\n
\n
\n
Nesse contexto, a Modelagem Matem\u00e1tica \u00e9 um processo que envolve a representa\u00e7\u00e3o de situa\u00e7\u00f5es do mundo real por meio de conceitos matem\u00e1ticos, com o objetivo de analisar, compreender e prever o comportamento dessas situa\u00e7\u00f5es. De um lado, t\u00eam-se os dados e as intui\u00e7\u00f5es fornecidos pelo problema real; de outro, constr\u00f3i-se um modelo \u2014 uma tentativa de descrever a realidade por meio de leis matem\u00e1ticas. Esse modelo, ap\u00f3s ser analisado e estudado com ferramentas matem\u00e1ticas e computacionais, precisa ser confrontado com dados reais para sua valida\u00e7\u00e3o. Assim, na modelagem, teoria matem\u00e1tica e realidade se retroalimentam de forma cont\u00ednua.<\/p><\/div>\n
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\n
\n
Modelos Matem\u00e1ticos: Exemplos Iniciais<\/p>\n
Talvez voc\u00ea n\u00e3o perceba, mas modelos matem\u00e1ticos est\u00e3o sempre presentes em nosso cotidiano. Vamos ver alguns exemplos?<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Clubes_modelagem_caixa.png\")
<\/p>\n
Para essa situa\u00e7\u00e3o, o modelo matem\u00e1tico que nos fornece o volume interno da caixa \u00e9 bem simples: <\/p>\n
[tex] \\text{Volume} = c \\times l \\times h[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n
\n
O modelo \u00e9 preciso? Bem, em nosso exemplo, n\u00e3o pensamos na espessura do papel\u00e3o, na exatid\u00e3o dos \u00e2ngulos e das medidas e em outras coisas do “mundo real”. Mas, o modelo \u00e9 bom o suficiente para ser \u00fatil! Por exemplo, o c\u00e1lculo do volume de reservat\u00f3rios de \u00e1gua, como cisternas ou caixas d’\u00e1gua, \u00e9 essencial para garantir o abastecimento adequado e evitar desperd\u00edcios. Outro exemplo importante \u00e9 o de calcular a capacidade de armazenamento, ainda que aproximada, em meios de transporte ou armaz\u00e9ns. <\/p>\n
Havendo maior necessidade de precis\u00e3o, detalhes como a espessura do papel\u00e3o e a exatid\u00e3o das medidas angulares ser\u00e3o importantes. J\u00e1 dizia o estat\u00edstico brit\u00e2nico George Box que…<\/p>\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/George_box-1-1.jpg\")
<\/p>\n
Vamos continuar com alguns exemplos.<\/p>\n
\n
Modelagem por Fun\u00e7\u00f5es do Primeiro Grau<\/span> <\/p>\n Primeiramente, vamos transformar litros em metros c\u00fabicos. Sabemos que [tex]1000~l=1\\, \\text{ m}^3.[\/tex] Logo, [tex]15~000~l=15\\, \\text{ m}^3,[\/tex] ou seja, temos um excedente de [tex]5\\, \\text{ m}^3[\/tex]. O valor a ser pago \u00e9 calculado da seguinte forma: \n O sal\u00e1rio a ser recebido \u00e9 calculado da seguinte forma: \n Voc\u00ea reparou que as duas situa\u00e7\u00f5es foram modeladas por fun\u00e7\u00f5es do tipo [tex]f(x)=ax+b[\/tex]? No primeiro exemplo, a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] determina o valor da conta a ser paga, sendo J\u00e1 no segundo exemplo, a fun\u00e7\u00e3o [tex]f[\/tex] determina o sal\u00e1rio mensal do vendedor, sendo Como voc\u00eas j\u00e1 devem conhecer, este tipo de fun\u00e7\u00e3o \u00e9 chamado de Fun\u00e7\u00e3o Afim ou Fun\u00e7\u00e3o do Primeiro Grau<\/strong><\/a>. Embora seja um tipo simples de fun\u00e7\u00e3o, v\u00e1rias situa\u00e7\u00f5es reais podem ser modeladas a partir de fun\u00e7\u00f5es afins!<\/p>\n \n Modelagem por Fun\u00e7\u00f5es do Segundo Grau<\/span> <\/p>\n A fun\u00e7\u00e3o [tex]A[\/tex] que fornece a \u00e1rea do armaz\u00e9m em T \u00e9 dada por Queremos encontrar o valor de [tex]x[\/tex] para o qual Solucionamos essa equa\u00e7\u00e3o do segundo grau: Como, pelas dimens\u00f5es do terreno, devemos ter [tex]x\\lt40[\/tex], obtemos a solu\u00e7\u00e3o [tex]x=16\\text{ m}[\/tex].\n<\/p><\/div>\n \n A partir dessas observa\u00e7\u00f5es, a que pre\u00e7o a receita seria m\u00e1xima?\n<\/p><\/div>\n \n Na Sala de Atividades Voltando de um passeio pelo mundo da Equa\u00e7\u00e3o Quadr\u00e1tica: Ideias e aplica\u00e7\u00f5es<\/strong><\/a>, as equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas s\u00e3o utilizadas para modelar diversos tipos de situa\u00e7\u00f5es reais, tais como problemas de movimento, custo e receita, e problemas relativos ao estudo do espa\u00e7o (atividades preparadas especialmente para futuros astronautas). D\u00eaem uma passadinha por l\u00e1, confiram a solu\u00e7\u00e3o do Exemplo 5 e muitos outros problemas interessantes!<\/p>\n \n Modelagem por Fun\u00e7\u00f5es Exponenciais<\/span><\/p>\n Um exemplo um pouco mais sofisticado de modelo matem\u00e1tico \u00e9 o do crescimento populacional de bact\u00e9rias. \n Vamos criar um modelo matem\u00e1tico para o crescimento dessa popula\u00e7\u00e3o de bact\u00e9rias:<\/p>\n Suponha que o tempo [tex]x[\/tex] esteja em minutos e seja [tex]T(x)[\/tex] o total de bact\u00e9rias por mililitro ap\u00f3s o tempo [tex]x[\/tex]. Como encontrar uma express\u00e3o para [tex]T(x)[\/tex]? <\/p>\n Em primeiro lugar, quantas \u201cmeias horas\u201d est\u00e3o em [tex]x[\/tex]? Como [tex]x[\/tex] est\u00e1 em minutos, h\u00e1 [tex]x\/30[\/tex] \u201cmeias horas\u201d em [tex]x[\/tex]. A cada uma dessas \u201cmeias horas\u201d, a popula\u00e7\u00e3o triplica. <\/p>\n Ent\u00e3o, nosso modelo \u00e9 dado por Para responder a quest\u00e3o, como Observe que [tex]243=3^5[\/tex]. Logo, o problema se reduz \u00e0 equa\u00e7\u00e3o [tex]3^{x\/30}=3^5[\/tex]. Aplicando o logaritmo de base [tex]3[\/tex], obtemos [tex]x\/30=5[\/tex], ou seja, [tex]x=150 [\/tex] minutos (2 horas e 30 minutos).\n<\/p><\/div>\n \n O modelo apresentado no Exemplo 6 \u00e9 \u00fatil? Sem d\u00favida! Mas ser\u00e1 que ele \u00e9 preciso? Talvez n\u00e3o tanto. Afinal, as bact\u00e9rias n\u00e3o morrem? Elas se reproduzem de forma cont\u00ednua ou em intervalos regulares? Ser\u00e1 que ao formularmos nosso modelo deixamos de lado outras informa\u00e7\u00f5es relevantes sobre o processo…?<\/p>\n Outro conceito fundamental nas ci\u00eancias naturais, especialmente em F\u00edsica e Qu\u00edmica, \u00e9 o de meia-vida. Em contextos farmacol\u00f3gicos, a meia-vida de um medicamento corresponde ao intervalo de tempo necess\u00e1rio para que a quantidade dessa subst\u00e2ncia no organismo seja reduzida \u00e0 metade do valor inicial. Essa diminui\u00e7\u00e3o ocorre, principalmente, em decorr\u00eancia dos processos de elimina\u00e7\u00e3o realizados pelo corpo e das rea\u00e7\u00f5es qu\u00edmicas que as subst\u00e2ncias sofrem ao interagir com outras mol\u00e9culas.<\/p>\n A meia-vida \u00e9 um par\u00e2metro essencial, por exemplo, para:<\/p>\n Vamos modelar a quantidade de determinado medicamento presente no organismo de uma pessoa ao longo do tempo, usando o conceito de meia-vida.<\/p>\n \n A f\u00f3rmula que descreve essa situa\u00e7\u00e3o \u00e9: Observe que o tempo de meia-vida \u00e9 necess\u00e1rio apenas se quisermos converter o n\u00famero de meias-vidas em tempo real (observe que [tex]x=t\/80[\/tex], se o tempo [tex]t[\/tex] estiver em minutos). Para o modelo matem\u00e1tico em si, utilizamos apenas o n\u00famero [tex]x[\/tex] de meias-vidas decorridas.<\/p>\n Para uma explica\u00e7\u00e3o detalhada sobre a constru\u00e7\u00e3o desse modelo, acesse a Sala de Estudos sobre a Fun\u00e7\u00e3o Exponencial \u2013 Sala Introdut\u00f3ria<\/strong><\/a>.\n<\/div>\n \n O modelo do Exemplo 7 \u00e9 preciso? Deve-se observar que esse par\u00e2metro apresenta varia\u00e7\u00f5es dependendo das caracter\u00edsticas do indiv\u00edduo. Em geral, ele \u00e9 fornecido para uma pessoa adulta com sa\u00fade regular. Al\u00e9m disso, nesse modelo, a quantidade da medica\u00e7\u00e3o no organismo vai se tornando cada vez menor, por\u00e9m nunca zera completamente – o que n\u00e3o ocorre na vida real. Mas, com toda a certeza, o modelo \u00e9 muito, muito \u00fatil!<\/p>\n Observe que a modelagem dessas duas \u00faltimas situa\u00e7\u00f5es utilizam fun\u00e7\u00f5es do tipo exponencial, ou seja, fun\u00e7\u00f5es da forma [tex]f(x)=k \\cdot a^x[\/tex]. Enquanto as fun\u00e7\u00f5es afins s\u00e3o \u00fateis em contextos de crescimento ou decrescimento constante, como o c\u00e1lculo de custos, convers\u00e3o de unidades de medida e an\u00e1lise de movimentos uniformes, fun\u00e7\u00f5es exponenciais nos ajudam a entender outros diversos fen\u00f4menos, como aqueles de crescimento ou decaimento acelerado.<\/p>\n \n Modelagem por Fun\u00e7\u00f5es Logar\u00edtmicas<\/span><\/p>\n \n Dispon\u00edvel em: www.terra.com.br. Acesso em: 15 ago. 2013 (adaptado).<\/em><\/p>\n Qual a rela\u00e7\u00e3o entre [tex]E_1[\/tex] e [tex]E_2[\/tex]?\n<\/p><\/div>\n \n Confiram a solu\u00e7\u00e3o desta quest\u00e3o e mais problemas de modelagem de terremotos com fun\u00e7\u00f5es logar\u00edtmicas na Sala de Estudo: Logaritmos X Terremotos<\/strong><\/a>!<\/p>\n \n Nessa f\u00f3rmula, [tex]C[\/tex] \u00e9 uma constante que depende da energia da bomba X. Sabendo-se que, [tex]1[\/tex] minuto ap\u00f3s a explos\u00e3o de uma bomba X de [tex]1[\/tex] megaton de energia, o cogumelo de fuma\u00e7a tem altura de [tex]6[\/tex] km, determine a altura do cogumelo de fuma\u00e7a desta bomba [tex]3[\/tex] minutos ap\u00f3s a explos\u00e3o.<\/p>\n Confira a solu\u00e7\u00e3o AQUI<\/strong><\/a>.\n<\/div>\n \n Modelagem por Fun\u00e7\u00f5es Trigonom\u00e9tricas<\/span><\/p>\n Qualquer movimento que se repete em um per\u00edodo de tempo fixo \u00e9 considerado movimento peri\u00f3dico e pode ser modelado por fun\u00e7\u00f5es senoidais ou cossenoidais. A amplitude de uma fun\u00e7\u00e3o senoidal ou cossenoidal \u00e9 a dist\u00e2ncia da linha m\u00e9dia ao valor m\u00e1ximo, ou da linha m\u00e9dia ao valor m\u00ednimo. A linha m\u00e9dia \u00e9 o valor m\u00e9dio. Fun\u00e7\u00f5es senoidais oscilam acima e abaixo da linha m\u00e9dia, s\u00e3o peri\u00f3dicas e repetem valores em ciclos definidos. Observe pelos gr\u00e1ficos das fun\u00e7\u00f5es seno e cosseno que o per\u00edodo de ambas as fun\u00e7\u00f5es \u00e9 [tex]2\\pi[\/tex], e a amplitude \u00e9 [tex]1[\/tex]: As formas gerais de uma fun\u00e7\u00e3o senoidal ou cossenoidal s\u00e3o dadas por \n Como o n\u00edvel de \u00e1gua varia de [tex]2[\/tex] a [tex]4,5[\/tex] metros, podemos calcular a amplitude como O ciclo se repete a cada [tex]12[\/tex] horas. Portanto, [tex]B[\/tex] \u00e9 tal que [tex]2\\pi\/B=12,[\/tex] ou seja, [tex]B=\\pi\/6.[\/tex]<\/p>\n Com amplitude [tex]1,25[\/tex], o valor m\u00ednimo da fun\u00e7\u00e3o seria [tex]-1,25[\/tex] se n\u00e3o us\u00e1ssemos uma transla\u00e7\u00e3o vertical. Queremos que o valor m\u00ednimo seja [tex]2[\/tex]. Logo, ser\u00e1 necess\u00e1ria uma transla\u00e7\u00e3o vertical [tex]D=3,25[\/tex].<\/p>\n Como o ciclo se repete a cada [tex]12[\/tex] horas, a fun\u00e7\u00e3o atinge seu m\u00e1ximo em [tex]t=0[\/tex]. Usaremos a fun\u00e7\u00e3o cosseno, com valor positivo para [tex]A[\/tex].<\/p>\n Assim, um modelo para a altura da mar\u00e9 nesta cidade em fun\u00e7\u00e3o do tempo, em horas, decorrido a partir da meia-noite, \u00e9 dado por [tex]f(t)=1,25\\cos(\\pi t\/6)+3,25.[\/tex]<\/p>\n \n A fun\u00e7\u00e3o a seguir representa o pre\u00e7o, em reais, de um quilo dessa fruta, em fun\u00e7\u00e3o do tempo, expresso em meses. Aqui, [tex]t = 0[\/tex] corresponde ao m\u00eas de janeiro: Em qual m\u00eas o pre\u00e7o da fruta atinge seu valor m\u00e1ximo? <\/p>\n Consulte a solu\u00e7\u00e3o desta quest\u00e3o AQUI<\/strong><\/a>.<\/p>\n<\/div>\n \n Agora \u00e9 sua vez de tentar construir um modelo!<\/strong><\/p>\n <\/p>\n As fake news s\u00e3o um grave problema da atualidade. Voc\u00ea j\u00e1 recebeu uma not\u00edcia falsa? Como reagiu? Discuta com seus colegas.<\/p>\n <\/strong><\/p>\n Imagine uma situa\u00e7\u00e3o na qual uma not\u00edcia falsa \u00e9 criada por uma pessoa ou grupo anti\u00e9tico e o seguinte desafio \u00e9 proposto: no primeiro dia, a not\u00edcia \u00e9 enviada para tr\u00eas pessoas, cada uma residente em uma cidade diferente. No dia seguinte, cada uma dessas tr\u00eas pessoas deve repassar a mesma not\u00edcia para mais tr\u00eas pessoas, residentes em cidades nas quais a not\u00edcia ainda n\u00e3o chegou.<\/p>\n A tarefa de continuar espalhando a not\u00edcia passa para as novas pessoas notificadas, que repetem o processo no dia seguinte. Esse ciclo continua, dia ap\u00f3s dia, com cada indiv\u00edduo repassando a not\u00edcia uma \u00fanica vez a outras tr\u00eas pessoas, sempre em cidades diferentes.<\/p>\n Vamos criar um modelo simples para essa situa\u00e7\u00e3o.<\/p>\n Analisando os casos iniciais<\/strong><\/p>\n A an\u00e1lise dos casos iniciais pode fornecer importantas insights<\/em> sobre o modelo que queremos construir. Vamos encontrar a quantidade de pessoas notificadas at\u00e9 o Dia 4. Como temos exatamente uma pessoa em cada munic\u00edpio, essa tamb\u00e9m ser\u00e1 a quantidade de munic\u00edpios alcan\u00e7ados pela not\u00edcia:<\/p>\n Deu para pegar a ideia?<\/p>\n Construindo o modelo<\/strong> Aplicando o modelo constru\u00eddo a uma quest\u00e3o de interesse<\/strong>
\n[tex]\\qquad \\text{Valor a ser pago}=8 \\times 5+40=R\\$ ~80.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n
\n[tex]\\qquad \\text{Sal\u00e1rio}=10\\% \\times 13500+1800=0,1\\times 13500+1800=R\\$\\, 3150.[\/tex]\n<\/p><\/div>\n
\n[tex]\\qquad x=\\text{Excedente, em m}^3,\\quad a=8 \\text{ (taxa por cada m}^3\\text{ excedente)},\\quad b=40 \\text{ (taxa fixa)}.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad x=\\text{Total das vendas, em reais},\\quad a=0,1 \\text{ (porcentagem de lucro)},\\quad b=1800 \\text{ (sal\u00e1rio de seguran\u00e7a)}.[\/tex]<\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/terrenos.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad A(x)=x\\times 40+ x\\times(40-x)=-x^2+80x.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad A(x)=32^2=1024[\/tex], ou seja,
\n[tex]\\qquad -x^2+80x=1024[\/tex], o que pode ser reescrito como
\n[tex]\\qquad x^2-80x+1024=0.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{-(-80)\\pm\\sqrt{(-80)^2-4\\times 1\\times 1024}}{2\\times 1},[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{80\\pm\\sqrt{6400-4096}}{2},[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{80\\pm\\sqrt{2304}}{2},[\/tex]
\n[tex]\\qquad x=\\dfrac{80\\pm48}{2},[\/tex]
\n[tex]\\qquad x_1=64, \\quad x_2=16.[\/tex]<\/p>\n
\nAo longo de um per\u00edodo de tempo observou-se que, se o pre\u00e7o das unidades variava, as vendas tamb\u00e9m variavam de acordo com a seguinte rela\u00e7\u00e3o:<\/p>\n\n
\nVamos analisar a seguinte quest\u00e3o:<\/p>\n
\n[tex]\\qquad T(x)= \\text{quantidade inicial de bact\u00e9rias}\\times3^{\\text{quantidade de \u201cmeias horas\u201d}}=10\\,000\\times 3^{x\/30}=10^4\\cdot 3^{x\/30}.[\/tex]<\/p>\n
\n[tex]\\qquad T(x)= 2,43\\cdot 10^6[\/tex], ent\u00e3o
\n[tex]\\qquad 10^4\\cdot 3^{x\/30}=2,43\\cdot 10^6[\/tex], isto \u00e9,
\n[tex]\\qquad 3^{x\/30}=243[\/tex]. <\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad Q(x)=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{x}[\/tex],
\nonde [tex]Q(x)[\/tex] \u00e9 a quantidade de medicamento (em [tex]\\text{ mg}[\/tex]) restante no organismo ap\u00f3s [tex]x[\/tex] meias-vidas.<\/p>\n
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Clubes_modelagem_sin.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/Clubes_modelagem_cos.png\")
\nAssim,
\n[tex]\\qquad \\text{sen}(x\\pm 2\\pi k)=\\text{sen}(x),[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\text{cos}(x\\pm 2\\pi k)=\\text{cos}(x),[\/tex]
\npara qualquer n\u00famero inteiro [tex]k[\/tex].<\/p>\n
\n[tex]\\qquad f(x) = A\\text{sen}(Bx\u2212C) + D[\/tex]
\nou
\n[tex]\\qquad f(x) = A\\text{cos}(Bx\u2212C) + D,[\/tex]
\nonde [tex]|A|[\/tex] \u00e9 a amplitude, [tex]B[\/tex] est\u00e1 relacionado ao per\u00edodo, de modo que o per\u00edodo \u00e9 [tex]2\\pi\/|B|[\/tex], [tex]C[\/tex] \u00e9 o deslocamento horizontal e [tex]D[\/tex] representa o deslocamento vertical em rela\u00e7\u00e3o ao gr\u00e1fico original. Observe que uma fun\u00e7\u00e3o cossenoidal pode ser vista como uma fun\u00e7\u00e3o senoidal deslocada horizontalmente, e vice-versa.<\/p>\n
\n[tex]\\qquad |A|=\\mid\\frac{4,5-2}{2}\\mid=1,25.[\/tex]<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2025\/10\/n\u00edvel_\u00e1gua_metros.png\")
<\/p>\n<\/div>\n
\n[tex]\\qquad P(t)=38 – 2 \\cdot \\cos \\left[ \\dfrac{\\pi (t-1)}{6} \\right]\u2061.[\/tex]<\/p>\n\n
\nNo Dia n<\/strong>, a not\u00edcia j\u00e1 ter\u00e1 se espalhado por quantos munic\u00edpios?<\/p>\n
\nSupondo que o Brasil possua [tex]5570[\/tex] munic\u00edpios, em quantos dias todas as cidades brasileiras estar\u00e3o \u201ccontaminadas\u201d pela not\u00edcia?<\/p>\n![\"video\"](\"https:\/\/i.ytimg.com\/vi\/Vhxs7dfPsAw\/maxresdefault.jpg#auto\")
\n\t