{"id":226126,"date":"2025-08-28T18:59:27","date_gmt":"2025-08-28T21:59:27","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=226126"},"modified":"2025-08-28T20:08:59","modified_gmt":"2025-08-28T23:08:59","slug":"problema-duplicando-o-capital","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-duplicando-o-capital\/","title":{"rendered":".Problema: Duplicando o Capital"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nUma pessoa aplica um capital [tex]C[\/tex] em um investimento que rende a uma taxa de juros compostos de [tex]12\\%[\/tex] ao ano. Determine o tempo m\u00ednimo, em anos, para que esse capital seja duplicado.
\nConsidere [tex]\\log 2 = 0,30[\/tex], [tex]\\log 5 = 0,70[\/tex] e [tex]\\log 7 = 0,85[\/tex].\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nO c\u00e1lculo do montante de uma aplica\u00e7\u00e3o a uma taxa de juros compostos \u00e9 dado por
\n[tex]\\qquad M = C(1+i)^t,[\/tex]
\nonde [tex]M[\/tex] \u00e9 o montante, [tex]C[\/tex] o capital, [tex]i[\/tex] a taxa de juros e [tex]t[\/tex] o tempo (medido de acordo com a taxa de juros [tex]i[\/tex]).<\/p>\n

Assim, usando a f\u00f3rmula apresentada, como queremos [tex]M = 2C,[\/tex] escrevemos
\n[tex]\\qquad 2C = C(1+0,12)^t[\/tex]
\n[tex]\\qquad 2 = 1,12^t.[\/tex]<\/p>\n

Aplicando o logaritmo na base [tex]10[\/tex] em ambos os membros, temos
\n[tex]\\qquad \\log 2 = \\log 1,12^t.[\/tex]<\/p>\n

Ent\u00e3o,<\/p>\n

[tex]\\qquad\\begin{align}0,30 &= t\\log 1,12\\\\
\n&= t\\log \\left(\\dfrac{112}{100}\\right)\\\\
\n&= t\\log \\left(\\dfrac{28}{25}\\right)\\\\
\n&= t(\\log 28-\\log 25)\\\\
\n&= t(\\log (2^2\\cdot 7)-\\log 5^2)\\\\
\n&= t(\\log 2^2+\\log 7-\\log 5^2)\\\\
\n&= t(2\\log 2+\\log 7-2\\log 5)\\\\
\n&= t(2\\cdot 0,30+0,85-2\\cdot 0,70)\\\\
\n&= t\\cdot 0,05.\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

Assim,
\n[tex]\\qquad t = \\dfrac{0,30}{0,05}= \\dfrac{30}{5}= 6.[\/tex]<\/p>\n

Logo, o tempo m\u00ednimo necess\u00e1rio para que o capital seja duplicado \u00e9 de 6 anos.<\/p>\n

Nota:<\/strong> vale lembrar que, como foram utilizadas aproxima\u00e7\u00f5es para os valores dos logaritmos, a resposta final tamb\u00e9m ser\u00e1 uma aproxima\u00e7\u00e3o do tempo necess\u00e1rio.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Uma pessoa aplica um capital [tex]C[\/tex] em um investimento que rende a uma taxa de juros compostos de [tex]12\\%[\/tex] ao ano. Determine o tempo m\u00ednimo, em anos, para que esse capital seja duplicado. Considere [tex]\\log 2 = 0,30[\/tex], [tex]\\log 5 = 0,70[\/tex] e [tex]\\log 7 … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":254,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-226126","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/226126","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/254"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=226126"}],"version-history":[{"count":14,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/226126\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":226423,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/226126\/revisions\/226423"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=226126"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}