distintos. Portanto, a soma dos algarismos dos milhares \u00e9 [tex]10[\/tex], donde conclu\u00edmos que [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#CDE1F3}{$O=0$}\\,[\/tex] .
    \nPodemos, ent\u00e3o, reescrever o esquema da adi\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

    \"\"\n<\/p>\n<\/li>\n

  • Agora, observe a coluna das centenas no esquema anterior. Como devemos ter [tex]E \\ne N[\/tex], ent\u00e3o aparece o “vai 1”<\/em> na coluna das centenas<\/strong>, pois, do contr\u00e1rio, ter\u00edamos [tex]N=E+0=E[\/tex].\n

    \n\"\"\n<\/p>\n<\/li>\n

  • Sendo a soma dos algarismos dos milhares igual a [tex]10[\/tex], temos duas possibilidades:
    \n[tex]\\qquad 1+S+1=10[\/tex] (ocorre o “vai 1”<\/em> na coluna dos milhares) e, portanto, [tex]S=8[\/tex]
    \nou
    \n[tex]\\qquad S+1=10[\/tex] (n\u00e3o ocorre o “vai 1”<\/em> na coluna dos milhares) e, portanto, [tex]S=9[\/tex].
    \nAnalisemos essas duas possibilidades.<\/p>\n

    \n

    Possibilidade 1<\/strong>
    \n\"\"
    \nEsta possibilidade nos leva a um absurdo, j\u00e1 que, na coluna das centenas, [tex]1+ E + 0 \\ge 10[\/tex] , o que s\u00f3 \u00e9 poss\u00edvel para [tex] E=9 [\/tex] e, neste caso, ter\u00edamos [tex]N=O=0[\/tex].
    \nEnt\u00e3o, \u00e9 a Possibilidade<\/strong> 2 que ocorre.<\/p>\n

    \n

    Possibilidade 2<\/strong>
    \nTemos, ent\u00e3o, necessariamente [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#CDE1F3}{$S=9$}[\/tex] e n\u00e3o aparece o “vai 1”<\/em> na coluna dos milhares<\/strong>:<\/p>\n

    \"\"<\/p>\n<\/li>\n

  • Analisando as colunas das centenas e das dezenas do esquema da adi\u00e7\u00e3o, conclu\u00edmos que:
    \n [tex]\\qquad (i)\\, N=E+1[\/tex]
    \ne
    \n [tex]\\qquad (ii)\\, N + R=10 + E[\/tex]     ou     [tex] N + R + 1 =10+E [\/tex]
    \nAnalisemos as duas possibilidades da conclus\u00e3o [tex](ii)[\/tex]:
    \na)<\/strong> Se [tex] N+R=10+E [\/tex], segue que:
    \n[tex]\\qquad (E+1)+R=10+E \\\\
    \n\\qquad R=9 [\/tex]
    \n e assim [tex] R=S=9[\/tex], o que n\u00e3o pode ocorrer.
    \nb)<\/strong> Temos, ent\u00e3o, que [tex] N+R+1=10+E\\,[\/tex] e, portanto,
    \n[tex]\\qquad (E+1)+R+1=10+E\\\\
    \n\\qquad \\,\\fcolorbox{black}{#CDE1F3}{$R=8$}\\, .[\/tex]
    \nNote que, neste caso, o “vai 1”<\/em> na coluna das dezenas ocorre<\/strong>. Assim:<\/p>\n

    \"\"\n<\/p>\n<\/li>\n

  • Perceba que, da conclus\u00e3o [tex](i)[\/tex], temos que [tex]E\\,[\/tex] e [tex]\\,N[\/tex] s\u00e3o algarismos consecutivos, sendo [tex]N[\/tex] o sucessor de [tex]E[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

    Resta descobrir os valores das letras [tex] E,\\,N,\\,D,\\,Y[\/tex] entre os algarismos [tex]2,\\,3,\\,4,\\,5,\\,6\\,[\/tex] e [tex]\\,7[\/tex]. Vamos l\u00e1!<\/p>\n