{"id":224389,"date":"2025-04-08T17:55:33","date_gmt":"2025-04-08T20:55:33","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=224389"},"modified":"2025-04-08T17:55:33","modified_gmt":"2025-04-08T20:55:33","slug":"problema-rombicosidodecaedro","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-rombicosidodecaedro\/","title":{"rendered":".Problema: Rombicosidodecaedro"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 3\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

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O poliedro convexo da imagem abaixo \u00e9 chamado de rombicosidodecaedro.
\n

\"\" <\/center><\/p>\n

Esse s\u00f3lido \u00e9 formado por [tex]62[\/tex] faces, todas pol\u00edgonos regulares. Cada v\u00e9rtice desse poliedro \u00e9 um v\u00e9rtice em comum de dois quadrados, um tri\u00e2ngulo e um pent\u00e1gono. <\/p>\n

Qual o n\u00famero de faces quadradas, triangulares e pentagonais do rombicosidodecaedro?<\/p>\n

Extra\u00eddo de FGV<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembrete e nota\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Rela\u00e7\u00e3o de Euler:<\/strong>
\nSeja [tex]V[\/tex] o n\u00famero de v\u00e9rtices, [tex]F[\/tex] o n\u00famero de faces e [tex]A[\/tex] o n\u00famero de arestas de um poliedro convexo. Ent\u00e3o: [tex]V+F=A+2[\/tex].\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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Como em cada v\u00e9rtice concorrem [tex]4[\/tex] arestas, poder\u00edamos pensar que [tex]A=4V[\/tex]. Por\u00e9m, cada aresta concorre em dois v\u00e9rtices distintos. Assim, podemos escrever
\n[tex]\\qquad A=\\dfrac{4V}{2}=2V.[\/tex]<\/p>\n

Pela rela\u00e7\u00e3o de Euler, temos:
\n[tex]\\qquad V+F=A+2,[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad V+62=2V+2,[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad V=60.[\/tex]<\/p>\n

Como cada v\u00e9rtice pertence a exatamente uma face triangular, o n\u00famero de faces triangulares, [tex]F_{3}[\/tex], \u00e9 dado por
\n[tex]\\qquad F_{3}=\\dfrac {60}{3}=20. [\/tex]<\/p>\n

De modo an\u00e1logo, o n\u00famero de faces pentagonais, [tex]F_{5}[\/tex], \u00e9
\n[tex]\\qquad F_{5}=\\dfrac {60}{5}=12.[\/tex]<\/p>\n

Como h\u00e1 [tex]62[\/tex] faces, teremos [tex]F_{4}=62-32=30[\/tex] faces quadradas. <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Koreil Guys<\/strong> ; Obm\u00e9picos<\/strong> ; LAPLACES<\/strong> e Ap\u00f3tema Mineira<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-224389","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224389","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=224389"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224389\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":225174,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224389\/revisions\/225174"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=224389"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}