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Problema \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n De fato, pela identidade do seno da soma, temos: Assim, para que [tex]R\\,\\mbox{sen}(3x)\\cos(\\alpha)+R\\,\\mbox{sen}(\\alpha)\\cos(3x)[\/tex] seja igual a [tex]\\sqrt{3}\\mbox{sen}(3x)+\\cos(3x)[\/tex], basta que tenhamos as igualdades Elevando ambos os membros das duas igualdades acima ao quadrado, obtemos Somando-as, segue que devemos ter Pela rela\u00e7\u00e3o fundamental da trigonometria, [tex]\\mbox{sen}^2(\\alpha)+\\cos^2(\\alpha)=1[\/tex] para qualquer [tex]\\alpha[\/tex]. Assim, [tex]R^2=4[\/tex]. <\/p>\n Logo, [tex]R=2[\/tex] ou [tex]R=-2[\/tex]. Analisaremos os dois casos.<\/p>\n Se [tex]R=-2[\/tex], as igualdades se tornam Escolhendo [tex]R=2[\/tex], as igualdades se tornam Portanto, como quer\u00edamos provar, a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] tamb\u00e9m pode ser escrita sob a forma [tex]f(x) = 2\\mbox{sen}(3x+\\alpha)[\/tex]. Como o valor m\u00e1ximo da fun\u00e7\u00e3o seno \u00e9 [tex]1[\/tex], o maior valor que a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] atinge \u00e9 [tex]2\\cdot 1 = \\boxed{2}[\/tex].<\/p>\n Observa\u00e7\u00e3o: embora o valor de [tex]\\alpha[\/tex] n\u00e3o seja importante, ele pode ser encontrado facilmente. De fato, de [tex] \\cos(\\alpha) = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}[\/tex] e [tex]\\mbox{sen}(\\alpha) = \\dfrac{1}{2}[\/tex], e considerando [tex]0\\lt \\alpha\\lt \\dfrac{\\pi}{2}[\/tex], segue que [tex]\\alpha = \\dfrac{\\pi}{6} \\text{ rad}=30^\\circ.[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Qual o maior valor que a fun\u00e7\u00e3o [tex]f(x) = \\sqrt{3} \\mbox{sen}(3x)+\\cos(3x)[\/tex] atinge? Solu\u00e7\u00e3o Afirmamos que a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] pode ser escrita sob a forma [tex]f(x) = R\\,\\mbox{sen}(3x+\\alpha),[\/tex] para algum [tex]R[\/tex] e algum [tex]\\alpha[\/tex]. De fato, pela identidade do seno da soma, temos: [tex]\\qquad \\mbox{sen}(3x + … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nQual o maior valor que a fun\u00e7\u00e3o [tex]f(x) = \\sqrt{3} \\mbox{sen}(3x)+\\cos(3x)[\/tex] atinge?\n<\/div>\n
\nAfirmamos que a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] pode ser escrita sob a forma [tex]f(x) = R\\,\\mbox{sen}(3x+\\alpha),[\/tex] para algum [tex]R[\/tex] e algum [tex]\\alpha[\/tex].<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\mbox{sen}(3x + \\alpha) = \\mbox{sen}(3x)\\cos(\\alpha)+\\mbox{sen}(\\alpha)\\cos(3x).[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad R\\cos(\\alpha) = \\sqrt{3}[\/tex] e [tex]R\\,\\mbox{sen}(\\alpha) = 1.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad R^2\\cos^2(\\alpha) = 3[\/tex] e [tex]R^2\\,\\mbox{sen}^2(\\alpha) = 1.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad R^2(\\mbox{sen}^2(\\alpha)+\\cos^2(\\alpha)) = 4.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\cos(\\alpha)=-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}[\/tex] e [tex]\\mbox{sen}(\\alpha)=-\\dfrac{1}{2},[\/tex]
\nque s\u00e3o satisfeitas por [tex]\\alpha=\\dfrac{7\\pi}{6}[\/tex]. Nesse caso,
\n[tex]\\qquad f(x)=-2\\mbox{sen}\\left(3x+\\dfrac{7\\pi}{6}\\right).[\/tex]
\nComo o seno assume valores entre [tex]-1[\/tex] e [tex]1[\/tex], o maior valor dessa express\u00e3o ocorre quando o seno vale [tex]-1[\/tex], resultando em [tex]-2\\cdot(-1)=2[\/tex]. Esse valor \u00e9 atingido, por exemplo, quando [tex]x=\\dfrac{\\pi}{9}[\/tex].<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\cos(\\alpha) = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}[\/tex] e [tex]\\mbox{sen}(\\alpha) = \\dfrac{1}{2},[\/tex]
\nas quais possuem uma solu\u00e7\u00e3o [tex]\\alpha[\/tex] no intervalo [tex]0\\lt \\alpha\\lt \\dfrac{\\pi}{2}[\/tex]. <\/p>\n
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