{"id":228735,"date":"2026-05-12T14:54:52","date_gmt":"2026-05-12T17:54:52","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=228735"},"modified":"2026-05-12T14:54:52","modified_gmt":"2026-05-12T17:54:52","slug":"problema-graveto-e-triangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-graveto-e-triangulo\/","title":{"rendered":".Problema: Graveto e tri\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

Bruno estava brincando com um graveto quando acertou uma parede e o graveto se partiu em tr\u00eas peda\u00e7os, de comprimentos [tex]a,b[\/tex] e [tex]c[\/tex], com [tex]a \\leq b \\leq c[\/tex]. Ele recolheu os peda\u00e7os e tentou construir um tri\u00e2ngulo cujos lados seriam exatamente os peda\u00e7os do graveto: n\u00e3o foi poss\u00edvel.<\/p>\n

Sabendo que o graveto tinha [tex]50[\/tex] cm de comprimento e que [tex]b=a+2[\/tex], qual \u00e9 o maior valor poss\u00edvel de [tex]a[\/tex]?<\/p>\n

Extra\u00eddo de UNICAMP<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

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Para que tr\u00eas n\u00fameros reais positivos possam ser medidas dos lados de um mesmo tri\u00e2ngulo, devem satisfazer ao crit\u00e9rio da condi\u00e7\u00e3o de exist\u00eancia de um tri\u00e2ngulo. A condi\u00e7\u00e3o de exist\u00eancia diz que, dado um tri\u00e2ngulo qualquer, a soma de dois lados deve ser maior que o terceiro lado (essa propriedade \u00e9 tamb\u00e9m conhecida como desigualdade triangular).<\/p>\n

Ou seja, dados tr\u00eas n\u00fameros reais [tex]a \\leq b \\leq c[\/tex], para que seja poss\u00edvel construir um tri\u00e2ngulo com essas tr\u00eas medidas, \u00e9 necess\u00e1rio ter [tex]c \\lt b+a[\/tex].<\/p>\n

Do enunciado, podemos concluir que:
\n[tex]\\qquad a + b + c = 50[\/tex].<\/p>\n

Como [tex]b= a + 2[\/tex], temos que:<\/p>\n

[tex]\\qquad 2a + c = 48[\/tex], ou seja, [tex]c=48-2a\\quad (I).[\/tex] <\/p>\n

Como n\u00e3o foi poss\u00edvel construir um tri\u00e2ngulo, a condi\u00e7\u00e3o de exist\u00eancia n\u00e3o foi satisfeita. Logo:<\/p>\n

[tex]\\qquad c \\geq b+a\\quad (II).[\/tex] <\/p>\n

De (I) e (II), temos que:
\n[tex]\\qquad 48-2a \\geq a+a+2,[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad 46 \\geq 4a,[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad a \\leq 11,5.[\/tex]<\/p>\n

Portanto, o valor m\u00e1ximo de [tex]a[\/tex] \u00e9 [tex]11,5[\/tex] cm.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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