{"id":225378,"date":"2025-04-17T22:12:23","date_gmt":"2025-04-18T01:12:23","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=225378"},"modified":"2025-06-13T18:40:08","modified_gmt":"2025-06-13T21:40:08","slug":"problema-desafio-das-divisoes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-desafio-das-divisoes\/","title":{"rendered":".Problema: Desafio das divis\u00f5es"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\nEncontre o menor n\u00famero inteiro positivo que, quando dividido por 3, 4, 5 e 6, deixa restos 1, 2, 3 e 4, respectivamente.\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nPara resolver essa quest\u00e3o, devemos encontrar o menor inteiro positivo N que satisfaz as seguintes equa\u00e7\u00f5es:<\/p>\n

3w + 1 = N;
\n4x + 2 = N;
\n5y + 3 = N;
\n6z + 4 = N.<\/center><\/p>\n

De acordo com a equa\u00e7\u00e3o 6z + 4 = N, os 10 menores inteiros positivos que N pode assumir s\u00e3o: 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, 46, 52, 58.<\/p>\n

Desses, os n\u00fameros 28 e 58 satisfazem tamb\u00e9m 5y + 3 = N, por\u00e9m apenas o n\u00famero 58 satisfaz tanto 4x + 2 = N, quanto 3w + 1 = N. Logo, o menor n\u00famero inteiro positivo que satisfaz as condi\u00e7\u00f5es do enunciado \u00e9 58.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Sociedade de Hilbert<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nA segunda solu\u00e7\u00e3o utiliza congru\u00eancia modular. Este n\u00e3o \u00e9 um assunto curricular do ensino b\u00e1sico, mas \u00e9 muito \u00fatil em olimp\u00edadas. Assim, n\u00e3o deixe de dar uma passadinha na nossa Sala sobre a Aritm\u00e9tica dos Restos<\/a>.\n<\/div>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nPelo enunciado, temos:<\/p>\n

\t

X \u2261 1 (mod 3);
\nX \u2261 2 (mod 4);
\nX \u2261 3 (mod 5);
\nX \u2261 4 (mod 6).<\/center><\/p>\n

Desenvolvendo:<\/p>\n

X \u2013 1 \u2261 0 (mod 3);
\nX \u2013 2 \u2261 0 (mod 4);
\nX \u2013 3 \u2261 0 (mod 5);
\nX \u2013 4 \u2261 0 (mod 6).<\/center><\/p>\n

Somando seu respectivo m\u00f3dulo em cada congru\u00eancia, obtemos:<\/p>\n


\nX + 2 \u2261 0 (mod 3);
\nX + 2 \u2261 0 (mod 4);
\nX + 2 \u2261 0 (mod 5);
\nX + 2 \u2261 0 (mod 6).<\/center><\/p>\n

Desse modo, \u00e9 fato que mmc(3, 4, 5, 6) | (X + 2), ou seja, 60 | (X + 2).<\/p>\n

Portanto, X + 2 \u00e9 da forma 60K, com K natural. Como buscamos o menor inteiro positivo X, tomamos K = 1. Logo, <\/p>\n


\n60 = X + 2
\nX = 58.<\/center><\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Mathlete<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos Moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Mathlete<\/strong>; Phidias<\/strong> ; Sociedade de Hilbert<\/strong> ; Sociedade dos termos variados<\/strong>.<\/div>\n

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Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) Encontre o menor n\u00famero inteiro positivo que, quando dividido por 3, 4, 5 e 6, deixa restos 1, 2, 3 e 4, respectivamente.   Solu\u00e7\u00e3o 1 Para resolver essa quest\u00e3o, devemos encontrar o menor inteiro positivo N que satisfaz as seguintes equa\u00e7\u00f5es: 3w + 1 … <\/p>\n

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