{"id":224617,"date":"2025-04-08T18:00:42","date_gmt":"2025-04-08T21:00:42","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=224617"},"modified":"2025-04-08T18:00:42","modified_gmt":"2025-04-08T21:00:42","slug":"problema-formacao-de-mesa-redonda","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-formacao-de-mesa-redonda\/","title":{"rendered":".Problema: Forma\u00e7\u00e3o de mesa redonda"},"content":{"rendered":"<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 25px; padding-bottom: 15px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 25px; margin: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size: 12px; color: #800000;\"> (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nEm uma confer\u00eancia acad\u00eamica, h\u00e1 12 palestrantes, dos quais 8 s\u00e3o especialistas em matem\u00e1tica, 7 s\u00e3o especialistas em f\u00edsica e exatamente 3 s\u00e3o especialistas em matem\u00e1tica e f\u00edsica. A confer\u00eancia ir\u00e1 selecionar alguns palestrantes para uma mesa redonda e as seguintes condi\u00e7\u00f5es devem ser atendidas:<\/p>\n<ul>\n<li>A mesa redonda deve ter 3 especialistas em matem\u00e1tica e 3 especialistas em f\u00edsica.<\/li>\n<li>Entre os palestrantes da mesa redonda, deve haver pelo menos 1 que \u00e9 especialista em matem\u00e1tica e f\u00edsica.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Quantas diferentes mesas redondas podem ser formadas, respeitando essas condi\u00e7\u00f5es?\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<table style=\" height:auto; text-align:justify ;margin-left: auto; margin-right: auto; width: 580px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"95\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:400px;background-color: #eee0e5;\"> Para entender bem a solu\u00e7\u00e3o que apresentaremos, d\u00ea uma olhadinha nesta <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-diagrama-de-venn\/\" rel=\"noopener\" title=\"Visitem a Sala de Estudos sobre Diagramas de Venn!\" target=\"_blank\"> <strong>Sala de Estudos<\/strong> <\/a> do nosso Blog!<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nO problema afirma que, dos 12 palestrantes, 8 s\u00e3o especialistas em matem\u00e1tica, mas n\u00e3o diz que s\u00e3o especialistas apenas em matem\u00e1tica, ou seja, dentre eles est\u00e3o os que s\u00e3o especialistas em matem\u00e1tica e em f\u00edsica tamb\u00e9m. Da mesma forma, o problema afirma que 7 s\u00e3o especialistas em f\u00edsica, mas n\u00e3o diz que s\u00e3o especialistas apenas em f\u00edsica, ou seja, dentre eles est\u00e3o os que s\u00e3o especialistas em f\u00edsica e em matem\u00e1tica tamb\u00e9m. Para entender essa situa\u00e7\u00e3o, \u00e9 importante criarmos um diagrama de Venn, iniciando o seu preenchimento pela restri\u00e7\u00e3o &#8220;exatamente 3 s\u00e3o especialistas em matem\u00e1tica e f\u00edsica&#8221;. Assim, temos <\/p>\n<p><center><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2024\/09\/diagrama-de-Venn-1.png\" alt=\"\" \/><\/center><\/p>\n<p>Portanto, existem <\/p>\n<ul>\n<li>5 palestrantes com especializa\u00e7\u00e3o apenas em matem\u00e1tica;<\/li>\n<li>4 palestrantes com especializa\u00e7\u00e3o apenas em f\u00edsica;<\/li>\n<li>3 palestrantes com especializa\u00e7\u00e3o em matem\u00e1tica e f\u00edsica.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Observe que o problema exige que tenha pelo menos um especialista em matem\u00e1tica e em f\u00edsica na mesa redonda. Assim, podem haver 1, 2 ou 3 especialistas em matem\u00e1tica e f\u00edsica. A \u00fanica coisa que n\u00e3o pode ocorrer \u00e9 nenhum deles compor a mesa redonda.<br \/>\nVamos analisar agora cada um desses tr\u00eas casos:<\/p>\n<ol>\n<li><strong>Existem 3 possibilidades de apenas um especialista nas duas \u00e1reas compor a mesa.<\/strong> Neste caso, a mesa ainda precisa ser ocupada por mais 2 especialistas apenas em matem\u00e1tica e 2 especialistas apenas em f\u00edsica, pois assim teremos cumprido as duas restri\u00e7\u00f5es do problema.<br \/>\nO total de modos de selecionar esses 4 outros palestrantes \u00e9 [tex]C_{5,2}\\cdot C_{4,2} = 10\\cdot 6 = 60[\/tex].<br \/>\nAssim, o total de modos de compor a mesa, neste caso, \u00e9 [tex]3\\cdot 60 = \\boxed{180}.[\/tex]<\/li>\n<li><strong>Existem 3 possibilidades de apenas dois dos tr\u00eas especialistas nas duas \u00e1reas comporem a mesa.<\/strong> Neste caso, a mesa ainda precisa ser ocupada por mais 1 especialista apenas em matem\u00e1tica e 1 especialista apenas em f\u00edsica, pois assim teremos cumprido as duas restri\u00e7\u00f5es do problema.<br \/>\nO total de modos de selecionar esses 2 outros palestrantes \u00e9 [tex]C_{5,1}\\cdot C_{4,1} = 5\\cdot 4 = 20[\/tex].<br \/>\nAssim, o total de modos de compor a mesa, neste caso, \u00e9 [tex]3\\cdot 20 = \\boxed{60}.[\/tex]<\/li>\n<li><strong>Existe 1 possibilidade de os tr\u00eas especialistas nas duas \u00e1reas comporem a mesa.<\/strong> Neste \u00faltimo caso, a mesa n\u00e3o precisa mais ser ocupada por outros palestrantes, uma vez que esta j\u00e1 possui 3 especialistas em matem\u00e1tica e 3 especialistas em f\u00edsica. Assim, o total de modos de compor a mesa neste \u00faltimo caso \u00e9 [tex]\\boxed{1}.[\/tex]<\/li>\n<\/ol>\n<p>Logo, o total de modos diferentes de compor a mesa redonda \u00e9 [tex]180+60+1 = \\boxed{241}.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g3\">\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes:  <strong>LAPLACES<\/strong> ; <strong>L\u00f3gicos<\/strong> ; <strong>Os Matem\u00e1gicos<\/strong> ; <strong>COMPLEXO OL\u00cdMPICO DE MATEM\u00c1TICA DE SALINAS<\/strong>.<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.) Em uma confer\u00eancia acad\u00eamica, h\u00e1 12 palestrantes, dos quais 8 s\u00e3o especialistas em matem\u00e1tica, 7 s\u00e3o especialistas em f\u00edsica e exatamente 3 s\u00e3o especialistas em matem\u00e1tica e f\u00edsica. A confer\u00eancia ir\u00e1 selecionar alguns palestrantes para uma mesa redonda e as seguintes condi\u00e7\u00f5es devem ser atendidas: &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-formacao-de-mesa-redonda\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":254,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-224617","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224617","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/254"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=224617"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224617\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":225176,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224617\/revisions\/225176"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=224617"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}