{"id":224596,"date":"2025-04-08T17:43:32","date_gmt":"2025-04-08T20:43:32","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=224596"},"modified":"2025-04-08T17:43:32","modified_gmt":"2025-04-08T20:43:32","slug":"probleminha-construindo-origami","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/probleminha-construindo-origami\/","title":{"rendered":".Probleminha: Construindo Origami"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n“O origami \u00e9 a arte de dobrar papel. O termo deriva do japon\u00eas e junta as palavras “ori”, que significa “dobrar”, e “kami”, que \u00e9 traduzido como “papel”. A t\u00e9cnica tradicional consiste em dobrar uma \u00fanica folha de papel, quadrada, em uma escultura, sem fazer cortes ou colar o material. As principais formas encontradas nessa arte s\u00e3o animais, objetos, barcos e caixas.”<\/em><\/p>\n
Extra\u00eddo de eCycle<\/a>.<\/div>\n

 
\nNaomi, em seu tempo vago, trabalha na constru\u00e7\u00e3o dos mais diversos tipos de origamis. Certo dia, ela decidiu fazer um origami em que a primeira dobradura consiste da eleva\u00e7\u00e3o do v\u00e9rtice [tex]D[\/tex] da folha at\u00e9 o ponto m\u00e9dio [tex]M[\/tex] do lado superior, como mostrado na figura abaixo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Sabendo que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo [tex]BCM[\/tex] \u00e9 igual a [tex]6\\;cm^2[\/tex], determine a \u00e1rea da folha que Naomi estava utilizando.\n<\/p><\/div>\n

\"explicador_p\" <\/p>\n

Nota\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\n

Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex], e o seu comprimento por [tex]XY.[\/tex]<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nA princ\u00edpio, chamaremos de [tex]l[\/tex] a medida do lado da folha, e de [tex]x[\/tex] a medida do segmento [tex]\\overline{BC}[\/tex]. Sabendo que o segmento [tex]\\overline{MC}[\/tex] representa metade do lado da folha, ou seja, mede [tex]\\dfrac{l}{2}[\/tex], a base e a altura relativa do tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo [tex]MCB[\/tex] medem, respectivamente, [tex]\\dfrac{l}{2}[\/tex] e [tex]x[\/tex], conforme figura abaixo.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Sabendo que a \u00e1rea do tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]6\\;cm^2[\/tex], podemos obter<\/p>\n


\n[tex]A = \\dfrac{b \\cdot h}{2} \\Rightarrow 6 = \\dfrac{\\frac{l}{2} \\cdot x}{2} \\Rightarrow 6 = \\dfrac{l \\cdot x}{4} \\therefore \\boxed{lx = 24}.[\/tex]<\/center><\/p>\n

Agora, observe a hipotenusa de [tex]BCM[\/tex]: como \u00e9 uma dobra da folha inicial de lado [tex]l[\/tex], quando juntamos a sua medida com o peda\u00e7o de [tex]l[\/tex] equivalente a [tex]x[\/tex], obtemos o lado [tex]l[\/tex] novamente. Mais precisamente, podemos afirmar que [tex]x + BM = l[\/tex], que \u00e9 o equivalente a dizer que [tex]BM = l – x[\/tex].<\/p>\n

\"\"
\nAplicando o teorema de Pit\u00e1goras ao tri\u00e2ngulo [tex]BCM,[\/tex] obtemos:<\/p>\n

[tex](l – x)^2 = x^2 + \\left(\\dfrac{l}{2}\\right)^2 \\Rightarrow l^2 – 2lx + x^2 = x^2 + \\dfrac{l^2}{4}.[\/tex] <\/center><\/p>\n

Como j\u00e1 sabemos que [tex]lx = 24[\/tex], podemos substitu\u00ed-lo na igualdade acima e tamb\u00e9m cancelar [tex]x^2[\/tex], que aparece em ambos os lados. Assim, podemos prosseguir:<\/p>\n

[tex]l^2 – 2 \\cdot (24) + \\cancel{x^2} = \\cancel{x^2} + \\dfrac{l^2}{4} \\Rightarrow l^2 – 48 = \\dfrac{l^2}{4} \\Rightarrow 4(l^2 – 48) = l^2 \\Rightarrow 4l^2 – 192 = l^2 \\Rightarrow 3l^2 = 192 \\therefore l^2 = \\dfrac{192}{3} = 64.[\/tex]<\/center><\/p>\n

Como um quadrado de lado [tex]l[\/tex] possui \u00e1rea igual a [tex]l^2[\/tex], a \u00e1rea da folha que Naomi estava usando \u00e9 igual a [tex]64\\;cm^2.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Pot\u00eancias de Euler<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: COMPLEXO OL\u00cdMPICO DE MATEM\u00c1TICA DE SALINAS<\/strong> ; Equipe Exata<\/strong> ; Equipe Fibonacci<\/strong> ; Koreil Guys<\/strong> ; Phidias<\/strong> ; Pot\u00eancias de Euler<\/strong>.<\/div>\n

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Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) “O origami \u00e9 a arte de dobrar papel. O termo deriva do japon\u00eas e junta as palavras “ori”, que significa “dobrar”, e “kami”, que \u00e9 traduzido como “papel”. A t\u00e9cnica tradicional consiste em dobrar uma \u00fanica folha de papel, quadrada, em uma escultura, sem fazer … <\/p>\n

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