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Problema Extra\u00eddo de Col\u00e9gio Naval – Adaptada<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Os Matem\u00e1gicos<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Efetuando a divis\u00e3o de [tex]5[\/tex] por [tex]37[\/tex], Jos\u00e9 foi calculando o quociente at\u00e9 que a soma de todos os algarismos do quociente na parte decimal foi imediatamente maior ou igual a [tex]400[\/tex]. Quantas casas decimais Jos\u00e9 escreveu? Extra\u00eddo de Col\u00e9gio Naval – Adaptada. Solu\u00e7\u00e3o 1 … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nEfetuando a divis\u00e3o de [tex]5[\/tex] por [tex]37[\/tex], Jos\u00e9 foi calculando o quociente at\u00e9 que a soma de todos os algarismos do quociente na parte decimal foi imediatamente maior ou igual a [tex]400[\/tex]. Quantas casas decimais Jos\u00e9 escreveu?<\/p>\n
\nAo dividirmos [tex]5[\/tex] por [tex]37[\/tex], encontramos um quociente que \u00e9 uma d\u00edzima peri\u00f3dica: \\[5 \\div 37 = 0,\\overline{135}.\\] O [tex]135[\/tex] da parte decimal \u00e9 o per\u00edodo da d\u00edzima peri\u00f3dica. A soma dos algarismos de cada per\u00edodo \u00e9 [tex]1+3+5 = 9[\/tex], ou seja, cada per\u00edodo dessa d\u00edzima contribui com [tex]9[\/tex] na soma. Agora, precisamos saber quantos per\u00edodos s\u00e3o escritos at\u00e9 a soma chegar pr\u00f3xima a [tex]400[\/tex]. Para isso, dividimos [tex]400[\/tex] por [tex]9[\/tex], encontrando quociente [tex]44[\/tex] e resto [tex]4[\/tex], o que significa que ap\u00f3s [tex]44[\/tex] per\u00edodos dessa d\u00edzima, a soma dos algarismos de sua parte decimal \u00e9 [tex]44 \\cdot 9 = 396[\/tex]. Para atingir ou ultrapassar [tex]400[\/tex], devemos somar mais alguns algarismos da d\u00edzima, o que \u00e9 atingido ao somar os 2 primeiros algarismos do [tex]45^\\circ[\/tex] per\u00edodo: [tex]1+3[\/tex]. Sendo assim, foram escritas [tex]44 \\cdot 3 + 2 = 134[\/tex] casas decimais at\u00e9 que a soma atingisse ou superasse [tex]400[\/tex]. <\/p>\n
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\nA divis\u00e3o de 5 por 37 tem como resultado uma dizima peri\u00f3dica simples com 3 casas no per\u00edodo, sendo elas: 1, 3 e 5. A soma dos algarismos deste per\u00edodo \u00e9 [tex]1+3+5=9[\/tex]. Sabendo disso, vamos dividir 400 por 9, e temos como resultado 44 com resto 4. Logo, ele somou 44 per\u00edodos mais os dois primeiros n\u00fameros do 45\u00b0 per\u00edodo (1 e 3) para \u201ccobrirmos\u201d o resto. Como cada per\u00edodo tem 3 casas, precisamos de [tex]44\\cdot3+2=134[\/tex] casas decimais para conseguirmos alcan\u00e7ar 400. Assim, podemos dizer que Jos\u00e9 escreveu 134 casas decimais. <\/p>\n
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