{"id":224607,"date":"2025-04-08T17:08:01","date_gmt":"2025-04-08T20:08:01","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=224607"},"modified":"2025-04-08T17:08:01","modified_gmt":"2025-04-08T20:08:01","slug":"probleminha-sistema-nao-linear","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-sistema-nao-linear\/","title":{"rendered":".Probleminha: Sistema n\u00e3o linear"},"content":{"rendered":"<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 25px; padding-bottom: 15px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 25px; margin: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size: 12px; color: #800000;\"> (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nConsidere o sistema de equa\u00e7\u00f5es abaixo:<br \/>\n[tex]\\qquad \\begin{cases}x^2+y^2=25,\\\\<br \/>\nxy=12.<br \/>\n\\end{cases}[\/tex]<br \/>\nDetermine as solu\u00e7\u00f5es de [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] no conjunto dos n\u00fameros reais.\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nIsolando [tex]x[\/tex] na segunda equa\u00e7\u00e3o do sistema, temos [tex]x = \\dfrac{12}{y}.[\/tex] Substituindo a express\u00e3o de [tex]x[\/tex] na primeira equa\u00e7\u00e3o, ficamos com <\/p>\n<p>[tex]\\qquad \\left(\\dfrac{12}{y}\\right)^2+y^2=25[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad \\dfrac{144}{y^2}+y^2=25.[\/tex]<\/p>\n<p>Multiplicando ambos os membros por [tex]y^2,[\/tex] temos <\/p>\n<p>[tex]\\qquad 144+y^4=25y^2[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad y^4-25y^2+144=0[\/tex]<\/p>\n<p>Agora, consideremos [tex]y^2=p,[\/tex] da\u00ed:<\/p>\n<p>[tex]\\qquad p^2-25p+144=0.[\/tex]<\/p>\n<p>Usando a f\u00f3rmula resolutiva para equa\u00e7\u00f5es do segundo grau, temos <\/p>\n<p>[tex]\\qquad p = \\dfrac{-b\\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a},[\/tex] onde [tex]a = 1,[\/tex] [tex]b = -25[\/tex] e [tex]c=144.[\/tex]<\/p>\n<p>Portanto,<\/p>\n<p>[tex]\\qquad p = \\dfrac{-(-25)\\pm \\sqrt{(-25)^2-4\\cdot 1\\cdot 144}}{2\\cdot 1}[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad p = \\dfrac{25\\pm \\sqrt{625-576}}{2}[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad p = \\dfrac{25\\pm \\sqrt{49}}{2}[\/tex]<\/p>\n<p>[tex]\\qquad p = \\dfrac{25\\pm 7}{2},[\/tex]<\/p>\n<p>ou seja, as duas ra\u00edzes de [tex]p[\/tex], s\u00e3o [tex]p_1 = \\dfrac{25+7}{2}=16[\/tex] e [tex]p_2 =\\dfrac{25- 7}{2}=9.[\/tex]<\/p>\n<p>N\u00e3o podemos nos esquecer de que [tex]y^2=p.[\/tex] Veja que<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]y^2=16\\Rightarrow \\boxed{y = \\pm 4}[\/tex] e<\/li>\n<li>[tex]y^2=9\\Rightarrow \\boxed{y = \\pm 3}.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Assim, <\/p>\n<ul>\n<li>Para [tex]y=-4,[\/tex] temos [tex]x = \\dfrac{12}{-4}= -3;[\/tex]<\/li>\n<li>Para [tex]y=4,[\/tex] temos [tex]x = \\dfrac{12}{4} = 3;[\/tex]<\/li>\n<li>Para [tex]y=-3,[\/tex] temos [tex]x = \\dfrac{12}{-3} = -4;[\/tex]<\/li>\n<li>Para [tex]y=3,[\/tex] temos [tex]x = \\dfrac{12}{3} = 4.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Logo, os valores de [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o, ordenadamente, [tex](-4,-3), (4,3), (-3,-4)[\/tex] e [tex](3,4).[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height: 28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height: 28px; margin: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 1px; margin-bottom: 20px; border: 0 none;\" \/>\nPrimeiramente, \u00e9 poss\u00edvel enxergar que estamos lidando com algo muito pr\u00f3ximo de um sistema envolvendo quadrados perfeitos. Portanto, come\u00e7aremos somando as duas igualdades:<\/p>\n<p>[tex]\\qquad (x^2 + y^2) + (xy) = 25 + 12 \\Rightarrow x^2 + xy + y^2 = 37.[\/tex]<\/p>\n<p>Agora, somando [tex]xy[\/tex] de ambos os lados (sabendo que [tex]xy = 12[\/tex], somamos [tex]12[\/tex] no lado direito da equa\u00e7\u00e3o), podemos transformar o lado esquerdo em um produto not\u00e1vel e prosseguir:<\/p>\n<p>[tex]\\qquad x^2 + 2xy + y^2 = 37 + 12 \\Rightarrow (x + y)^2 = 49 \\Rightarrow x + y = \\pm 7.[\/tex]<\/p>\n<p>Agora que sabemos que a soma [tex]x+y[\/tex] vale [tex]7[\/tex] ou [tex]-7[\/tex], fica mais f\u00e1cil de pensarmos nas solu\u00e7\u00f5es poss\u00edveis: quais n\u00fameros resultam em [tex]7[\/tex] ou [tex]-7[\/tex] quando somados, e em [tex]12[\/tex] quando multiplicados? Semelhante a resolver uma equa\u00e7\u00e3o de segundo grau pelo produto de Stevin (soma e produto), rapidamente encontramos os valores [tex]3[\/tex] e [tex]4[\/tex]. Por\u00e9m, como sua soma tamb\u00e9m pode ser negativa, al\u00e9m de um produto positivo, n\u00e3o exclu\u00edmos a possibilidade destes serem iguais a [tex]-3[\/tex] e [tex]-4[\/tex]. Portanto, o conjunto de solu\u00e7\u00f5es [tex](x,y)[\/tex] deste sistema \u00e9 [tex]\\{ (3,4), (4,3), (-3,-4),(-4,-3) \\}.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height: 1px; width: 100%; background-color: #800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px; border: 0 none;\" \/>\n<p class=\"g2\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo <strong>COM Pot\u00eancias de Euler<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<div class=\"g3\">\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: <strong>COMPLEXO OL\u00cdMPICO DE MATEM\u00c1TICA DE SALINAS<\/strong> ; <strong>Equipe Exata<\/strong> ; <strong>Koreil Guys<\/strong> ; <strong>LAPLACES<\/strong> ; <strong>Obm\u00e9picos<\/strong> ; <strong>Pot\u00eancias de Euler<\/strong>.<\/div>\n<p style=\"margin:10px\">\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Considere o sistema de equa\u00e7\u00f5es abaixo: [tex]\\qquad \\begin{cases}x^2+y^2=25,\\\\ xy=12. \\end{cases}[\/tex] Determine as solu\u00e7\u00f5es de [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] no conjunto dos n\u00fameros reais. &nbsp; Solu\u00e7\u00e3o 1 Isolando [tex]x[\/tex] na segunda equa\u00e7\u00e3o do sistema, temos [tex]x = \\dfrac{12}{y}.[\/tex] Substituindo a express\u00e3o de [tex]x[\/tex] na primeira equa\u00e7\u00e3o, ficamos &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-sistema-nao-linear\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":254,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-224607","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224607","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/254"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=224607"}],"version-history":[{"count":15,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224607\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":225162,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224607\/revisions\/225162"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=224607"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}