{"id":23586,"date":"2014-09-29T11:12:47","date_gmt":"2014-09-29T14:12:47","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=23586"},"modified":"2023-05-31T23:31:38","modified_gmt":"2023-06-01T02:31:38","slug":"problema-um-experimento-com-velas","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-um-experimento-com-velas\/","title":{"rendered":".Problema: Um experimento com velas"},"content":{"rendered":"<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#800000\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Duas velas t\u00eam formatos cil\u00edndricos, mas comprimentos e di\u00e2metros diferentes. Depois de acesas, a mais longa queimou totalmente em 7 horas e a menor, em 10 horas.<br \/>\nSabendo que, ap\u00f3s queimarem juntas durante 4 horas, elas ficaram com o mesmo comprimento, qual a raz\u00e3o entre os comprimentos iniciais da menor e da maior vela?<\/p>\n<p style=\"font-size:13px;text-align:center\">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/f212_1.png\" alt=\"\"  style=\"border: none;\" width=\"400\" height=\"325\" class=\"aligncenter size-full wp-image-180704\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/f212_1.png 400w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/f212_1-300x244.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 400px) 100vw, 400px\" \/>Imagem adaptada de  <a href=\"https:\/\/br.freepik.com\/fotos-vetores-gratis\/vela\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Freepik.com<\/a><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Sejam [tex]l_1[\/tex] e [tex]l_2[\/tex] os comprimentos iniciais das velas, com [tex]l_1 > l_2[\/tex].<br \/>\nVamos supor que o material das velas \u00e9 uniforme; logo, a velocidade de queima \u00e9 constante ao longo do experimento.<br \/>\nAssim, considerando as velocidades de queima em comprimento por hora, temos que  [tex]v_1 = \\dfrac{l_1}{7}[\/tex] e [tex]v_2 = \\dfrac{l_2}{10}[\/tex].<br \/>\nAp\u00f3s quatro horas, o comprimento consumido na maior vela ser\u00e1 [tex]v_1 \\cdot 4[\/tex] e, na menor vela, [tex]v_2 \\cdot 4[\/tex]. Como as duas velas ficaram com o mesmo comprimento, segue que:<br \/>\n[tex]\\qquad l_1-v_1 \\cdot 4 = l_2-v_2 \\cdot 4\\\\<br \/>\n\\qquad  l_1-\\dfrac{l_1}{7}\\cdot 4 = l_2-\\dfrac{l_2}{10} \\cdot 4\\\\<br \/>\n\\qquad  \\dfrac{3\\,l_1}{7} =\\dfrac{6\\,l_2}{10}\\\\<br \/>\n\\qquad  \\dfrac{l_2}{l_1} = \\dfrac{5}{7}\\,.[\/tex]<br \/>\nAssim, a raz\u00e3o entre os comprimentos iniciais da menor e da maior vela \u00e9 [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{5}{7}$}[\/tex] .<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:25px;margin:10px\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 10px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"margin:20px\">\n<p>Sejam [tex]h_1[\/tex] e [tex]h_2[\/tex] os comprimentos iniciais das velas, com [tex]h_1 > h_2[\/tex].<br \/>\n\t\tPelas informa\u00e7\u00f5es do problema, a vela mais longa queimou totalmente em [tex]7[\/tex] horas e a outra queimou em [tex]10[\/tex] horas. Assim, a cada hora, a vela mais alta perde [tex]1\/7[\/tex] de sua altura e, a outra, [tex]1\/10[\/tex]; ou seja, [tex]\\dfrac{h_1}{7}[\/tex] e [tex]\\dfrac{h_2}{10}[\/tex] respectivamente.<\/p>\n<ul>\tCom isso, ap\u00f3s queimarem juntas por quatro horas:<\/p>\n<p style=\"margin:20px\">\n<ul>\n<li> a mais longa perdeu [tex]4 \\times \\dfrac{h_1}{7}= \\dfrac{4h_1}{7}[\/tex] da sua altura e, portanto, ficou com<br \/>\n[tex] \\qquad h_1-\\dfrac{4h_1}{7}=\\boxed{\\dfrac{3h_1}{7}}[\/tex] de altura;<\/li>\n<li>a mais curta perdeu [tex]4 \\times \\dfrac{h_2}{10}= \\dfrac{4h_2}{10}[\/tex] da sua altura  e, portanto, ficou com<br \/>\n[tex] \\qquad h_2-\\dfrac{4h_2}{10}=\\boxed{\\dfrac{6h_2}{10}}[\/tex] de altura. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Observem a figura abaixo.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/f214.png\" alt=\"\" style=\"border: none;\" width=\"553\" height=\"600\" class=\"aligncenter size-full wp-image-180713\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/f214.png 553w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2022\/05\/f214-277x300.png 277w\" sizes=\"auto, (max-width: 553px) 100vw, 553px\" \/><br \/>\n\tMas ap\u00f3s queimarem por quatro horas, essas alturas s\u00e3o iguais; logo temos que:<br \/>\n[tex]~~\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{3h_1}{7}=\\dfrac{6h_2}{10}\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{3h_1}{7}=\\dfrac{3h_2}{5}\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{h_1}{7}=\\dfrac{h_2}{5}\\\\<br \/>\n\\qquad \\dfrac{h_2}{5}= \\dfrac{h_1}{7}\\\\<br \/>\n \\qquad \\dfrac{h_2}{h_1} = \\dfrac{5}{7}\\,.[\/tex]\n<\/ul>\n<p>Assim, a raz\u00e3o entre os comprimentos iniciais da menor e da maior vela \u00e9 [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\dfrac{5}{7}$}[\/tex] .<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Duas velas t\u00eam formatos cil\u00edndricos, mas comprimentos e di\u00e2metros diferentes. Depois de acesas, a mais longa queimou totalmente em 7 horas e a menor, em 10 horas. Sabendo que, ap\u00f3s queimarem juntas durante 4 horas, elas ficaram com o mesmo comprimento, qual a raz\u00e3o entre &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-um-experimento-com-velas\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":179,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"open","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-23586","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/23586","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/179"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=23586"}],"version-history":[{"count":41,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/23586\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":192685,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/23586\/revisions\/192685"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=23586"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}