{"id":225393,"date":"2025-06-14T00:29:31","date_gmt":"2025-06-14T03:29:31","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=225393"},"modified":"2025-06-14T00:29:31","modified_gmt":"2025-06-14T03:29:31","slug":"problemao-area-de-triangulo","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-area-de-triangulo\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: \u00c1rea de tri\u00e2ngulo"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nA figura abaixo representa um ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex] dividido em quatro tri\u00e2ngulos.
\n\"\"
\nOs n\u00fameros nos interiores dos tri\u00e2ngulos sombreados indicam a \u00e1rea, em cent\u00edmetros, do respectivo tri\u00e2ngulo.
\nDetermine a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]AEF.[\/tex]\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nConsideremos [tex]DF=x[\/tex] e [tex]FC = y[\/tex], Assim, [tex]AB = x+y.[\/tex] Observe que os tr\u00eas tri\u00e2ngulos sombreados s\u00e3o ret\u00e2ngulos. Assim, suas \u00e1reas podem ser calculadas multiplicando-se os catetos e dividindo-se o resultado por 2.
\nRepresentemos a \u00e1rea de um tri\u00e2ngulo [tex]XYZ[\/tex] por [tex](XYZ)[\/tex]. Dessa forma,<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{align}(ABE) = 14&\\Rightarrow \\dfrac{AB\\times BE}{2} = 14\\\\
\n&\\Rightarrow AB\\times BE = 28\\\\
\n&\\Rightarrow (x+y)\\times BE = 28\\\\
\n&\\Rightarrow \\boxed{BE = \\dfrac{28}{x+y}}.
\n\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{align}(ADF) = 6&\\Rightarrow \\dfrac{AD\\times DF}{2} = 6\\\\
\n&\\Rightarrow AD\\times DF = 12\\\\
\n&\\Rightarrow AD\\times x = 12\\\\
\n&\\Rightarrow \\boxed{AD = \\dfrac{12}{x}}.
\n\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

[tex] \\qquad \\begin{align}(ECF) = 5&\\Rightarrow \\dfrac{EC\\times CF}{2} = 5\\\\
\n&\\Rightarrow EC\\times CF = 10\\\\
\n&\\Rightarrow EC\\times y = 10\\\\
\n&\\Rightarrow \\boxed{EC = \\dfrac{10}{y}}.
\n\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

Veja a figura com as medidas encontradas:
\n\"\"<\/p>\n

Como [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 um ret\u00e2ngulo, em particular, temos<\/p>\n

[tex]\\qquad AD=BC=BE+EC. [\/tex]<\/p>\n

Substituindo nessa \u00faltima express\u00e3o as medidas destacadas, ficaremos com<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{12}{x}=\\dfrac{28}{x+y}+\\dfrac{10}{y}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad 12y(x+y) = 28xy+10x(x+y)[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad 12xy+12y^2= 28xy+10x^2 +10xy[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad 10x^2+26xy-12y^2=0.[\/tex]<\/p>\n

Note que a \u00faltima igualdade pode ser vista como uma equa\u00e7\u00e3o do 2\u00ba grau em [tex]x[\/tex]. Assim, podemos resolv\u00ea-la usando a f\u00f3rmula resolutiva de equa\u00e7\u00f5es quadr\u00e1ticas:<\/p>\n

[tex]\\qquad x = \\dfrac{-26y\\pm\\sqrt{(26y)^2-4\\cdot 10\\cdot (-12y^2)}}{2\\cdot 10}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad x = \\dfrac{-26y\\pm\\sqrt{676y^2+480y^2}}{20}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad x = \\dfrac{-26y\\pm\\sqrt{1156y^2}}{20}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad x = \\dfrac{-26y\\pm 34y}{20}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad x_1 = \\dfrac{-26y+ 34y}{20}[\/tex] ou [tex] x_2 = \\dfrac{-26y- 34y}{20}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad x_1 = \\dfrac{8y}{20}[\/tex] ou [tex] x_2 = \\dfrac{-60y}{20}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\boxed{x_1 = \\dfrac{2y}{5}}[\/tex] ou [tex] \\boxed{x_2 = -3y\\lt 0}.[\/tex]<\/p>\n

Como [tex]x_2\\lt 0[\/tex] e n\u00e3o existe medida de comprimento negativa, ent\u00e3o consideramos apenas o caso em que [tex]x=\\dfrac{2y}{5}.[\/tex] A \u00e1rea do ret\u00e2ngulo \u00e9 dada por [tex](x+y)\\cdot \\dfrac{12}{x}[\/tex] e, portanto, \u00e9 igual a <\/p>\n

[tex]\\qquad \\left(\\dfrac{2y}{5}+y\\right)\\cdot \\dfrac{12}{\\frac{2y}{5}} = \\dfrac{7y}{5}\\cdot \\dfrac{60}{2y} = \\dfrac{7\\cancel{y}}{5}\\cdot \\dfrac{60}{2\\cancel{y}} = \\dfrac{420}{10} = 42 \\;\\text{cm}^2.[\/tex]<\/p>\n

Logo, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]AEF[\/tex] \u00e9 dada por
\n[tex]\\qquad (AEF)=42-\\left((ABE)+(ADF)+(ECF)\\right) =42-(14+6+5) = 42-25 = \\boxed{17\\;\\text{cm}^2}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nPerceba que, para descobrirmos a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]AEF[\/tex], podemos apenas encontrar a \u00e1rea do ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex], e retirar as \u00e1reas dos demais tri\u00e2ngulos que j\u00e1 sabemos. Para isso, sabendo que a \u00e1rea de [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 dada por [tex]AB \\cdot AD[\/tex], vamos primeiramente tomar as seguintes igualdades:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{AB \\cdot BE}{2} = 14\\Rightarrow AB \\cdot BE = 28\\Rightarrow \\boxed{BE = \\dfrac{28}{AB}}; \\;\\;\\;(I)[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{DF \\cdot AD}{2} = 6\\Rightarrow DF \\cdot AD = 12\\Rightarrow \\boxed{DF = \\dfrac{12}{AD}}; \\;\\;\\;(II)[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{FC \\cdot CE}{2} = 5 \\Rightarrow \\boxed{FC \\cdot CE = 10}.\\;\\;\\;(III)[\/tex]<\/p>\n

Perceba tamb\u00e9m que:<\/p>\n

[tex]\\qquad AB = DF + FC \\Rightarrow FC = AB – DF[\/tex]
\n[tex]\\qquad AD = CE + BE \\Rightarrow CE = AD – BE[\/tex]<\/p>\n

Substituindo [tex]CE[\/tex] e [tex]FC[\/tex] na igualdade [tex](III),[\/tex] temos:<\/p>\n

[tex]FC \\cdot CE = 10 \\Rightarrow (AB-DF)(AD-BE) = 10 \\Rightarrow (AB \\cdot AD)-(AB \\cdot BE)-(DF \\cdot AD)+(DF \\cdot BE) = 10.[\/tex]<\/p>\n

Agora, pelas \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos [tex]ABD[\/tex] e [tex]ADF[\/tex], conclu\u00edmos que [tex]AB\\cdot AD = 28[\/tex] e [tex]DF\\cdot AD=12.[\/tex]<\/p>\n

Substituindo as rela\u00e7\u00f5es das igualdades [tex](I)[\/tex] e [tex](II),[\/tex] obtemos <\/p>\n

[tex]\\qquad (AB \\cdot AD)-28-12 + \\left(\\dfrac{12}{AD} \\cdot \\dfrac{28}{AB}\\right) = 10 \\Rightarrow (AB \\cdot AD) + \\dfrac{336}{AB \\cdot AD} = 50[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{(AB \\cdot AD)^2 + 336}{(AB \\cdot AD)} = 50[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad (AB \\cdot AD)^2 + 336 = 50 (AB \\cdot AD)[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad (AB \\cdot AD)^2 – 50 (AB \\cdot AD) + 336 = 0.[\/tex]<\/p>\n

Com isso, chegamos a uma equa\u00e7\u00e3o de segundo grau em [tex](AB \\cdot AD)[\/tex], que \u00e9 o valor da \u00e1rea do quadrado [tex]ABCD[\/tex]. Tomando [tex](AB \\cdot AD) = x[\/tex], encontramos as ra\u00edzes [tex]x’ = 42[\/tex] e [tex]x” = 8[\/tex], por\u00e9m, exclu\u00edmos a raiz [tex]x” = 8[\/tex], pois seria imposs\u00edvel retirarmos a \u00e1rea dos demais tri\u00e2ngulos, j\u00e1 que resultaria em um valor negativo. Portanto, a \u00e1rea do quadrado [tex]ABCD[\/tex], que tamb\u00e9m \u00e9 igual ao produto [tex]AB \\cdot AD[\/tex], \u00e9 de [tex]42 \\ cm^2[\/tex]. Logo, a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]AEF[\/tex] \u00e9 igual a [tex]42-14-6-5 = 17 \\ cm^2.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo Pot\u00eancias de Euler<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nParticipou da discuss\u00e3o os Clubes: Phidias<\/strong>; Pot\u00eancias de Euler<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) A figura abaixo representa um ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex] dividido em quatro tri\u00e2ngulos. Os n\u00fameros nos interiores dos tri\u00e2ngulos sombreados indicam a \u00e1rea, em cent\u00edmetros, do respectivo tri\u00e2ngulo. Determine a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]AEF.[\/tex]   Solu\u00e7\u00e3o 1 Consideremos [tex]DF=x[\/tex] e [tex]FC = y[\/tex], Assim, [tex]AB = x+y.[\/tex] … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":254,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-225393","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/225393","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/254"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=225393"}],"version-history":[{"count":16,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/225393\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":225922,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/225393\/revisions\/225922"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=225393"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}