\n
Problema Considere n\u00fameros de tr\u00eas d\u00edgitos formados com os algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4}.<\/p>\n Uma transforma\u00e7\u00e3o do tipo A altera o primeiro e o terceiro d\u00edgito, substituindo cada um pelo pr\u00f3ximo d\u00edgito na ordem crescente. Caso o d\u00edgito seja 4, ele retorna para 1 (ciclo: 1 \u2192 2 \u2192 3 \u2192 4 \u2192 1).<\/p>\n Uma transforma\u00e7\u00e3o do tipo B altera todos os tr\u00eas d\u00edgitos da mesma forma, cada um sendo substitu\u00eddo pelo pr\u00f3ximo na ordem, com retorno de 4 para 1.<\/p>\n Uma transforma\u00e7\u00e3o do tipo C altera o primeiro e o segundo d\u00edgito, tamb\u00e9m substituindo cada um pelo pr\u00f3ximo na ordem crescente, com retorno de 4 para 1.<\/p>\n Por exemplo, partindo do n\u00famero 321, a aplica\u00e7\u00e3o de uma \u00fanica transforma\u00e7\u00e3o produz:<\/p>\n Sabendo disso, descreva uma sequ\u00eancia de transforma\u00e7\u00f5es que converta o n\u00famero 111 no n\u00famero 421.<\/p>\n \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Aplicando A (2 vezes):<\/strong> Aplicando B (2 vezes):<\/strong> Aplicando C (3 vezes):<\/strong> Resultado final: 421<\/strong><\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Os Matem\u00e1ticos<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Observe que a ordem em que as transforma\u00e7\u00f5es s\u00e3o aplicadas n\u00e3o altera o resultado final e, al\u00e9m disso, a cada quatro aplica\u00e7\u00f5es de uma transforma\u00e7\u00e3o os resultados se repetem (o leitor est\u00e1 convidado a verificar estas afirma\u00e7\u00f5es). Seja [tex]x[\/tex] o n\u00famero de vezes que a transforma\u00e7\u00e3o do tipo A \u00e9 usada, [tex]y[\/tex] o n\u00famero de vezes que a transforma\u00e7\u00e3o do tipo B \u00e9 usada e [tex]z[\/tex] o n\u00famero de vezes que a transforma\u00e7\u00e3o do tipo C \u00e9 usada. <\/p>\n Com isso, podemos dizer que <\/p>\n Assim, o resto da divis\u00e3o de Logo, devemos usar a transforma\u00e7\u00e3o do tipo A uma quantidade de vezes que deixa resto [tex]2[\/tex] quando dividida por [tex]4[\/tex]. Como cada uma das transforma\u00e7\u00f5es \u00e9 c\u00edclica com per\u00edodo [tex]4[\/tex], vamos us\u00e1-la apenas [tex]2[\/tex] vezes. <\/p>\n O resto da divis\u00e3o de Finalmente, como [tex]x+y[\/tex] deixa resto [tex]0[\/tex], quando dividido por [tex]4[\/tex], e [tex]x=2[\/tex], ent\u00e3o [tex]y=2[\/tex], ou qualquer outro n\u00famero que deixa resto [tex]2[\/tex] quando dividido por [tex]4[\/tex]. Assim, uma forma de transformar o [tex]111[\/tex] em [tex]421[\/tex] \u00e9 por meio das transforma\u00e7\u00f5es AABBCCC. <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Considere n\u00fameros de tr\u00eas d\u00edgitos formados com os algarismos do conjunto {1, 2, 3, 4}. Uma transforma\u00e7\u00e3o do tipo A altera o primeiro e o terceiro d\u00edgito, substituindo cada um pelo pr\u00f3ximo d\u00edgito na ordem crescente. Caso o d\u00edgito seja 4, ele retorna para 1 … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\n\n
\nEstado inicial:<\/strong>
\n111 \u2192 (1,1,1)<\/p>\n
\nLembre que A incrementa o 1\u00ba e o 3\u00ba d\u00edgito.
\n1. Primeiro A:<\/strong>
\n(1,1,1) \u2192[A] (2,1,2)
\n2. Segundo A:<\/strong>
\n(2,1,2) \u2192[A] (3,1,3)<\/p>\n
\nB incrementa todos os 3 d\u00edgitos.
\n1. Primeiro B:<\/strong>
\n(3,1,3) \u2192 (4,2,4)
\n2. Segundo B:<\/strong>
\n(4,2,4) \u2192 (1,3,1)<\/p>\n
\nC incrementa o 1\u00ba e o 2\u00ba d\u00edgito.
\n1. Primeiro C:<\/strong>
\n(1,3,1) \u2192[C] (2,4,1)
\n2. Segundo C:<\/strong>
\n(2,4,1) \u2192[C] (3,1,1)
\n3. Terceiro C:<\/strong>
\n(3,1,1) \u2192[C] (4,2,1)<\/p>\n
\n
\n\n
\n[tex]\\qquad{(x+y+z)-(y+z)=x}[\/tex]
\npor [tex]4[\/tex] \u00e9 [tex]2[\/tex]. <\/p>\n
\n[tex]\\qquad{(x+y+z)-(x+y)=z}[\/tex]
\npor [tex]4[\/tex] \u00e9 [tex]3[\/tex]. Assim, devemos usar a transforma\u00e7\u00e3o do tipo C uma quantidade de vezes que deixa resto [tex]3[\/tex] quando dividida por [tex]4[\/tex]. Como cada uma das transforma\u00e7\u00f5es \u00e9 c\u00edclica com per\u00edodo [tex]4[\/tex], vamos us\u00e1-la apenas [tex]3[\/tex] vezes. <\/p>\n
\n