{"id":226128,"date":"2025-08-28T17:35:51","date_gmt":"2025-08-28T20:35:51","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=226128"},"modified":"2025-08-28T17:36:41","modified_gmt":"2025-08-28T20:36:41","slug":"problemao-area-de-triangulo-isosceles","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-area-de-triangulo-isosceles\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: \u00c1rea de tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nNa figura abaixo, os tri\u00e2ngulos [tex]ABC[\/tex] e [tex]BCD[\/tex] s\u00e3o is\u00f3sceles de bases [tex]\\overline{BC}[\/tex] e [tex]\\overline{BD},[\/tex] respectivamente. Encontre a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ABC,[\/tex] sabendo que [tex]BD = 1~\\text{cm}.[\/tex]<\/p>\n

\"\"\n<\/div>\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Lembrete<\/p>\n

\n

[tex]\\textbf{ (Lei dos Cossenos)}[\/tex] Em um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] qualquer, para lados opostos aos \u00e2ngulos internos [tex]{\\displaystyle {\\widehat {A}},{\\widehat {B}}}[\/tex] e [tex]{\\displaystyle {\\widehat {C}},} [\/tex] com medidas respectivamente [tex]{\\displaystyle a,b}[\/tex] e [tex]{\\displaystyle c,}[\/tex] valem as rela\u00e7\u00f5es:
\n[tex]\\quad {\\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\\cdot b\\cdot c\\cdot cos{\\widehat {A}}\\,\\!}[\/tex];
\n[tex]\\quad {\\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2\\cdot a\\cdot c\\cdot cos{\\widehat {B}}\\,\\!}[\/tex];
\n[tex]\\quad {\\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\\cdot a\\cdot b\\cdot cos{\\widehat {C}}\\,\\!}[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nO enunciado nos diz que os tri\u00e2ngulos [tex]ABC[\/tex] e [tex]BCD[\/tex] s\u00e3o is\u00f3sceles. Observe que [tex]\\hat{B}[\/tex] \u00e9 \u00e2ngulo da base desses dois tri\u00e2ngulos e, consequentemente, esses tri\u00e2ngulos s\u00e3o semelhantes. <\/p>\n

Considere [tex]BC = l~\\text{cm}.[\/tex] Como os tri\u00e2ngulos [tex]ABC[\/tex] e [tex]BCD[\/tex] s\u00e3o semelhantes, podemos aplicar a seguinte raz\u00e3o de semelhan\u00e7a:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{AC}{CB} = \\dfrac{CB}{BD}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{AC}{l} = \\dfrac{l}{1}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad AC= l^2~\\text{cm}.[\/tex]<\/p>\n

Assim, temos as medidas dos lados do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] em termos de [tex]l[\/tex]: [tex]BC = l~\\text{cm}[\/tex] e [tex]AB = AC = l^2~\\text{cm}.[\/tex]<\/p>\n

Agora, podemos aplicar a Lei dos Cossenos no tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex]:<\/p>\n

[tex]\\qquad BC^2 = AB^2+AC^2-2\\cdot AB\\cdot AC\\cdot \\cos 30^{\\circ}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad l^2 = (l^2)^2+(l^2)^2-2\\cdot l^2\\cdot l^2\\cdot \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad l^2 = 2l^4- l^4\\cdot \\sqrt{3}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad l^2 = l^4(2-\\sqrt{3})[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad 1 = l^2(2-\\sqrt{3})[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad l^2 = \\dfrac{1}{2-\\sqrt{3}}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad l^2 = 2+\\sqrt{3}.[\/tex]<\/p>\n

Logo, [tex]AB = AC = 2+\\sqrt{3}~\\text{cm}.[\/tex]<\/p>\n

Assim, representando por [tex][ABC][\/tex] a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], temos<\/p>\n

[tex]\\qquad [ABC] = \\dfrac{1}{2}\\cdot AB\\cdot AC\\cdot \\text{sen}~30^{\\circ}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad [ABC] = \\dfrac{1}{2}\\cdot (2+\\sqrt{3})\\cdot (2+\\sqrt{3})\\cdot \\dfrac{1}{2}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad [ABC] = \\left(\\dfrac{2+\\sqrt{3}}{2}\\right)^2[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad [ABC] = \\dfrac{4+2\\cdot 2\\cdot \\sqrt{3}+3}{4}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\boxed{[ABC] = \\sqrt{3}+\\dfrac{7}{4}~\\text{cm}^2}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Na figura abaixo, os tri\u00e2ngulos [tex]ABC[\/tex] e [tex]BCD[\/tex] s\u00e3o is\u00f3sceles de bases [tex]\\overline{BC}[\/tex] e [tex]\\overline{BD},[\/tex] respectivamente. Encontre a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]ABC,[\/tex] sabendo que [tex]BD = 1~\\text{cm}.[\/tex] Lembrete [tex]\\textbf{ (Lei dos Cossenos)}[\/tex] Em um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] qualquer, para lados opostos aos \u00e2ngulos internos [tex]{\\displaystyle {\\widehat … <\/p>\n

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