\n\n\nExerc\u00edcio 1: <\/strong>Construa um plano cartesiano e represente os pontos com coordenadas [tex](0,0),[\/tex] [tex](0,1),[\/tex] [tex](0,2),[\/tex] [tex](-2,2),[\/tex] [tex](-2,3),[\/tex] [tex](-2,4),[\/tex] [tex](2,5),[\/tex] [tex](-1,5;2)[\/tex] e [tex](3,5;2,5)[\/tex].\n<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n\n
\n
Dist\u00e2ncia entre pontos no plano cartesiano<\/p>\n
\n
Passaremos agora a estudar um pouco de geometria usando o plano cartesiano. Nesta se\u00e7\u00e3o, iremos encontrar uma f\u00f3rmula para calcular a dist\u00e2ncia entre dois pontos envolvendo apenas as suas coordenadas. O problema consiste em, dados dois pontos [tex]P_0[\/tex] e [tex]P_1[\/tex] com coordenadas [tex](x_0,y_0)[\/tex] e [tex] (x_1,y_1)[\/tex], respectivamente, calcular o comprimento do segmento [tex]\\overline{P_0P_1}[\/tex]. <\/p>\n
Temos tr\u00eas casos essenciais a considerar:<\/p>\n
\n
\n
►<\/span> 1\u00b0 Caso:<\/strong> o segmento [tex]\\overline{P_0P_1}[\/tex] \u00e9 paralelo ao eixo [tex]Ox[\/tex].Nesse caso, a reta paralela ao eixo [tex]Ox[\/tex] passando por [tex]P_0[\/tex] e a reta paralela ao eixo [tex]Ox[\/tex] passando por [tex]P_1[\/tex] coincidem. Dessa forma, os pontos [tex]P_0[\/tex] e [tex]P_1[\/tex] possuem a mesma ordenada [tex]y_0[\/tex], ou seja, [tex]y_0=y_1[\/tex]. O quadril\u00e1tero [tex]P_0P_1NM[\/tex] \u00e9 um ret\u00e2ngulo, j\u00e1 que as coordenadas s\u00e3o obtidas com paralelas e os eixos [tex]Ox[\/tex] e [tex]Oy[\/tex] s\u00e3o perpendiculares. Logo, [tex]\\overline{P_0P_1}[\/tex] possui a mesma medida que [tex]\\overline{MN}[\/tex]. Como [tex]M[\/tex] e [tex]N[\/tex] s\u00e3o pontos de uma reta num\u00e9rica associados aos n\u00fameros reais [tex]x_0[\/tex] e [tex]x_1[\/tex], respectivamente, sua dist\u00e2ncia ser\u00e1 [tex]|x_1-x_0|[\/tex]. Logo,
[tex]P_0P_1=|x_1-x_0|.[\/tex]<\/center><\/p>\n\n
\n
Exemplo 3.<\/strong> Calcule a dist\u00e2ncia do ponto [tex]P[\/tex] ao ponto [tex]Q[\/tex].\n
<\/p>\n
\n\tAs coordenadas do ponto [tex]P[\/tex] s\u00e3o [tex](-2,6)[\/tex] e do ponto [tex]Q[\/tex] s\u00e3o [tex](4,6)[\/tex]. Como eles possuem a mesma ordenada, ent\u00e3o o segmento [tex]\\overline{PQ}[\/tex] \u00e9 paralelo ao eixo [tex]Ox[\/tex]. Logo,
\n
[tex]PQ=|4-(-2)|=|4+2|=6.[\/tex] <\/center>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
►<\/span> 2\u00b0 Caso:<\/strong> o segmento [tex]\\overline{P_0P_1}[\/tex] \u00e9 paralelo ao eixo [tex]Oy[\/tex]. <\/p>\n
Considera\u00e7\u00f5es semelhantes \u00e0 situa\u00e7\u00e3o anterior se aplicam nesse caso. Aqui teremos [tex] x_0=x_1[\/tex] e as coordenadas dos pontos [tex]P_0[\/tex] e [tex]P_1[\/tex] ser\u00e3o [tex](x_0,y_0)[\/tex] e [tex](x_0,y_1)[\/tex], respectivamente. Assim:
[tex]P_0P_1=|y_1-y_0|.[\/tex]<\/center><\/p>\n\n
\n
Exemplo 4.<\/strong> Calcule a dist\u00e2ncia do ponto [tex]P[\/tex] ao ponto [tex]Q[\/tex].\n
<\/p>\n
\n\tAs coordenadas do ponto [tex]P[\/tex] s\u00e3o [tex](-4,-4)[\/tex] e do ponto [tex]Q[\/tex] s\u00e3o [tex](-4,4 )[\/tex]. Como eles possuem a mesma abscissa, ent\u00e3o o segmento [tex]\\overline{PQ}[\/tex] \u00e9 paralelo ao eixo [tex]Oy[\/tex]. Logo,
\n
[tex]PQ=|4-(-4)|=|4+4|=8.[\/tex]<\/center>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n
►<\/span> 3\u00b0 Caso:<\/strong> o segmento [tex]\\overline{P_0P_1}[\/tex] n\u00e3o \u00e9 paralelo nem a [tex]Ox[\/tex] nem a [tex]Oy[\/tex].[tex]P_0P=|x_1-x_0|[\/tex] e [tex]PP_1=|y_1-y_0|.[\/tex]<\/center><\/p>\n
[tex]P_0P_1=\\sqrt{|x_1-x_0|^2+|y_1-y_0|^2}.[\/tex]<\/center>
[tex]P_0P_1=\\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}.[\/tex]<\/center><\/p>\nA diferen\u00e7a [tex]x_1-x_0[\/tex] mede o deslocamento horizontal, e [tex]y_1-y_0[\/tex] mede o deslocamento vertical.<\/p>\n
\n\n\nObserve que, considerando [tex]y_0=y_1[\/tex] ou [tex]x_0=x_1[\/tex], obtemos, com esta \u00faltima f\u00f3rmula, as f\u00f3rmulas dos casos 1 e 2, respectivamente. \u00c9 importante ressaltar que escolhemos a mesma unidade de comprimento nos dois eixos.\n<\/p>\n
<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n
\n
Exemplo 5.<\/strong> Calcule a dist\u00e2ncia do ponto [tex]P[\/tex] ao ponto [tex]Q[\/tex].\n
<\/p>\n
\n\tAs coordenadas do ponto [tex]P[\/tex] s\u00e3o [tex](-6,-1)[\/tex] e do ponto [tex]Q[\/tex] s\u00e3o [tex](6,4 )[\/tex]. Como eles n\u00e3o possuem a mesma abscissa ou a mesma ordenada, ent\u00e3o o segmento [tex]PQ[\/tex] n\u00e3o \u00e9 paralelo ao eixo [tex]Ox[\/tex] ou ao eixo [tex]Oy[\/tex]. Logo, usamos a f\u00f3rmula geral e calculamos o comprimento desse segmento da seguinte forma: <\/p>\n
[tex]PQ=\\sqrt{(6-(-6))^2+(4-(-1))^2}=\\sqrt{12^2+5^2}=\\sqrt{169}=13.[\/tex]<\/center>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n\n<\/div>\n
\n
\n\n\n\nExerc\u00edcio 2: <\/strong>Encontre as medidas dos lados do quadril\u00e1tero da figura.\n
\n\n\n\nExerc\u00edcio 3: <\/strong>Encontre a dist\u00e2ncia entre os pontos com coordenadasApenas com essa f\u00f3rmula para a dist\u00e2ncia entre dois pontos em termos de suas coordenadas, j\u00e1 poderemos apreciar muitas das utilidades do plano cartesiano, como veremos na pr\u00f3xima se\u00e7\u00e3o. <\/p>\n
\n
\n
Aplica\u00e7\u00f5es do plano cartesiano<\/p>\n
\n
Nesta se\u00e7\u00e3o, apresentaremos uma s\u00e9rie de aplica\u00e7\u00f5es do plano cartesiano. \u00c9 muito importante observar que estamos contando apenas com a f\u00f3rmula para a dist\u00e2ncia entre pontos e, ainda assim, poderemos fazer coisas bem interessantes. Esperamos que essas aplica\u00e7\u00f5es sirvam de motiva\u00e7\u00e3o para que o leitor se interesse pela Geometria Anal\u00edtica, onde outras no\u00e7\u00f5es geom\u00e9tricas como a dist\u00e2ncia entre ponto e reta, \u00e2ngulo formado por retas, entre outras, ser\u00e3o apresentadas em termos de coordenadas e ir\u00e3o ampliar, em muito, os cen\u00e1rios em que o uso do plano cartesiano se mostra eficiente. <\/p>\n
\n
Conex\u00e3o entre equa\u00e7\u00f5es e figuras geom\u00e9tricas<\/p>\n
\n
Por meio do plano cartesiano, podemos fazer uma conex\u00e3o maravilhosa entre figuras geom\u00e9tricas e equa\u00e7\u00f5es, numa esp\u00e9cie de fus\u00e3o entre \u00c1lgebra e Geometria, que foi a motiva\u00e7\u00e3o de Ren\u00e9 Descartes para a introdu\u00e7\u00e3o do plano cartesiano. Iniciemos essa aventura considerando equa\u00e7\u00f5es com duas inc\u00f3gnitas, como por exemplo:<\/p>\n
\n[tex]y=-x^2+2x[\/tex]<\/li>\n [tex]y=-x[\/tex]<\/li>\n [tex]y=-2x+3[\/tex]<\/li>\n [tex]y^2+x^2=9[\/tex]<\/li>\n [tex]xy=4[\/tex]<\/li>\n [tex]y=3[\/tex]<\/li>\n [tex]x=-2[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\nEqua\u00e7\u00f5es em que aparece apenas uma das inc\u00f3gnitas, como as duas \u00faltimas da lista acima, podem ser interpretadas como equa\u00e7\u00f5es com duas inc\u00f3gnitas usando o artif\u00edcio de considerar que a inc\u00f3gnita ausente est\u00e1 multiplicada por [tex]0[\/tex]. Por exemplo, a equa\u00e7\u00e3o [tex]x=-2[\/tex] pode ser escrita como [tex]x+0y=-2[\/tex]. <\/p>\n
Uma solu\u00e7\u00e3o<\/em> real de uma equa\u00e7\u00e3o com duas inc\u00f3gnitas \u00e9 um par ordenado de n\u00fameros reais [tex](x_0,y_0)[\/tex] tal que as substitui\u00e7\u00f5es [tex]x=x_0[\/tex] e [tex]y=y_0[\/tex] transformam a equa\u00e7\u00e3o em uma senten\u00e7a verdadeira. Por exemplo, considerando a equa\u00e7\u00e3o[tex]y=-x^2+2x.[\/tex]<\/center>
[tex]0=-2^2+2\\cdot 2\\qquad [\/tex] e [tex]\\qquad 1=-1^2+2\\cdot 1.[\/tex]<\/center><\/p>\nVamos considerar mais detalhadamente a equa\u00e7\u00e3o
[tex]y=-x. [\/tex]<\/center>A figura abaixo mostra as solu\u00e7\u00f5es [tex](-3,3)[\/tex], [tex](-2,2)[\/tex], [tex](-1,1)[\/tex], [tex](0,0)[\/tex], [tex] (1,-1)[\/tex], [tex](2,-2)[\/tex] e [tex](3,-3)[\/tex] da equa\u00e7\u00e3o acima marcadas no plano cartesiano. <\/p>\n
Veja como todos estes pontos se posicionam perfeitamente sobre uma reta. <\/p>\n
O conjunto de todas as solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o [tex]y=-x[\/tex] ir\u00e1 coincidir com essa reta? Veremos mais tarde que a resposta \u00e9 sim. Por hora, vamos explorar equa\u00e7\u00f5es ainda mais simples.<\/p>\n
\n
\n
►<\/span> Equa\u00e7\u00e3o da forma [tex]y=b[\/tex].<\/strong> Neste caso, a equa\u00e7\u00e3o pode ser pensada como[tex]y=0\\cdot x +b.[\/tex]<\/center>
[tex] y_0=0\\cdot x_0 +b=b \\ \\ \\ \\therefore \\ \\ \\ y_0=b.[\/tex]<\/center>
[tex]b=0\\cdot x_0 +b=b.[\/tex]<\/center>\n
\n
Exemplo 6.<\/strong> Na figura abaixo, podemos ver a representa\u00e7\u00e3o das solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o [tex]y=3[\/tex].\n
►<\/span> Equa\u00e7\u00e3o da forma [tex]x=a[\/tex].<\/strong> De forma an\u00e1loga ao caso anterior, podemos concluir que o conjunto solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o ser\u00e1 o conjunto de todos os pares ordenados da forma [tex](a,y)[\/tex]. Quando marcamos todos esses pontos no plano cartesiano, a figura geom\u00e9trica formada ser\u00e1 uma reta [tex]r[\/tex] paralela ao eixo [tex]Oy[\/tex] e interceptando o eixo [tex]Ox[\/tex] no ponto associado ao n\u00famero real [tex]a[\/tex].\n
\n
Exemplo 7.<\/strong> Na figura, temos a reta [tex]r[\/tex] com equa\u00e7\u00e3o [tex]x=2[\/tex].\n
►<\/span> Equa\u00e7\u00e3o da forma [tex]y=ax+b[\/tex], com [tex]a\\neq 0[\/tex].<\/strong> <\/p>\nAs equa\u00e7\u00f5es anteriores eram bem simples e foi f\u00e1cil identificar a figura geom\u00e9trica do plano com a equa\u00e7\u00e3o em quest\u00e3o. Neste caso, a figura geom\u00e9trica ainda ser\u00e1 uma reta, mas n\u00e3o ser\u00e1 nem horizontal nem vertical. Durante a verifica\u00e7\u00e3o deste fato, precisaremos identificar se tr\u00eas pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex] est\u00e3o sobre uma mesma reta. Observe que, se [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex] s\u00e3o pontos que n\u00e3o est\u00e3o sobre uma mesma reta, ent\u00e3o a desigualdade triangular garante que [tex]AC\\lt AB+BC[\/tex].
[tex]AC=AB+BC[\/tex],<\/center>\u00c9 importante observar que existem muitos outros m\u00e9todos para se mostrar que tr\u00eas pontos est\u00e3o alinhados e optamos por este apenas por j\u00e1 termos a f\u00f3rmula para dist\u00e2ncia entre pontos \u00e0 nossa disposi\u00e7\u00e3o. <\/p>\n
De volta \u00e0 equa\u00e7\u00e3o, vamos provar o seguinte teorema:<\/p>\n
\n
Teorema:<\/strong><\/span> O conjunto solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o[tex]y=ax+b, \\ \\ \\ \\text{com} \\ \\ \\ a\\neq 0,[\/tex]<\/center>\n
\n
<\/p>\n
\n
\n
\n
\n
Podemos verificar facilmente, por substitui\u00e7\u00e3o na equa\u00e7\u00e3o, que os pares ordenados [tex](0,b)[\/tex] e [tex](1,a+b)[\/tex] s\u00e3o solu\u00e7\u00f5es desta equa\u00e7\u00e3o. Sejam [tex]P_0[\/tex] e [tex]P_1[\/tex] os pontos do plano cartesiano com coordenadas [tex](0,b)[\/tex] e [tex](1,a+b)[\/tex], respectivamente. Existe uma \u00fanica reta [tex]r[\/tex] que passa por estes dois pontos.
Seja [tex](x_0,y_0)[\/tex] uma solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o
[tex]y=ax+b, \\ \\ \\ \\text{com} \\ \\ \\ a\\neq 0.[\/tex]<\/center>[tex]P_0P_1=\\sqrt{1^2+(a+b-b)^2}=\\sqrt{1+a^2}[\/tex]<\/center>[tex]P_0P=\\sqrt{x_0^2+(y_0-b)^2} .[\/tex]<\/center>[tex]P_0P=\\sqrt{x_0^2+(ax_0)^2}=|x_0|\\sqrt{1+a^2}. [\/tex]<\/center>[tex]P_1P=\\sqrt{(x_0-1)^2+(y_0-a-b)^2}.[\/tex]<\/center>[tex]P_1P=\\sqrt{(x_0-1)^2+a^2(x_0-1)^2}=|x_0-1|\\sqrt{1+a^2}.[\/tex]<\/center>►<\/span> Caso [tex]x_0\\gt1[\/tex]. Neste caso, temos [tex]|x_0-1|=x_0-1[\/tex] e [tex]|x_0|=x_0[\/tex]. Com isso,
[tex]P_0P_1+P_1P=\\sqrt{1+a^2}+(x_0-1)\\sqrt{1+a^2}=x_0\\sqrt{1+a^2}=P_0P.[\/tex]<\/center>►<\/span> Caso [tex]0\\lt x_0\\lt1[\/tex].[tex]P_0P+PP_1=x_0\\sqrt{1+a^2}+(1-x_0)\\sqrt{1+a^2}=\\sqrt{1+a^2}=P_0P_1.[\/tex]<\/center>►<\/span> Caso [tex]x_0\\lt0[\/tex].[tex]PP_0+P_0P_1=-x_0\\sqrt{1+a^2}+\\sqrt{1+a^2}=(1-x_0)\\sqrt{1+a^2}=PP_1.[\/tex]<\/center>Acabamos de provar que qualquer ponto [tex]P[\/tex] com coordenadas [tex](x_0,y_0)[\/tex], com esse par ordenado sendo uma solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o [tex]y=ax+b[\/tex], pertence \u00e0 reta [tex]r[\/tex]. Resta agora mostrar que as coordenadas [tex](x_0,y_0)[\/tex] de qualquer ponto da reta [tex]r[\/tex] \u00e9 uma solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o. <\/p>\n
Essa parte \u00e9 f\u00e1cil. Seja [tex]P[\/tex] um ponto da reta [tex]r[\/tex] com coordenadas [tex](x_0,y_0)[\/tex]. Consideremos o ponto [tex]P'[\/tex] com coordenadas [tex](x_0,ax_0+b)[\/tex]. Observe que, por hip\u00f3tese, [tex]P[\/tex] pertence \u00e0 reta [tex]r[\/tex] e \u00e0 reta vertical com equa\u00e7\u00e3o [tex]x=x_0[\/tex]. O ponto [tex]P'[\/tex] possui coordenadas que \u00e9 uma solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o e, pelo que provamos anteriormente, pertence \u00e0 reta [tex]r[\/tex] e tamb\u00e9m pertence \u00e0 reta vertical com equa\u00e7\u00e3o [tex]x=x_0[\/tex]. Logo, como a interse\u00e7\u00e3o de duas retas n\u00e3o coincidentes e n\u00e3o paralelas \u00e9 \u00fanica, segue que [tex]P=P'[\/tex] e, portanto, as coordenadas de [tex]P[\/tex] formam uma solu\u00e7\u00e3o para a equa\u00e7\u00e3o.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n
\n<\/div>\n
\n
Assim, a reta [tex]r[\/tex] mostrada na figura \u00e9 a representa\u00e7\u00e3o no plano cartesiano das solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o
[tex]y=ax+b.[\/tex]<\/center>\n\n\n\nO coeficiente [tex]a[\/tex] \u00e9 denominado o coeficiente angular e [tex]b[\/tex] \u00e9 o coeficiente linear da reta em quest\u00e3o. Geometricamente, o coeficiente angular [tex]a[\/tex] est\u00e1 associado ao declive da reta, isto \u00e9, ao \u00e2ngulo que a reta define com o eixo horizontal [tex]Ox.[\/tex] O coeficiente linear [tex]b[\/tex] \u00e9 a ordenada do ponto em que a reta intercepta o eixo [tex]Oy.[\/tex]\n<\/p>\n
<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n
\n
Exemplo 8.<\/strong> Na figura a seguir, temos a reta [tex]r[\/tex] que representa as solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o [tex]y=x+1[\/tex]. Observe que, nesse caso, [tex]a=1[\/tex] e [tex]b=1[\/tex], e a reta passa pelos pontos [tex](0,1)[\/tex] e [tex](1,2)[\/tex], que s\u00e3o solu\u00e7\u00f5es particulares da equa\u00e7\u00e3o.<\/p>\n
\n
\n
Exemplo 9.<\/strong> Nesse exemplo, temos a reta que representa as solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o [tex]y=-2x+3[\/tex]. Nesse caso, [tex]a=-2[\/tex] e [tex]b=3[\/tex] e a reta passa pelos pontos [tex](0,3)[\/tex] e [tex](1,1)[\/tex], que s\u00e3o solu\u00e7\u00f5es particulares da equa\u00e7\u00e3o. <\/p>\n
\n<\/div>\n
\n
Vimos que as coordenadas do conjunto de pontos de qualquer reta no plano s\u00e3o as solu\u00e7\u00f5es de uma das equa\u00e7\u00f5es
[tex]y=b,\\qquad x=a\\qquad [\/tex]ou [tex]\\qquad y=ax+b[\/tex]<\/center>\n
\n
Exemplo 10.<\/strong> Considere a equa\u00e7\u00e3o[tex]4x+2y-3=0.[\/tex]<\/center>
[tex]4x+2y-3=0 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ 2y=-4x+3 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ y=-2x+1,5 .[\/tex]<\/center>
\n
Aproveitamos esse exemplo para mencionar que qualquer equa\u00e7\u00e3o da forma
[tex]Ax+By+C=0, \\ \\ \\text{com} \\ \\ A\\neq 0 \\ \\ \\text{ou} \\ \\ B\\neq 0,[\/tex]<\/center>
[tex]x=-\\frac{C}{A}[\/tex].<\/center><\/p>\nSe [tex]B\\neq 0[\/tex], podemos isolar o [tex]y[\/tex]:<\/p>\n
[tex]y=-\\frac{A}{B}x-\\frac{C}{B}[\/tex].<\/center><\/p>\n\n
\n
Exemplo 11.<\/strong> Consideremos a equa\u00e7\u00e3o[tex]x^2y-2x^3+x^2+y-2x+1=0.[\/tex]<\/center>\n
<\/p>\n
\nNosso objetivo ser\u00e1 transformar a equa\u00e7\u00e3o em outra equivalente cuja figura geom\u00e9trica j\u00e1 conhecemos.
\n\tObserve que podemos fatorar o lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o como [tex](x^2+1) (y-2x+1)[\/tex]. Assim,<\/p>\n
[tex]x^2y-2x^3+x^2+y-2x+1=0 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ (x^2+1) (y-2x+1)=0.[\/tex]<\/center>
[tex](x^2+1) (y-2x+1)=0 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ (x^2+1)=0 \\ \\ \\text{ou} \\ \\ (y-2x+1)=0.[\/tex]<\/center>
[tex]x^2y-2x^3+x^2+y-2x+1=0 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ y-2x+1=0.[\/tex]<\/center>[tex] y=2x-1.[\/tex]<\/center>\n
Vamos aproveitar o exemplo acima para definir um importante conceito relacionado \u00e0s equa\u00e7\u00f5es. Dizemos que duas equa\u00e7\u00f5es de duas inc\u00f3gnitas s\u00e3o equivalentes nos n\u00fameros reais quando elas possuem exatamente as mesmas solu\u00e7\u00f5es. Por exemplo, as equa\u00e7\u00f5es [tex]x^2y-2x^3+x^2+y-2x+1=0[\/tex] e [tex]y=2x-1[\/tex] s\u00e3o equivalentes. Dessa defini\u00e7\u00e3o, segue imediatamente que, se duas equa\u00e7\u00f5es s\u00e3o equivalentes, ent\u00e3o suas solu\u00e7\u00f5es representam a mesma figura geom\u00e9trica no plano cartesiano. <\/p>\n
Em muitos casos, podemos fatorar uma equa\u00e7\u00e3o e visualizar a representa\u00e7\u00e3o no plano cartesiano como a uni\u00e3o de mais de uma reta. Vejamos:<\/p>\n
\n
\n
Exemplo 12.<\/strong> Consideremos a equa\u00e7\u00e3o[tex]x^2-y^2=0.[\/tex]<\/center>
[tex]x^2-y^2=0 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ (x-y)(x+y)=0.[\/tex]<\/center><\/p>\nPortanto,
[tex]x^2-y^2=0 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ x-y=0 \\ \\ \\text{ou} \\ \\ x+y=0,[\/tex]<\/center>[tex]x^2-y^2=0 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ y=x \\ \\ \\text{ou} \\ \\ y=-x.[\/tex]<\/center>\n
E quanto \u00e0s outras figuras geom\u00e9tricas, quais s\u00e3o suas equa\u00e7\u00f5es? Vamos considerar a circunfer\u00eancia. Seja [tex]c[\/tex] uma circunfer\u00eancia centrada em um ponto [tex]C[\/tex], com coordenadas [tex](a,b)[\/tex], e com a medida do raio sendo um n\u00famero positivo [tex]r[\/tex].<\/p>\n
Esta circunfer\u00eancia \u00e9 o conjunto de todos os pontos [tex]P[\/tex] que est\u00e3o a uma dist\u00e2ncia [tex]r[\/tex] do centro [tex]C[\/tex]. Seja [tex]P[\/tex] um ponto com coordenadas [tex](x,y)[\/tex], pertencente \u00e0 circunfer\u00eancia. <\/p>\n
Neste caso, [tex]CP=r[\/tex]. Usando a f\u00f3rmula para a dist\u00e2ncia entre dois pontos, obtemos
[tex]\\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r[\/tex].<\/center>[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2.[\/tex]<\/center>[tex]CP=\\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=\\sqrt{r^2}=r[\/tex].<\/center><\/p>\nDessa maneira, [tex]P[\/tex] \u00e9 um ponto da circunfer\u00eancia. Em resumo, a circunfer\u00eancia centrada no ponto com coordenadas [tex](a,b)[\/tex] e tendo raio igual a [tex]r[\/tex] \u00e9 a representa\u00e7\u00e3o do conjunto solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o
[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2.[\/tex]<\/center><\/p>\n\n
\n
Exemplo 13.<\/strong> Consideremos a equa\u00e7\u00e3o[tex]y^2+x^2=9.[\/tex]<\/center>[tex](y-0)^2+(x-0)^2=3^2.[\/tex]<\/center>
\n
Muitas vezes uma equa\u00e7\u00e3o n\u00e3o est\u00e1, inicialmente, na forma
[tex](x-a)^2+(y-b)^2=r^2[\/tex],<\/center>t\u00e9cnica de completar o quadrado<\/a><\/strong>. Ela se baseia na identidade[tex]\\left(x+\\dfrac{b}{2}\\right)^2=x^2+bx+\\dfrac{b^2}{4}.[\/tex]<\/center>[tex]\\left(x+\\dfrac{b}{2}\\right)^2-\\dfrac{b^2}{4}=x^2+bx,[\/tex]<\/center>\n
\n
Exemplo 14.<\/strong> Qual figura geom\u00e9trica ser\u00e1 formada pela representa\u00e7\u00e3o no plano cartesiano das solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o<\/p>\n
[tex]x^2-4x+y^2-2y+3=0?[\/tex]<\/center><\/p>\n\n
<\/p>\n
\n\tUsando a t\u00e9cnica de completar quadrados, obtemos
\n
[tex]x^2-4x=(x-2)^2-4[\/tex]<\/center>[tex]y^2-2y=(y-1)^2-1.[\/tex]<\/center>
[tex](x-2)^2-4+(y-1)^2-1+3=0 \\ \\ \\Longleftrightarrow \\ \\ (x-2)^2+(y-1)^2=2.[\/tex]<\/center><\/p>\nEscrevendo [tex]2=(\\sqrt{2})^2[\/tex], podemos concluir que a equa\u00e7\u00e3o inicial deste exemplo \u00e9 equivalente \u00e0 equa\u00e7\u00e3o<\/p>\n
[tex] (x-2)^2+(y-1)^2=(\\sqrt{2})^2[\/tex],<\/center><\/p>\ne suas solu\u00e7\u00f5es representam a circunfer\u00eancia com centro no ponto [tex](2,1)[\/tex] e raio igual a [tex]\\sqrt{2}[\/tex].<\/p>\n
\n
\n
\n\n\n\nExerc\u00edcio 4: <\/strong>Fa\u00e7a a representa\u00e7\u00e3o no plano cartesiano das solu\u00e7\u00f5es de cada uma das equa\u00e7\u00f5es com duas inc\u00f3gnitas:\n
F\u00f3rmula relacionando quantidades que est\u00e3o variando<\/p>\n
\n
Consideremos a seguinte situa\u00e7\u00e3o: existem duas quantidades [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] que est\u00e3o variando simultaneamente e suspeitamos que existe uma f\u00f3rmula matem\u00e1tica que as relaciona. Suponhamos que podemos obter valores para este par de quantidades, como ilustrado na tabela:
[tex]\\begin{array}{c|c}O uso do plano cartesiano pode ser muito promissor para resolver esse problema seguindo a seguinte estrat\u00e9gia geral: representamos primeiramente no plano os pontos [tex]P_0, P_1, P_2, P_3 \\dots, P_n[\/tex] com coordenadas [tex](x_0,y_0), (x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3),\\dots, (x_n,y_n)[\/tex], respectivamente, como ilustrado na pr\u00f3xima figura<\/p>\n
Essa representa\u00e7\u00e3o pode sugerir<\/em> a forma\u00e7\u00e3o de uma figura geom\u00e9trica que sabemos ser a representa\u00e7\u00e3o do conjunto solu\u00e7\u00e3o de uma equa\u00e7\u00e3o em duas inc\u00f3gnitas conhecidas. Quanto mais informa\u00e7\u00f5es tivermos, mais elementos teremos para testar essa hip\u00f3tese, mas \u00e9 importante lembrar que a representa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica, por si s\u00f3, n\u00e3o constitui uma prova de que o modelo seja o \u00fanico.<\/p>\n
A equa\u00e7\u00e3o cujas solu\u00e7\u00f5es representam essa figura pode ser a f\u00f3rmula que estamos procurando. Este m\u00e9todo \u00e9 frequentemente empregado em \u00e1reas das ci\u00eancias exatas como F\u00edsica, Qu\u00edmica, Biologia etc., e na pr\u00f3pria Matem\u00e1tica, \u00e9 claro. Vejamos alguns exemplos. <\/p>\n
\n
\n
Exemplo 15.<\/strong> Os dados da tabela fornecem pares de valores para duas quantidades [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] que est\u00e3o variando simultaneamente. Encontre uma f\u00f3rmula que relacione [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] e se ajuste aos valores obtidos.<\/p>\n
[tex]\\begin{array}{c|c}\n
<\/p>\n
\n\tVamos seguir nossa estrat\u00e9gia e representar no plano cartesiano os pontos com coordenadas [tex](-1;0,5)[\/tex], [tex](1;1,5)[\/tex], [tex](2,2)[\/tex], [tex](3;2,5)[\/tex], [tex](3,5;2,75)[\/tex] e [tex](5;3,5)[\/tex].
\n
\nEsses pontos parecem estar perfeitamente alinhados. Isso nos leva a supor que existe uma reta que passa por todos eles. <\/p>\n
[tex]y=ax+b[\/tex],<\/center>[tex]\\left\\{ \\begin{array}{ccc}Isolando [tex]b[\/tex] na segunda equa\u00e7\u00e3o, obtemos [tex]b=1,5-a[\/tex]. Agora, vamos substituir essa express\u00e3o para [tex]b[\/tex] na primeira equa\u00e7\u00e3o para obter
[tex]2=2a+1,5-a \\ \\ \\therefore \\ \\ a=0,5.[\/tex]<\/center>
[tex]y=0,5x+1[\/tex].<\/center>[tex]y=0,5x+1[\/tex],<\/center>\n
\n
Exemplo 16.<\/strong> Os dados da tabela fornecem pares de valores para duas quantidades [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] que est\u00e3o variando simultaneamente. Encontre uma f\u00f3rmula que relacione [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] e se ajuste aos valores da tabela. <\/p>\n
[tex]\\begin{array}{c|c}\n
<\/p>\n
\n\tPode ser bem desafiador encontrar uma f\u00f3rmula que relaciona essas quantidades sem recorrer ao plano cartesiano. Entretanto, com o uso desse artif\u00edcio, a tarefa se torna mais simples. Novamente, vamos representar todos esses pares de valores para as quantidades no plano cartesiano e o resultado disso ser\u00e1 a figura:<\/p>\n
Sabemos que esta circunfer\u00eancia \u00e9 a representa\u00e7\u00e3o das solu\u00e7\u00f5es da equa\u00e7\u00e3o com duas inc\u00f3gnitas
[tex](x-2)^2+(y-0)^2=2^2[\/tex].<\/center>
[tex]x^2-4x+y^2=0[\/tex],<\/center>[tex]y^2=4x-x^2[\/tex].<\/center><\/p>\nVeja como essa equa\u00e7\u00e3o se ajusta perfeitamente aos valores obtidos na tabela deste exemplo. Por exemplo, fazendo as substitui\u00e7\u00f5es [tex]x=2[\/tex] e [tex]y=2[\/tex] nesta equa\u00e7\u00e3o, obtemos
[tex] \\begin{array}{ccc}
[tex] \\begin{array}{ccc}O leitor n\u00e3o ter\u00e1 dificuldades em verificar que todos os outros pares de valores da tabela deste exemplo s\u00e3o solu\u00e7\u00f5es para a equa\u00e7\u00e3o
[tex]y^2=4x-x^2[\/tex].<\/center>
[tex]y^2=4\\cdot 2,56-2,56^2=3,6864 \\ \\ \\Longrightarrow \\ \\ y=\\pm \\sqrt{3,6864} \\ \\ \\Longrightarrow \\ \\ y=\\pm 1,92 [\/tex].<\/center><\/p>\nA equa\u00e7\u00e3o fornece duas possibilidades de valores para [tex]y[\/tex], como mostrado na figura.<\/p>\n
\n
\n
\n\n\n\nExerc\u00edcio 5: <\/strong>Em cada um dos itens abaixo, existem duas quantidades [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] que est\u00e3o variando simultaneamente e alguns pares de valores obtidos para elas est\u00e3o dispostos em uma tabela. Encontre uma f\u00f3rmula que relacione as quantidades [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] e se ajuste perfeitamente aos valores apresentados na tabela em cada um dos casos.b) [tex]\\begin{array}{c|c}
\n
Solu\u00e7\u00e3o de problemas de \u00e1lgebra com geometria<\/p>\n
\n
Existem muitos problemas da \u00e1lgebra que podem ser trabalhosos para serem resolvidos apenas com as ferramentas da \u00e1rea, mas que, com o uso do plano cartesiano, se transformam em problemas geom\u00e9tricos simples. Vejamos dois exemplos bem ilustrativos. <\/p>\n
\n
\n
Exemplo 17.<\/strong> Determine se existe solu\u00e7\u00e3o para o sistema de equa\u00e7\u00f5es[tex]\\left\\{ \\begin{array}{ccc}\n
<\/p>\n
\n\tO leitor est\u00e1 convidado a resolver este problema sem o uso de geometria e ver que pode ser um pouco trabalhoso. Com o uso do plano cartesiano, podemos transformar esse problema de \u00e1lgebra em um problema de geometria e a resposta ir\u00e1 se revelar. Usando a t\u00e9cnica de completar quadrados, podemos obter o sistema equivalente ao original<\/p>\n
[tex]\\left\\{ \\begin{array}{ccc}[tex]\\left\\{ \\begin{array}{ccc}
[tex]\\sqrt{(2-(-2))^2+(2-(-1))^2}=\\sqrt{4^2+3^2}=5[\/tex]<\/center>
\n
\n
Exemplo 18.<\/strong> Qual \u00e9 o valor real de [tex]x[\/tex] que, quando substitu\u00eddo na express\u00e3o<\/p>\n
[tex]\\sqrt{x^2-2x+2}+\\sqrt{x^2-8x+25},[\/tex]<\/center><\/p>\nfaz com que ela tenha o menor valor poss\u00edvel? E qual \u00e9 esse valor m\u00ednimo?<\/p>\n
\n
<\/p>\n
\n\tA solu\u00e7\u00e3o que apresentaremos recorrer\u00e1, uma vez mais, ao uso do plano cartesiano. Usando a t\u00e9cnica de completar quadrados, podemos transformar a express\u00e3o original em<\/p>\n
[tex]\\sqrt{(x-1)^2+1}+\\sqrt{(x-4)^2+9},[\/tex]<\/center><\/p>\nque por sua vez pode ser transformada em<\/p>\n
[tex]\\sqrt{(x-1)^2+(1-0)^2}+\\sqrt{(x-4)^2+(3-0)^2}.[\/tex]<\/center><\/p>\nSejam [tex]x[\/tex] um n\u00famero real qualquer e [tex]P_0[\/tex], [tex]P[\/tex] e [tex]P_1[\/tex] os pontos do plano cartesiano com coordenadas [tex](1,-1)[\/tex], [tex](x,0)[\/tex] e [tex](4,3)[\/tex], respectivamente. Observe que podemos escrever <\/p>\n
[tex]\\sqrt{(x-1)^2+(1-0)^2}+\\sqrt{(x-4)^2+(3-0)^2}=P_0P+PP_1.[\/tex]<\/center><\/p>\n
Como as coordenadas do ponto [tex]P[\/tex] s\u00e3o [tex](x,0)[\/tex], este ponto estar\u00e1 sempre sobre o eixo [tex]Ox[\/tex]. Queremos encontrar o valor para [tex]x[\/tex] tal que <\/p>\n
[tex]P_0P+PP_1[\/tex]<\/center><\/p>\nseja m\u00ednimo. Observe que <\/p>\n
[tex]P_0P_1=\\sqrt{(4-1)^2+(3-(-1))^2}=\\sqrt{3^2+4^2}=5.[\/tex]<\/center>
A reta [tex]r[\/tex] \u00e9 a representa\u00e7\u00e3o do conjunto solu\u00e7\u00e3o de uma equa\u00e7\u00e3o da forma <\/p>\n
[tex]y=ax+b.[\/tex]<\/center><\/p>\nOs pontos [tex]P_0[\/tex] e [tex]P_1[\/tex], com coordenadas [tex](1,-1)[\/tex] e [tex](4,3)[\/tex], respectivamente, pertencem \u00e0 reta e, dessa forma, a substitui\u00e7\u00e3o de suas coordenadas na equa\u00e7\u00e3o deve gerar igualdades. Assim, podemos montar o sistema<\/p>\n
[tex]\\left\\{ \\begin{array}{ccc}Isolando [tex]b[\/tex] na segunda equa\u00e7\u00e3o e substituindo na primeira obtemos<\/p>\n
[tex]3=4a+(-1-a) \\ \\ \\therefore \\ \\ a=\\dfrac{4}{3}.[\/tex]<\/center><\/p>\nAgora que obtivemos o valor de [tex]a[\/tex], basta substituir em uma das equa\u00e7\u00f5es e encontraremos <\/p>\n
[tex]-1=\\dfrac{4}{3}+b \\ \\ \\therefore \\ \\ b=-\\dfrac{7}{3}.[\/tex]<\/center><\/p>\nCom isso, a equa\u00e7\u00e3o da reta [tex]r[\/tex] \u00e9 <\/p>\n
[tex]y=\\dfrac{4}{3}x-\\dfrac{7}{3}.[\/tex]<\/center><\/p>\nPara que o ponto [tex]P[\/tex], com coordenadas [tex](x,0)[\/tex], perten\u00e7a a esta reta, suas coordenadas deve ser solu\u00e7\u00e3o da equa\u00e7\u00e3o acima, ou seja, <\/p>\n
[tex]0=\\dfrac{4}{3}x-\\dfrac{7}{3} \\ \\ \\therefore \\ \\ x=\\dfrac{7}{4}. [\/tex]<\/center><\/p>\nConclu\u00edmos ent\u00e3o que [tex]x=\\dfrac{7}{4}[\/tex] \u00e9 o n\u00famero que torna o valor da express\u00e3o
[tex]\\sqrt{x^2-2x+2}+\\sqrt{x^2-8x+25}[\/tex]<\/center>\n
\n\n\n\nExerc\u00edcio 6: <\/strong>Determine o n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es do sistema de equa\u00e7\u00f5es[tex]\\left\\{ \\begin{array}{ccc}\n
\n\n\n\nExerc\u00edcio 7: <\/strong>Qual \u00e9 o valor real de [tex]x[\/tex] que, quando substitu\u00eddo na express\u00e3o<\/p>\n
[tex]\\sqrt{(x-2)^2+(x-4)^2}+\\sqrt{(x-4)^2+(x-1)^2}[\/tex],<\/center> <\/p>\nfaz com que ela tenha o menor valor poss\u00edvel? E qual \u00e9 esse valor m\u00ednimo?\n<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\n
Solu\u00e7\u00e3o de problemas de geometria com \u00e1lgebra<\/p>\n
\n
Temos agora o cen\u00e1rio inverso da se\u00e7\u00e3o anterior: problemas geom\u00e9tricos que podem ser traduzidos por meio do plano cartesiano em problemas de \u00e1lgebra, com solu\u00e7\u00f5es mais simples do que as solu\u00e7\u00f5es geom\u00e9tricas correspondentes. Vejamos alguns exemplos desses problemas. <\/p>\n
\n
\n
Exemplo 19.<\/strong> Dados dois pontos [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] em um plano, com [tex]AB=3[\/tex], encontre a figura geom\u00e9trica formada por todos os pontos [tex]P[\/tex] tais que[tex]PA=2PB.[\/tex]<\/center>\n
<\/p>\n
\n\tMais uma vez convidamos o leitor a resolver esse problema apenas com ferramentas da geometria. Nossa solu\u00e7\u00e3o far\u00e1 uso de um plano cartesiano. Uma escolha conveniente do sistema de coordenadas pode simplificar radicalmente o problema. Introduziremos um sistema de coordenadas cartesianas de forma que o ponto [tex]A[\/tex] seja a origem desse sistema e o ponto [tex]B[\/tex] esteja sobre o eixo [tex]Ox[\/tex] com coordenadas [tex](3,0)[\/tex]. Seja [tex]P[\/tex] um ponto qualquer nesse plano cartesiano, com coordenadas [tex](x,y)[\/tex]. Usando a f\u00f3rmula para a dist\u00e2ncia entre dois pontos, podemos verificar a equival\u00eancia das equa\u00e7\u00f5es<\/p>\n
[tex]PA=2PB \\ \\ \\Longleftrightarrow \\sqrt{x^2+y^2}=2\\sqrt{(x-3)^2+y^2}.[\/tex]<\/center><\/p>\n
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