{"id":229733,"date":"2026-08-04T20:16:49","date_gmt":"2026-08-04T23:16:49","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=229733"},"modified":"2026-08-04T20:16:49","modified_gmt":"2026-08-04T23:16:49","slug":"problemao-racional-ou-irracional","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-racional-ou-irracional\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Racional ou irracional?"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nO n\u00famero [tex] \\sqrt{3+2\\sqrt{2}} – \\sqrt{3-2\\sqrt{2}}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero racional ou um n\u00famero irracional? <\/p>\n

Extra\u00eddo de Col\u00e9gio Naval<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nInicialmente, note que [tex] \\sqrt{3+2\\sqrt{2}}[\/tex] \u00e9 maior do que [tex] \\sqrt{3-2\\sqrt{2}}[\/tex], ou seja, podemos afirmar que a express\u00e3o num\u00e9rica representa um n\u00famero positivo. <\/p>\n

Representando por [tex]x[\/tex] o valor dessa express\u00e3o, temos:
\n[tex]\\qquad x= \\sqrt{3+2\\sqrt{2}} – \\sqrt{3-2\\sqrt{2}},[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^{2} = (\\sqrt{3+2\\sqrt{2}} – \\sqrt{3-2\\sqrt{2}})^2[\/tex].<\/p>\n

Desenvolvendo o produto not\u00e1vel:
\n[tex]\\qquad x^2 = (\\sqrt{3+2\\sqrt{2}})^2 – 2\\cdot(\\sqrt{3+2\\sqrt{2}})\\cdot (\\sqrt{3-2\\sqrt{2}})+ (\\sqrt{3-2\\sqrt{2}})^2,[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2 = 3+2\\sqrt{2}- 2\\cdot \\sqrt{(3+2\\sqrt{2})\\cdot(3-2\\sqrt{2})}+ 3-2\\sqrt{2},[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2= 6-2\\sqrt{9-8},[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2=6-2,[\/tex]
\n[tex]\\qquad x^2=4[\/tex].<\/p>\n

Como [tex]x[\/tex] \u00e9 um n\u00famero positivo, [tex]x=2[\/tex]. Portanto, [tex] \\sqrt{3+2\\sqrt{2}} – \\sqrt{3-2\\sqrt{2}}[\/tex] \u00e9 um n\u00famero racional.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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