{"id":227385,"date":"2026-02-09T15:57:03","date_gmt":"2026-02-09T18:57:03","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=227385"},"modified":"2026-02-09T15:57:03","modified_gmt":"2026-02-09T18:57:03","slug":"problema-estagiarios","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-estagiarios\/","title":{"rendered":".Problema: Estagi\u00e1rios"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nO setor de recursos humanos de uma empresa contratou seis novos estagi\u00e1rios (quatro mulheres e dois homens): Aline, Bruno, Catarina, Daniela, \u00c9rica e Fernando. Esses estagi\u00e1rios dever\u00e3o ser alocados em tr\u00eas \u00e1reas distintas: marketing, finan\u00e7as e projetos. Segundo instru\u00e7\u00f5es da dire\u00e7\u00e3o, essa aloca\u00e7\u00e3o dever\u00e1 obedecer aos seguintes par\u00e2metros:<\/p>\n

I) N\u00e3o haver\u00e1 dois homens atuando na mesma \u00e1rea; e<\/p>\n

II) Cada \u00e1rea receber\u00e1 duas pessoas.<\/p>\n

Calcule o n\u00famero de maneiras distintas que essa aloca\u00e7\u00e3o poder\u00e1 ser feita.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nPara selecionar dois est\u00e1giaros para \u00e1rea de marketing h\u00e1:<\/p>\n

[tex]C_{6}^{2}=\\dfrac{6!}{4! \\cdot 2!}=15[\/tex] modos.<\/p>\n

Para selecionar dois para \u00e1rea de finan\u00e7as h\u00e1:<\/p>\n

[tex]C_{4}^{2}=\\dfrac{4!}{2! \\cdot 2!}=6[\/tex] modos.<\/p>\n

Para selecionar dois para \u00e1rea de projetos h\u00e1:<\/p>\n

[tex]C_{2}^{2}=\\dfrac{2!}{2! \\cdot 0!}=1[\/tex] modo.<\/p>\n

Assim, pelo princ\u00edpio multiplicativo, h\u00e1 [tex]15 \\cdot 6 \\cdot 1 = 90[\/tex] maneiras de distribuir dois estagi\u00e1rios em cada \u00e1rea.<\/p>\n

Vamos, agora, calcular em quantas dessas solu\u00e7\u00f5es teremos os dois homens na mesma \u00e1rea.<\/p>\n

Se Bruno e Fernando estiverem na \u00e1rea do marketing, distribuindo as estagi\u00e1rias, conclu\u00edmos que [tex]C_{4}^{2} \\cdot C_{2}^{2}=6 \\cdot 1 = 6[\/tex] solu\u00e7\u00f5es n\u00e3o respeitam o par\u00e2metro I. De modo an\u00e1logo, temos [tex]6[\/tex] solu\u00e7\u00f5es quando eles est\u00e3o em finan\u00e7as e mais [tex]6[\/tex] solu\u00e7\u00f5es caso estejam na \u00e1rea de projetos.<\/p>\n

Portanto, h\u00e1 [tex]90-6-6-6=72[\/tex] maneiras distintas de alocar esses estagi\u00e1rios satisfazendo ambos os par\u00e2metros.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nPrimeiramente, veremos de quantas formas diferentes essa distribui\u00e7\u00e3o pode ser feita colocando os homens em quaisquer \u00e1reas distintas:<\/p>\n

Marketing: 4\u00b72 (qualquer menina e qualquer menino)
\nFinan\u00e7as: 3\u00b71 (qualquer menina e qualquer menino que j\u00e1 n\u00e3o estejam no marketing)
\nProjetos: 1\u00b71 (as duas meninas restantes, observamos aqui que n\u00e3o poderia ser 2.1, sendo o 2 qualquer menina restante e depois 1, pois assim estar\u00edamos contando o mesmo caso duas vezes, Daniela e \u00c9rica e \u00c9rica e Daniela sendo duas equipes distintas, por exemplo)<\/p>\n

Sendo assim, pelo PFC, teremos 4\u00b72\u00b73\u00b71\u00b71\u00b71=24 solu\u00e7\u00f5es. Agora, basta determinar de quantas formas diferentes podemos distribuir os garotos de modo que eles n\u00e3o fiquem no mesmo setor e multiplicar por 24.<\/p>\n

Bruno pode ficar em qualquer um dos 3 setores e Fernando em qualquer um dos 2 restantes, logo temos 3\u00b72=6 modos de distribu\u00ed-los.<\/p>\n

Portanto, ter\u00edamos 6\u00b724=144 maneiras. Por\u00e9m, anteriormente os casos onde eles se invertem, ou seja, FB ou BF, j\u00e1 foram contados, ent\u00e3o \u00e9 necess\u00e1rio dividir por 2, 144\/2=72.<\/p>\n

Logo, essa aloca\u00e7\u00e3o pode ser feita de 72 maneiras distintas.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Villa-Lobos <\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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