{"id":226317,"date":"2025-10-25T15:47:10","date_gmt":"2025-10-25T18:47:10","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=226317"},"modified":"2025-10-25T15:47:10","modified_gmt":"2025-10-25T18:47:10","slug":"problemao-arvore-pitagorica","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-arvore-pitagorica\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: \u00c1rvore Pitag\u00f3rica"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nUma \u00c1rvore Pitag\u00f3rica<\/strong> \u00e9 uma figura plana constru\u00edda por etapas. Na Etapa 1, ela come\u00e7a com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual \u00e0 medida dos catetos do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo is\u00f3sceles que possui hipotenusa igual ao lado do quadrado da Etapa 1. Na Etapa 3, aplica-se a Etapa 2 em cada um dos novos quadrados obtidos, e assim por diante. Ou seja, em cada nova etapa, aplica-se a etapa anterior em cada um dos novos quadrados obtidos. A figura a seguir exibe as quatro primeiras etapas da constru\u00e7\u00e3o da \u00c1rvore Pitag\u00f3rica.
\n\"\"<\/p>\n

A partir de qual etapa da constru\u00e7\u00e3o o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 d\u00e9cimo de mil\u00e9simo do lado do quadrado da Etapa 1? Considere [tex]\\log_{10} 2 = 0,3.[\/tex]<\/p>\n

Extra\u00eddo de Fuvest 2024<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Ajuda<\/p>\n

Revisem as propriedades dos logaritmos na Sala de Estudos Logaritmos X Terremotos<\/a><\/strong>.\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\n Note que, sendo [tex]L[\/tex] a medida do lado do menor quadrado em uma etapa, e [tex]l[\/tex] a medida do lado dos novos quadrados na etapa seguinte, temos, pelo Teorema de Pit\u00e1goras, que
\n[tex]\\qquad l^2+l^2 = L^2\\Rightarrow 2l^2=L^2\\Rightarrow l^2=\\dfrac{L^2}{2}\\Rightarrow l=\\sqrt{\\dfrac{L^2}{2}}\\Rightarrow l=\\dfrac{L}{\\sqrt{2}}\\Rightarrow \\boxed{l=\\dfrac{L\\sqrt{2}}{2}}.[\/tex]<\/p>\n

Sabemos que o lado do quadrado da etapa 1 mede 1 cm. Ent\u00e3o, os lados dos novos quadrados a partir da etapa 1 s\u00e3o<\/p>\n

[tex]\\qquad 1, \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}, \\left(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^2, \\left(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^3, \\left(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^4, \\cdots,[\/tex]<\/p>\n

que formam uma Progress\u00e3o Geom\u00e9trica [tex](a_n),[\/tex] com primeiro termo igual a [tex]a_1= 1[\/tex] e raz\u00e3o [tex]q = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}.[\/tex]<\/p>\n

Queremos saber qual \u00e9 o valor de [tex]n[\/tex] para o qual [tex]a_n\\lt\\dfrac{1}{10}\\cdot \\dfrac{1}{1000}\\cdot a_1,[\/tex] ou seja, [tex]a_n\\lt\\dfrac{1}{10~000}.[\/tex]<\/p>\n

Usando a f\u00f3rmula do n-\u00e9simo termo de uma PG, temos <\/p>\n

[tex]\\qquad a_n\\lt\\dfrac{1}{10~000}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad a_1\\cdot q^{n-1}\\lt\\dfrac{1}{10^4}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad 1\\cdot q^{n-1}\\lt10^{-4}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\left(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right)^{n-1}\\lt10^{-4}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\left(\\dfrac{2^{\\frac{1}{2}}}{2}\\right)^{n-1}\\lt10^{-4}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\left(2^{-1\/2}\\right)^{n-1}\\lt10^{-4}.[\/tex]<\/p>\n

Aplicando [tex]\\log[\/tex] em ambos os membros, ficamos com<\/p>\n

[tex]\\qquad \\left(\\log_{10} 2^{-1\/2}\\right)^{n-1}\\lt\\log_{10} 10^{-4}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\log_{10} 2^{\\frac{1-n}{2}}\\lt-4[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{1-n}{2}\\log_{10} 2\\lt-4[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{1-n}{2}\\cdot 0,3\\lt-4[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{1-n}{2}\\lt-\\dfrac{4}{0,3}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad 1-n\\lt-\\dfrac{8}{0,3}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad 1-n\\lt-\\dfrac{80}{3}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad n\\gt\\dfrac{80}{3}+1[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad n\\gt\\dfrac{83}{3}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad n\\gt\\dfrac{83}{3}\\approx 27,7.[\/tex]<\/p>\n

Logo, na 28\u00aa etapa da constru\u00e7\u00e3o o lado de cada um dos novos quadrados obtidos fica, pela primeira vez, menor do que 1 d\u00e9cimo de mil\u00e9simo do lado do quadrado da etapa 1.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 1\u00ba ano do E. M.) Uma \u00c1rvore Pitag\u00f3rica \u00e9 uma figura plana constru\u00edda por etapas. Na Etapa 1, ela come\u00e7a com um quadrado de lado 1 cm. Na Etapa 2, constroem-se dois quadrados acima do quadrado da Etapa 1, de tal forma que a medida de seus lados seja igual … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":255,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-226317","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/226317","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/255"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=226317"}],"version-history":[{"count":10,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/226317\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":226905,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/226317\/revisions\/226905"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=226317"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}