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Problema Extra\u00eddo de OBM<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Vamos construir uma tabela (onde [tex]V[\/tex] representa que a pessoa diz a verdade e [tex]\\overline{V}[\/tex] representa que a pessoa n\u00e3o diz a verdade) com esses casos e suas respectivas probabilidades de ocorrerem:<\/p>\n Desses [tex]16[\/tex] casos, o [tex]1^\\circ [\/tex], [tex]6^\\circ [\/tex], [tex]7^\\circ [\/tex], [tex]8^\\circ [\/tex], [tex]9^\\circ [\/tex], [tex]10^\\circ [\/tex], [tex]11^\\circ[\/tex] e [tex]16^\\circ [\/tex] s\u00e3o os casos em que A faz uma afirma\u00e7\u00e3o e D diz que C diz que B diz que A falou a verdade. <\/p>\n A soma das probabilidades desses oito casos \u00e9 [tex]\\dfrac {41}{81}[\/tex].<\/p>\n Desses oito casos, A diz a verdade nos [tex]1^\\circ [\/tex], [tex]6^\\circ [\/tex], [tex]7^\\circ [\/tex] e [tex]9^\\circ [\/tex]. <\/p>\n A soma das probabilidades desses quatro casos \u00e9 [tex]\\dfrac {13}{81}[\/tex].<\/p>\n Portanto, a probabilidade desejada \u00e9:<\/p>\n [tex]\\qquad P=\\dfrac{\\frac{13}{81}}{\\frac{41}{81}}=\\dfrac{13}{41}[\/tex].<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Em uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex]. Suponha que A faz uma afirma\u00e7\u00e3o e D diz que C diz que B diz que A falou a verdade. Qual \u00e9 a probabilidade de que A tenha falado a verdade? Extra\u00eddo de OBM. … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nEm uma cidade, as pessoas falam a verdade com probabilidade [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex]. Suponha que A faz uma afirma\u00e7\u00e3o e D diz que C diz que B diz que A falou a verdade.
\nQual \u00e9 a probabilidade de que A tenha falado a verdade?<\/p>\n
\nComo h\u00e1 quatro pessoas e cada uma pode falar a verdade ou n\u00e3o, h\u00e1, pelo princ\u00edpio multiplicativo, [tex]2\\cdot 2\\cdot 2\\cdot 2=16[\/tex] possibilidades. Al\u00e9m disso, como h\u00e1 probabilidade [tex]\\dfrac{1}{3}[\/tex] de uma pessoa falar a verdade, ent\u00e3o h\u00e1 probabilidade [tex]\\dfrac{2}{3}[\/tex] de uma pessoa mentir.<\/p>\n
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\n\\text{Casos} & A & B & C & D & \\text{Probabilidade} \\\\ \\hline
\n1^\\circ &V&V&V&V&\\dfrac{1}{81} \\\\ \\hline
\n2^\\circ &V&V&V&\\overline{V}&\\dfrac{2}{81} \\\\ \\hline
\n3^\\circ &V&V&\\overline{V}&V&\\dfrac{2}{81} \\\\ \\hline
\n4^\\circ &V&\\overline{V}&V&V&\\dfrac{2}{81} \\\\ \\hline
\n5^\\circ &\\overline{V}&V&V&V&\\dfrac{2}{81} \\\\ \\hline
\n6^\\circ &V&V&\\overline{V}&\\overline{V}&\\dfrac{4}{81} \\\\ \\hline
\n7^\\circ &V&\\overline{V}&V&\\overline{V}&\\dfrac{4}{81} \\\\ \\hline
\n8^\\circ &\\overline{V}&V&V&\\overline{V}&\\dfrac{4}{81} \\\\ \\hline
\n9^\\circ &V&\\overline{V}&\\overline{V}&V&\\dfrac{4}{81} \\\\ \\hline
\n10^\\circ &\\overline{V}&V&\\overline{V}&V&\\dfrac{4}{81} \\\\ \\hline
\n11^\\circ &\\overline{V}&\\overline{V}&V&V&\\dfrac{4}{81} \\\\ \\hline
\n12^\\circ &V&\\overline{V}&\\overline{V}&\\overline{V}&\\dfrac{8}{81} \\\\ \\hline
\n13^\\circ &\\overline{V}&V&\\overline{V}&\\overline{V}&\\dfrac{8}{81} \\\\ \\hline
\n14^\\circ &\\overline{V}&\\overline{V}&V&\\overline{V}&\\dfrac{8}{81} \\\\ \\hline
\n15^\\circ &\\overline{V}&\\overline{V}&\\overline{V}&V&\\dfrac{8}{81} \\\\ \\hline
\n16^\\circ &\\overline{V}&\\overline{V}&\\overline{V}&\\overline{V}&\\dfrac{16}{81} \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex] <\/center><\/p>\n
\n