{"id":229566,"date":"2026-06-20T12:14:59","date_gmt":"2026-06-20T15:14:59","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=229566"},"modified":"2026-06-20T12:14:59","modified_gmt":"2026-06-20T15:14:59","slug":"sala-de-estudos-principio-da-reflexao","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudos-principio-da-reflexao\/","title":{"rendered":".Sala de Estudos: Princ\u00edpio da Reflex\u00e3o"},"content":{"rendered":"<div class=\"gr1 cbro3\" style=\"color: #190911; padding:30px; font-size: 15px; padding-bottom:10px;\">\n<p class=\"ti1 cro \" style=\"line-height:38px; font-size:31px; margin:1px\"> Princ\u00edpio da Reflex\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:3px; width:100%;background-color:#993366;   margin-top: 30px; margin-bottom: 30px; border: 0 none\"\/>\n<p>Durante o estudo da <span class=\"ti4 cro\"><strong>An\u00e1lise Combinat\u00f3ria<\/strong><\/span>, s\u00e3o apresentadas diversas t\u00e9cnicas de contagem aplicadas a diferentes tipos de problemas. Naturalmente, algumas delas, especialmente as mais elementares, aparecem com maior frequ\u00eancia nas resolu\u00e7\u00f5es. O objetivo desta sala de estudos \u00e9 apresentar uma nova t\u00e9cnica de contagem, o <span class=\"ti4 cro\"><strong>Princ\u00edpio da Reflex\u00e3o<\/strong><\/span>, utilizada na resolu\u00e7\u00e3o de problemas de olimp\u00edadas e, em alguns casos, tamb\u00e9m em vestibulares que exigem uma abordagem matem\u00e1tica mais avan\u00e7ada.<\/p>\n<p>Iniciaremos os nossos estudos aprendendo (ou relembrando) o que s\u00e3o <strong>anagramas<\/strong>. <\/p>\n<p style=\"margin:30px;\">\n<div class=\"gr1 cbro3\"  style=\"width:95%; text-align:justify; border: dotted 2px #993366; line-height: 20px;\"><strong>Anagrama <\/strong>\u00e9 toda palavra formada com as mesmas letras de uma dada palavra, podendo ou n\u00e3o ter sentido na linguagem usual.<br \/>\nAssim, os anagramas de uma dada palavra s\u00e3o as palavras obtidas pelo &quot;embaralhamento&quot; das letras da palavra original (manter as letras mudando ou n\u00e3o a ordem).<\/p>\n<ul>\n<li>A palavra [tex]PORTA[\/tex], por exemplo, possui v\u00e1rios anagramas que fazem sentido na linguagem usual, veja alguns:<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<ul>\n<li>[tex]PARTO[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]TRAPO[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]RAPTO[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]TOPAR[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]OPTAR[\/tex]<\/li>\n<li> [tex]PRATO[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]TROPA[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>H\u00e1 tamb\u00e9m anagramas que n\u00e3o fazem sentido na linguagem usual, por exemplo:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]PTORA[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]OARPT[\/tex]<\/li>\n<li>[tex]TORAP[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p><span style=\"font-size:20px;color: #993366;\"> &#9658;<\/span> <strong> Exibimos acima alguns anagramas da palavra [tex]PORTA \\, [\/tex]. E se quis\u00e9ssemos saber quantos anagramas essa palavra  possui?<\/strong><\/p>\n<p>A ideia de &#8220;embaralhar&#8221; as letras \u00e9 a mesma que a de permut\u00e1-las; portanto, a palavra  [tex]PORTA[\/tex] possui:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 5!=5\\times 4\\times 3\\times 2\\times 1=120[\/tex] anagramas.<br \/>\nVamos visualizar essa conta?<\/p>\n<ul>\n<li>Observe, inicialmente, o n\u00famero de escolhas para cada posi\u00e7\u00e3o das letras, lembrando que as letras n\u00e3o se repetem.<\/li>\n<\/ul>\n<p style=\"margin:10px; text-align:center\">\n[tex]\\begin{array}{c c c c c}<br \/>\n\\textcolor{#993366}{5}\\text{ escolhas}&#038;\\textcolor{#993366}{4}\\text{ escolhas}&#038;\\textcolor{#993366}{3}\\text{ escolhas}&#038;\\textcolor{#993366}{2}\\text{ escolhas}&#038;\\textcolor{#993366}{1}\\text{ escolha}\\\\<br \/>\n\\overline{\\text{primeira letra}}&#038;\\overline{\\text{segunda letra}}&#038;\\overline{\\text{terceira letra}}&#038; \\overline{\\text{quarta letra}}&#038; \\overline{\\text{quinta letra}}<br \/>\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<ul>\n<li>Assim, pelo Princ\u00edpio Fundamental da Contagem, o n\u00famero de modos distintos de embaralharmos as letras da palavra [tex]PORTA \\, [\/tex] \u00e9 dado por [tex]  \\, \\fcolorbox{#993366}{#ddebe8}{$\\textcolor{#993366}{5}\\times \\textcolor{#993366}{4}\\times \\textcolor{#993366}{3}\\times \\textcolor{#993366}{2}\\times \\textcolor{#993366}{1}=120$} \\, .[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gr1\" style=\"border: solid 2px #993366\">\n<strong>E se houver letras repetidas? Por exemplo:<\/strong> Quantos anagramas a palavra \u201cARARAS\u201d possui? <\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cro cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbro7\" style=\"display: none;\">\nComo a palavra tem seis letras, podemos permut\u00e1-las de [tex]6![\/tex] maneiras. No entanto, h\u00e1 tr\u00eas letras A e duas letras R id\u00eanticas, o que gera contagens repetidas. Para corrigir isso, dividimos por [tex]3![\/tex] e [tex]2![\/tex]. Assim, obtemos<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\dfrac{6!}{3! \\cdot 2!}=60[\/tex],<\/p>\n<p>valor que comumente \u00e9 representado por [tex]P_{6}^{3,2}=60[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto; width:637px;\">\n<tr>\n<td style=\"border: 1px solid #ffffff\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td  style=\"border: 1px solid  #ffffff\">\n<p style=\"text-align: justify;padding: 10px; border: dotted 2px #993366;border-color :#993366; width:500px\"><span style=\"color: #1C1C1C;\">Querem treinar mais sua criatividade na resolu\u00e7\u00e3o de problemas onde a divis\u00e3o \u00e9 utilizada para eliminar casos indevidamente contados em uma permuta\u00e7\u00e3o? Deem uma passadinha na Sala de Estudos <a href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-mais-um-papel-da-divisao-na-analise-combinatoria\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\">Mais um papel da divis\u00e3o na An\u00e1lise Combinat\u00f3ria<\/a>.<br \/>\n<\/span><\/p>\n<p><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Naturalmente, um dos maiores desafios em problemas de contagem \u00e9 reconhecer quando a estrat\u00e9gia utilizada em um problema j\u00e1 estudado pode ser aplicada a uma nova situa\u00e7\u00e3o. Por exemplo, no problema adaptado da OBMEP abaixo:<\/p>\n<div class=\"gr1\" style=\"border: solid 2px #993366\">\n<strong>Problema 1:<\/strong> Uma formiguinha est\u00e1 no ponto A de um quadriculado e deseja chegar ao ponto B, deslocando-se apenas pelos lados dos quadradinhos e realizando movimentos exclusivamente para a direita ou para baixo. De quantas maneiras diferentes ela pode realizar esse trajeto?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-1.png\" alt=\"\" width=\"400\" height=\"529\" class=\"aligncenter size-full wp-image-229640\" \/><\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cro cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbro7\" style=\"display: none;\">\nPara resolver esse problema, vamos representar por [tex]D[\/tex] os movimentos da formiga para a direita e por [tex]B[\/tex] os movimentos para baixo. Observe que, em qualquer trajeto poss\u00edvel, a formiga realiza exatamente cinco movimentos para a direita e cinco para baixo. Assim, cada caminho pode ser associado a um anagrama da palavra [tex]DDDDDBBBBB[\/tex], e o n\u00famero total de trajetos corresponde \u00e0 quantidade desses anagramas. Esse valor pode ser calculado por <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]P_{10}^{5,5}= \\dfrac{10!}{5! \\cdot 5!}=252[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Varia\u00e7\u00f5es do problema acima s\u00e3o comuns em diversos vestibulares.<\/p>\n<div class=\"gr1\" style=\"border: solid 2px #993366\">\n<strong>Problema 2:<\/strong> (ENEM \u2013 2020) Tr\u00eas amigos, Andr\u00e9, Bernardo e Carlos, moram em um condom\u00ednio fechado de uma cidade. O quadriculado representa a localiza\u00e7\u00e3o das ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho nesse condom\u00ednio, em que nos pontos A, B e C est\u00e3o localizadas as casas de Andr\u00e9, Bernardo e Carlos, respectivamente.<\/p>\n<p>Andr\u00e9 deseja deslocar-se da sua casa at\u00e9 a casa de Bernardo, sem passar pela casa de Carlos, seguindo ao longo das ruas do condom\u00ednio, fazendo sempre deslocamentos para a direita ([tex]\\rightarrow[\/tex]) ou para cima ([tex]\\uparrow[\/tex]), segundo o esquema da figura.<\/p>\n<p>Calcule o n\u00famero de diferentes caminhos que Andr\u00e9 poder\u00e1 utilizar para realizar o deslocamento nas condi\u00e7\u00f5es propostas.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-2.png\" alt=\"\" width=\"250\" height=\"480\" class=\"aligncenter size-full wp-image-229639\" \/><\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cro cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbro7\" style=\"display: none;\">\nPerceba que se trata de um problema bastante semelhante ao anterior.<\/p>\n<p>Para resolv\u00ea-lo, basta inicialmente contar o n\u00famero total de caminhos poss\u00edveis de [tex]A[\/tex] a [tex]B[\/tex], desconsiderando, por enquanto, a restri\u00e7\u00e3o de n\u00e3o passar por [tex]C[\/tex]. Esse deslocamento exige quatro movimentos para a direita e tr\u00eas para cima, em qualquer ordem. Assim, representando por [tex]D[\/tex] os movimentos para a direita e por [tex]I[\/tex] os movimentos para cima, cada trajeto corresponde a um anagrama da palavra [tex]DDDDIII[\/tex], cuja quantidade pode ser calculada por [tex]P_{7}^{4,3}=\\dfrac {7!}{4! \\cdot 3!}=35[\/tex].<\/p>\n<p>Agora, vamos calcular a quantidade de caminhos de [tex]A[\/tex] a [tex]B[\/tex] que passam pelo ponto [tex]C[\/tex].<\/p>\n<p>Observe que, para determinar o n\u00famero de trajetos de [tex]A[\/tex] a [tex]C[\/tex], basta contar os anagramas da palavra [tex]DDII[\/tex], o que resulta em [tex]P_{4}^{2,2}= \\dfrac {4!}{2! \\cdot 2!}=6[\/tex].<\/p>\n<p>J\u00e1 para o percurso de [tex]C[\/tex] a [tex]B[\/tex], s\u00e3o necess\u00e1rios dois movimentos para a direita e um para cima, correspondendo aos anagramas da palavra [tex]DDI[\/tex], cujo total \u00e9 [tex]P_{3}^{2}=\\dfrac {3!}{2!}=3[\/tex].<\/p>\n<p>Pelo princ\u00edpio multiplicativo, o n\u00famero de caminhos de [tex]A[\/tex] a [tex]B[\/tex] que passam por [tex]C[\/tex] \u00e9 [tex]6 \\cdot 3=18[\/tex].<\/p>\n<p>Como o total de caminhos poss\u00edveis de [tex]A[\/tex] a [tex]B[\/tex] \u00e9 [tex]35[\/tex], conclu\u00edmos que o n\u00famero de caminhos que n\u00e3o passam por [tex]C[\/tex] \u00e9 [tex]35-18=17[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Imaginemos agora o seguinte problema.<\/p>\n<div class=\"gr1\" style=\"border: solid 2px #993366\">\n<strong>Problema 3:<\/strong> Quantos caminhos distintos existem na malha quadriculada representada abaixo para ir do ponto [tex]A(1,2)[\/tex] ao ponto [tex]B(8,5)[\/tex], realizando deslocamentos exclusivamente na diagonal para cima ([tex] \\nearrow [\/tex]) ou na diagonal para baixo ([tex]\\searrow[\/tex])?<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-3.png\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-229636\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-3.png 2272w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-3-150x150.png 150w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-3-300x300.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-3-768x768.png 768w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-3-1024x1024.png 1024w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cro cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbro7\" style=\"display: none;\">\nObserve que este problema \u00e9 bastante semelhante aos anteriores, embora os movimentos permitidos sejam diferentes. A partir de um ponto [tex](x,y)[\/tex], um objeto pode deslocar-se para [tex](x+1,y+1)[\/tex], representando um movimento diagonal para cima, ou para [tex](x+1,y-1)[\/tex], representando um movimento diagonal para baixo.<\/p>\n<p>Para simplificar a an\u00e1lise, vamos representar os movimentos de subida pela letra [tex]S[\/tex], isto \u00e9, [tex]S:(x,y)\\rightarrow (x+1,y+1)[\/tex], e os movimentos de descida pela letra [tex]D[\/tex], isto \u00e9, [tex]D:(x,y)\\rightarrow(x+1,y-1)[\/tex].<\/p>\n<p>Assim, cada caminho poss\u00edvel pode ser descrito por uma sequ\u00eancia de movimentos [tex]S[\/tex] e [tex]D[\/tex].<\/p>\n<p>Na imagem abaixo, o caminho descrito pelo objeto \u00e9 [tex]SDDSSSS[\/tex].<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-4.png\" alt=\"\" width=\"300\" class=\"aligncenter size-full wp-image-229637\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-4.png 2272w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-4-150x150.png 150w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-4-300x300.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-4-768x768.png 768w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-4-1024x1024.png 1024w\" sizes=\"(max-width: 2272px) 100vw, 2272px\" \/><\/p>\n<p>Observe ainda que, em cada deslocamento, seja ele [tex]S[\/tex] ou [tex]D[\/tex], o objeto avan\u00e7a exatamente uma unidade na dire\u00e7\u00e3o horizontal. Como o ponto inicial tem abscissa [tex]1[\/tex] e o ponto final tem abscissa [tex]8[\/tex], o deslocamento horizontal total \u00e9 de [tex]7[\/tex] unidades, o que implica<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]S+D=7[\/tex].<\/p>\n<p>Na dire\u00e7\u00e3o vertical, cada movimento [tex]S[\/tex] corresponde a uma subida de uma unidade, enquanto cada movimento [tex]D[\/tex] corresponde a uma descida de uma unidade. Como o ponto inicial possui ordenada [tex]2[\/tex] e o ponto final possui ordenada  [tex]5[\/tex], o deslocamento vertical total \u00e9 de [tex]3[\/tex] unidades, o que nos fornece<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]S-D=3[\/tex].<\/p>\n<p>Essas duas equa\u00e7\u00f5es permitem determinar a quantidade de movimentos de cada tipo ao longo do trajeto.<\/p>\n<p>Resolvendo o sistema de equa\u00e7\u00f5es, obtemos [tex]S=5 [\/tex] e [tex]D=2[\/tex], ou seja, o trajeto deve conter cinco movimentos de subida e dois movimentos de descida.<\/p>\n<p>Assim, o n\u00famero total de caminhos poss\u00edveis \u00e9 igual ao n\u00famero de anagramas da palavra [tex]SSSSSDD[\/tex], que pode ser calculado por <\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]P_{7}^{5,2}=\\dfrac{7!}{5!\\cdot2!}=21[\/tex].<\/p>\n<p>Portanto, existem [tex]21[\/tex] caminhos distintos que satisfazem \u00e0s condi\u00e7\u00f5es do problema.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Da mesma forma que nos exemplos anteriores, vamos empregar essa estrat\u00e9gia para resolver um problema apresentado em uma nova situa\u00e7\u00e3o.<\/p>\n<div class=\"gr1\" style=\"border: solid 2px #993366\">\n<strong>Problema 4:<\/strong> Em uma elei\u00e7\u00e3o para l\u00edder de um clube de Matem\u00e1tica, participam [tex]10[\/tex] membros e concorrem dois candidatos, [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex]. Cada um dos [tex]10[\/tex] membros vota, de forma sigilosa, em exatamente um dos candidatos. Ao final da vota\u00e7\u00e3o, o candidato [tex]A[\/tex] vence com uma diferen\u00e7a de [tex]4[\/tex] votos.<\/p>\n<p>Considerando que os votos s\u00e3o apurados um a um, de quantas maneiras distintas pode ocorrer a ordem de apura\u00e7\u00e3o dos votos?<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cro cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbro7\" style=\"display: none;\">\nPara resolver esse problema, podemos adotar a seguinte estrat\u00e9gia. Considere um objeto que se desloca exclusivamente na diagonal para cima ([tex]\\nearrow[\/tex]) ou na diagonal para baixo ([tex]\\searrow[\/tex]), partindo do ponto [tex](0,0)[\/tex] e chegando ao ponto [tex](10,4)[\/tex].<\/p>\n<p>Nessa representa\u00e7\u00e3o, cada ponto [tex](x,y)[\/tex] indica que [tex]x[\/tex] votos j\u00e1 foram apurados e que o candidato [tex]A[\/tex] possui vantagem de [tex]y[\/tex] votos em rela\u00e7\u00e3o ao candidato [tex]B[\/tex].<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-5.png\" alt=\"\" width=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-229706\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-5.png 2724w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-5-300x169.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-5-768x432.png 768w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-5-1024x576.png 1024w\" sizes=\"(max-width: 2724px) 100vw, 2724px\" \/><\/p>\n<p>De modo an\u00e1logo \u00e0 solu\u00e7\u00e3o do problema anterior, podemos estabelecer o seguinte sistema:<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{cases} S + D = 10 \\\\ S-D = 4 \\end{cases}[\/tex]<\/p>\n<p>Em que [tex]S[\/tex] representa os movimentos de subida ([tex]\\nearrow[\/tex]) e [tex]D[\/tex] os movimentos de descida ([tex]\\searrow[\/tex]).<\/p>\n<p>Resolvendo o sistema, obtemos [tex]S = 7[\/tex] e [tex]D = 3[\/tex]. Assim, o n\u00famero de caminhos \u00e9 calculado pelo n\u00famero de anagramas da palavra [tex]SSSSSSSDDD[\/tex], dado por  [tex]P_{10}^{7,3}=\\dfrac{10!}{7! \\cdot 3!}=120[\/tex].<\/p>\n<p>Portanto, existem [tex]120[\/tex] ordens distintas de apura\u00e7\u00e3o dos votos.  <\/p>\n<p>Uma solu\u00e7\u00e3o ainda mais simples consiste em calcular o n\u00famero de anagramas da palavra [tex]aaaaaaabbb[\/tex], em que cada letra [tex]a[\/tex] representa um voto no candidato [tex]A[\/tex] e cada letra [tex]b[\/tex] representa um voto no candidato [tex]B[\/tex]. O c\u00e1lculo seria o mesmo feito anteriormente.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Agora, suponha que o problema fosse o seguinte:<\/p>\n<div class=\"gr1\" style=\"border: solid 2px #993366\">\n<strong>Problema 5:<\/strong> Em uma elei\u00e7\u00e3o para l\u00edder de um clube de Matem\u00e1tica, participam [tex]10[\/tex] membros e concorrem dois candidatos, [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex]. Cada membro vota, de forma sigilosa, em exatamente um dos candidatos. Ao final da vota\u00e7\u00e3o, o candidato [tex]A[\/tex] vence com uma diferen\u00e7a de [tex]4[\/tex] votos. <\/p>\n<p>Sabendo que os votos s\u00e3o apurados um a um, qual \u00e9 o n\u00famero de ordens de apura\u00e7\u00e3o nas quais o candidato perdedor esteve em vantagem em algum momento da contagem?<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cro cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbro7\" style=\"display: none;\">\nUma maneira de resolver esse problema \u00e9 considerar, como antes, o n\u00famero de caminhos que podem ser feitos, partindo do ponto [tex](0, 0)[\/tex] e chegando ao ponto [tex](10, 4)[\/tex], realizando deslocamentos exclusivamente na diagonal para cima ([tex]\\nearrow[\/tex]) ou na diagonal para baixo ([tex]\\searrow[\/tex]), por\u00e9m com a restri\u00e7\u00e3o de que esses caminhos tocam a reta [tex]y=-1[\/tex] em algum momento. Desta forma, em algum momento, a vantagem de [tex]A[\/tex] ser\u00e1 <em>negativa<\/em>, ou seja, a real vantagem ser\u00e1 do candidato [tex]B[\/tex].<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-6.png\" alt=\"\" width=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-229707\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-6.png 2726w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-6-300x240.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-6-768x614.png 768w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-6-1024x819.png 1024w\" sizes=\"(max-width: 2726px) 100vw, 2726px\" \/><\/p>\n<p>Observe que todo caminho que satisfaz a restri\u00e7\u00e3o imposta pode ser transformado, por meio de uma reflex\u00e3o em torno da reta [tex]y=-1[\/tex], aplicada ao trecho do trajeto entre [tex](0,0)[\/tex] e o primeiro ponto de interse\u00e7\u00e3o com essa reta, em um caminho que parte do ponto [tex](0,-2)[\/tex] e chega ao ponto [tex](10,4)[\/tex].<\/p>\n<p>Por outro lado, qualquer caminho que vai de [tex](0,-2)[\/tex] a [tex](10,4)[\/tex], o qual necessariamente toca a reta [tex]y=-1[\/tex], pode ser transformado, por essa mesma reflex\u00e3o, em um caminho de [tex](0,0)[\/tex] a [tex](10,4)[\/tex] que toca a reta [tex]y=-1[\/tex].<\/p>\n<p>Assim, estabelece-se uma correspond\u00eancia biun\u00edvoca (<em>um para um<\/em>) entre os dois conjuntos de caminhos.<\/p>\n<p>A imagem abaixo ilustra uma dessas correspond\u00eancias.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-7.png\" alt=\"\" width=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-229708\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-7.png 2747w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-7-300x238.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-7-768x610.png 768w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/06\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-7-1024x813.png 1024w\" sizes=\"(max-width: 2747px) 100vw, 2747px\" \/><\/p>\n<p>Portanto, conclu\u00edmos que o n\u00famero de trajetos de [tex](0, 0)[\/tex] a [tex](10, 4)[\/tex] que satisfazem essa restri\u00e7\u00e3o \u00e9 igual ao n\u00famero de caminhos que partem de [tex](0, -2)[\/tex] e chegam a [tex](10, 4)[\/tex], o que reduz a resolu\u00e7\u00e3o ao mesmo tipo de problema analisado anteriormente.<\/p>\n<p>Nesse caso, os deslocamentos obedecem ao sistema<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{cases} S + D = 10 \\\\ S-D = 6 \\end{cases}[\/tex]<\/p>\n<p>do qual obtemos [tex]S=8[\/tex] e [tex]D=2[\/tex].<\/p>\n<p>Assim, o n\u00famero total de caminhos corresponde ao n\u00famero de anagramas da palavra [tex]SSSSSSSSDD[\/tex], dado por<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]P_{10}^{8,2}=\\dfrac{10!}{8! \\cdot 2!}=45[\/tex].<\/p>\n<p>Logo, a resposta \u00e9 [tex]45[\/tex].<\/p>\n<p>A estrat\u00e9gia utilizada nessa resolu\u00e7\u00e3o \u00e9 conhecida, na An\u00e1lise Combinat\u00f3ria, como <strong>Princ\u00edpio da Reflex\u00e3o<\/strong>.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Observe agora um problema bem interessante que pode ser resolvido com esse Princ\u00edpio.<\/p>\n<div class=\"gr1\" style=\"border: solid 2px #993366\">\n<strong>Problema 6:<\/strong> (IME) Um pipoqueiro vende cada saco de pipoca pelo valor de [tex]R\\$\\;1,00[\/tex] e inicia o atendimento sem qualquer dinheiro para troco. Em uma fila de oito pessoas, quatro possuem uma moeda de [tex]R\\$\\;1,00[\/tex] e as outras quatro possuem uma nota de [tex]R\\$\\;2,00[\/tex].<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-8.jpg\" alt=\"\" width=\"426\" height=\"273\" class=\"aligncenter size-full wp-image-229638\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-8.jpg 426w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-8-300x192.jpg 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 426px) 100vw, 426px\" \/><\/p>\n<p>Supondo que a ordem da fila seja aleat\u00f3ria e que cada pessoa compre exatamente um saco de pipoca, determine a probabilidade de que o pipoqueiro consiga dar troco a todas as quatro pessoas que pagar\u00e3o com a nota de [tex]R\\$\\;2,00[\/tex].<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cro cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Solu\u00e7\u00e3o\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Solu\u00e7\u00e3o';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbro7\" style=\"display: none;\">\nPor defini\u00e7\u00e3o, em um espa\u00e7o amostral equiprov\u00e1vel, a probabilidade de ocorr\u00eancia de um evento \u00e9 dada pela raz\u00e3o entre o n\u00famero de casos favor\u00e1veis e o n\u00famero total de casos poss\u00edveis.<\/p>\n<p>Denotemos por [tex]U[\/tex] os clientes que possuem moeda de [tex]R\\$\\;1,00[\/tex] e por [tex]D[\/tex] os clientes que possuem nota de [tex]R\\$\\;2,00[\/tex]. <\/p>\n<p>Assim, o n\u00famero total de casos poss\u00edveis corresponde ao n\u00famero de permuta\u00e7\u00f5es distintas da palavra [tex]UUUUDDDD[\/tex], isto \u00e9, ao n\u00famero de anagramas formados com quatro letras [tex]U[\/tex] e quatro letras [tex]D[\/tex]. Esse n\u00famero \u00e9 dado por<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]P_{8}^{4,4}=\\dfrac{8!}{4! \\cdot 4!}=70[\/tex].<\/p>\n<p>Para o c\u00e1lculo do n\u00famero de casos favor\u00e1veis, recorreremos ao Princ\u00edpio da Reflex\u00e3o.<\/p>\n<p>A ideia consiste em contar os caminhos que partem do ponto [tex](0, 0)[\/tex] e chegam ao ponto [tex](8, 0)[\/tex], realizando apenas deslocamentos na diagonal para cima ([tex]\\nearrow[\/tex]) ou na diagonal para baixo ([tex]\\searrow[\/tex]), sem interceptar a reta [tex]y=-1[\/tex] em nenhum momento do percurso.<\/p>\n<p>Nessa representa\u00e7\u00e3o, cada ponto [tex](x,y)[\/tex] indica que [tex]x[\/tex] pessoas j\u00e1 foram atendidas e que h\u00e1 [tex]y[\/tex] moedas dispon\u00edveis para troco.<\/p>\n<p>Conforme visto anteriormente, \u00e9 mais conveniente determinar inicialmente o n\u00famero de caminhos que tocam a reta [tex]y=-1[\/tex] e, em seguida, subtrair esse valor do total de caminhos poss\u00edveis. <\/p>\n<p>Pelo Princ\u00edpio da Reflex\u00e3o, o n\u00famero de caminhos de [tex](0,0)[\/tex] a [tex](8,0)[\/tex] que tocam a reta [tex]y=-1[\/tex] \u00e9 igual ao n\u00famero de caminhos que partem de [tex](0,-2)[\/tex] e chegam a [tex](8,0)[\/tex].<\/p>\n<p>A imagem abaixo ilustra um desses caminhos, bem como sua reflex\u00e3o em torno da reta considerada.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-9.png\" alt=\"\" width=\"400\" class=\"aligncenter size-full wp-image-229632\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-9.png 2302w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-9-300x284.png 300w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-9-768x728.png 768w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2026\/05\/Princ\u00edpio-da-Reflex\u00e3o-9-1024x970.png 1024w\" sizes=\"(max-width: 2302px) 100vw, 2302px\" \/><\/p>\n<p>Nesse caso, os deslocamentos obedecem ao sistema<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]\\begin{cases} S + D = 8 \\\\ S-D = 2 \\end{cases}[\/tex]<\/p>\n<p>do qual obtemos [tex]S=5[\/tex] e [tex]D=3[\/tex].<\/p>\n<p>Assim, o n\u00famero de caminhos que partem de [tex](0,-2)[\/tex] e chegam a [tex](8,0)[\/tex] (e que, portanto, correspondem aos caminhos de [tex](0,0)[\/tex] a [tex](8,0)[\/tex] que interceptam a reta [tex] y=-1[\/tex]) \u00e9 igual ao n\u00famero de anagramas da palavra [tex]SSSSSDDD[\/tex], dado por<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]P_{8}^{5,3}=\\dfrac {8!}{5! \\cdot 3!}=56.[\/tex]<\/p>\n<p>Consequentemente, o n\u00famero de casos favor\u00e1veis \u00e9 [tex]70 \u2013 56 = 14[\/tex].<\/p>\n<p>Logo, a probabilidade de o pipoqueiro conseguir dar troco a todas as pessoas que pagarem com a nota de [tex]R\\$\\;2,00[\/tex] \u00e9<\/p>\n<p style=\"text-align:center;\">[tex]P=\\dfrac{14}{70}=\\dfrac{1}{5}=20\\%[\/tex].<\/p>\n<p>Como se trata de um n\u00famero pequeno de pessoas, seria poss\u00edvel calcular o n\u00famero de casos favor\u00e1veis por meio da enumera\u00e7\u00e3o direta de todas as possibilidades, obtendo-se os [tex]14[\/tex] casos. No entanto, ao utilizar o Princ\u00edpio da Reflex\u00e3o, obtemos uma t\u00e9cnica geral, aplic\u00e1vel a uma quantidade arbitr\u00e1ria [tex]n[\/tex] de pessoas.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Que tal voc\u00eas resolverem mais alguns problemas utilizando o Princ\u00edpio da Reflex\u00e3o?<\/p>\n<div class=\"gr1\" style=\"border: solid 2px #993366\">\n<strong>Problema 7:<\/strong> Em uma elei\u00e7\u00e3o com dois candidatos, [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], participam [tex]20[\/tex] eleitores, sendo que cada eleitor vota em exatamente um dos candidatos. Ao final da vota\u00e7\u00e3o, o candidato [tex]X[\/tex] recebe [tex]15[\/tex] votos e o candidato [tex]Y[\/tex], [tex]5[\/tex] votos.<br \/>\nOs votos s\u00e3o apurados um a um, em alguma ordem.<br \/>\nResponda:<br \/>\na) De quantas maneiras distintas pode ocorrer a ordem de apura\u00e7\u00e3o dos votos?<br \/>\nb) Em quantas ordens de apura\u00e7\u00e3o o candidato [tex]X[\/tex] permanece sempre em vantagem sobre o candidato [tex]Y[\/tex], isto \u00e9, nunca ocorre empate nem desvantagem ap\u00f3s o primeiro voto apurado?<br \/>\nc) Em quantas ordens de apura\u00e7\u00e3o o candidato [tex]X[\/tex] permanece sempre em vantagem ou empatado com o candidato [tex]Y[\/tex]?<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cro cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Resposta\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Resposta';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbro7\" style=\"display: none;\">\na) [tex]15504.[\/tex]<\/p>\n<p>b) [tex]7752.[\/tex]<\/p>\n<p>c) [tex]10659.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gr1\" style=\"border: solid 2px #993366\">\n<strong>Problema 8:<\/strong> (Extra\u00eddo de A.C. Morgado) Numa fila para um teatro popular, [tex]m[\/tex] pessoas t\u00eam notas de [tex]R\\$\\;5,00[\/tex] e [tex]n[\/tex] ([tex]n \\lt m[\/tex]) pessoas t\u00eam notas de [tex]R\\$\\;10,00[\/tex]. A entrada custa [tex]R\\$\\;5,00[\/tex].<br \/>\na) Quantas s\u00e3o as filas poss\u00edveis?<br \/>\nb) Quantas s\u00e3o as filas que ter\u00e3o problemas de troco, se a bilheteria come\u00e7ar a trabalhar sem troco?<br \/>\nc) Quantas s\u00e3o as filas que ter\u00e3o problema de troco, se a bilheteria come\u00e7ar a trabalhar com duas notas de [tex]R\\$\\;5,00[\/tex]?<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cro cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Resposta\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Resposta';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbro7\" style=\"display: none;\">\na) [tex](m+n)![\/tex]<\/p>\n<p>b) [tex]\\dfrac {n}{m+1}(m+n)![\/tex]<\/p>\n<p>c) [tex](m+n)!\\dfrac{n(n-1)(n-2)}{(m+3)(m+2)(m+1)}.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<div class=\"gr1\" style=\"border: solid 2px #993366\">\n<strong>Problema 9:<\/strong> Um programador est\u00e1 escrevendo um c\u00f3digo utilizando par\u00eanteses de abertura \u201c[tex]([\/tex]\u201d e par\u00eanteses de fechamento \u201c[tex])[\/tex]\u201d. Para evitar erros de sintaxe, ele estabelece as seguintes regras:<\/p>\n<ul>\n<li>Em qualquer trecho da sequ\u00eancia, o n\u00famero de par\u00eanteses de fechamento nunca pode ser maior que o n\u00famero de par\u00eanteses de abertura.<\/li>\n<li>Ao final da sequ\u00eancia, o n\u00famero total de par\u00eanteses de abertura deve ser igual ao n\u00famero de par\u00eanteses de fechamento.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Veja alguns exemplos de sequ\u00eancias: [tex]( ) ( ) ( ) ( )[\/tex], [tex]( ( ( ( ) ) ) )[\/tex], [tex]( ( ) ) ( ) ( )[\/tex] e [tex]( ) ) ( ) ( ( )[\/tex].<\/p>\n<p>Observe que apenas as tr\u00eas primeiras sequ\u00eancias s\u00e3o v\u00e1lidas, pois, na \u00faltima, em determinado momento aparece um par\u00eantese de fechamento sem que exista um par\u00eantese de abertura correspondente ainda n\u00e3o fechado.<br \/>\nSabendo que a sequ\u00eancia cont\u00e9m exatamente [tex]4[\/tex] par\u00eanteses de abertura e [tex]4[\/tex] par\u00eanteses de fechamento, responda:<br \/>\nDe quantas maneiras distintas \u00e9 poss\u00edvel formar uma sequ\u00eancia v\u00e1lida de par\u00eanteses?<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<input class=\"bo1 cro cbve3\" style=\"width:150px;\" value=\"Resposta\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Resposta';}\" \/>    <\/p>\n<div class=\"gr1 cbro7\" style=\"display: none;\">\n[tex]14.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<p>Um coment\u00e1rio importante sobre esse \u00faltimo problema \u00e9 que, ao generaliz\u00e1-lo para [tex]n[\/tex] pares de par\u00eanteses, o n\u00famero de sequ\u00eancias v\u00e1lidas obtidas \u00e9 dado por [tex]C_{n}=\\dfrac {1}{n+1}\\begin{pmatrix}<br \/>\n2n \\\\<br \/>\nn<br \/>\n\\end{pmatrix}[\/tex].<br \/>\nEsse valor define a sequ\u00eancia conhecida, na An\u00e1lise Combinat\u00f3ria, como n\u00fameros de Catalan.<br \/>\nEsses n\u00fameros surgem em diversos problemas cl\u00e1ssicos de contagem com estrutura recursiva, como, por exemplo, o n\u00famero de maneiras distintas de triangular um pol\u00edgono convexo. A sequ\u00eancia dos primeiros n\u00fameros de Catalan \u00e9 [tex](1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, &#8230;)[\/tex]. <\/p>\n<p style=\"margin:20px;\">\n<hr style=\"height:4px; width:100%;background-color:#993366; margin-top: 30px; margin-bottom: 30px;border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align:center;\"><span class=\"ti3 cro\"> <strong>Um v\u00eddeo para fixar ideias<\/strong><\/span> <\/p>\n<div style=\"text-align:center;\">\n<iframe loading=\"lazy\" width=\"560\" height=\"315\" src=\"https:\/\/www.youtube.com\/embed\/4AB9eJyEcFU?rel=0&amp;showinfo=0\" ><\/iframe><br \/>\nV\u00eddeoaula <strong>O Princ\u00edpio da Reflex\u00e3o<\/strong> &#8211; POTI<br \/>\nProfessor Victor Bitar\u00e3es <\/div>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#993366;  margin-top: 20px; margin-bottom: 6px;  border: 0 none\"\/>\n<hr style=\"height:2px;background-color:#993366;   margin-top: 6px; margin-bottom: 10px; border: 0 none\"\/>\n<p style=\"text-align: right;\"><span style=\"color: #993366; font-size: 20px;\"><strong>Equipe COM &#8211; OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n<p style=\"font-size: 16px;line-height: 30px;text-align: right; color: #993366;\">Maio de 2026.<\/p>\n<div  class=\"ref\" style=\"padding-left: 20px; line-height:20px;\">\n<strong>Refer\u00eancias: <\/strong><br \/>\n<strong>[1]<\/strong> MORGADO, Augusto C\u00e9sar; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto. <strong>Matem\u00e1tica discreta.<\/strong> Rio de Janeiro: SBM, 2022.<br \/>\n<strong>[2]<\/strong> MORGADO, Augusto C\u00e9sar; CARVALHO, Jo\u00e3o Bosco Pitombeira de; CARVALHO, Paulo Cezar Pinto; FERNANDEZ, Pedro. <strong>An\u00e1lise combinat\u00f3ria e probabilidade.<\/strong> 9. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.\n<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Princ\u00edpio da Reflex\u00e3o Durante o estudo da An\u00e1lise Combinat\u00f3ria, s\u00e3o apresentadas diversas t\u00e9cnicas de contagem aplicadas a diferentes tipos de problemas. Naturalmente, algumas delas, especialmente as mais elementares, aparecem com maior frequ\u00eancia nas resolu\u00e7\u00f5es. O objetivo desta sala de estudos \u00e9 apresentar uma nova t\u00e9cnica de contagem, o Princ\u00edpio da Reflex\u00e3o, utilizada na resolu\u00e7\u00e3o de &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudos-principio-da-reflexao\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":254,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-229566","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/229566","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/254"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=229566"}],"version-history":[{"count":85,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/229566\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":229682,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/229566\/revisions\/229682"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=229566"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}