{"id":224307,"date":"2025-04-08T17:52:22","date_gmt":"2025-04-08T20:52:22","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=224307"},"modified":"2025-04-08T17:52:22","modified_gmt":"2025-04-08T20:52:22","slug":"problema-pares-de-inteiros","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-pares-de-inteiros\/","title":{"rendered":".Problema: Pares de inteiros"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

Sejam [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] inteiros satisfazendo [tex]x + y \\ne 0[\/tex]. Encontre todos os pares [tex](x, y)[\/tex] tais que:
\n

[tex]\\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=10.[\/tex]<\/center><\/p>\n

Extra\u00eddo de OMERJ<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nObserve que
\n[tex]\\qquad \\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=10,[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad x^{2}+y^{2}=10 \\cdot (x+y),[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad x^{2}+y^{2}=10x+ 10y,[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad x^{2}+y^{2}-10x- 10y=0.[\/tex]<\/p>\n

Adicionando [tex]50[\/tex] em ambos os lados da \u00faltima equa\u00e7\u00e3o, temos:<\/p>\n

[tex]\\qquad x^{2}+y^{2}-10x- 10y +50=0 +50,[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad x^{2} -10x +25 +y^{2}- 10y +25=50,[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad (x-5)^{2} + (y-5)^{2}=50.[\/tex]<\/p>\n

Portanto, devemos escrever [tex]50[\/tex] como soma de [tex]2[\/tex] quadrados perfeitos.<\/p>\n

Isso pode ser feito de duas maneiras: [tex]50 = 1 + 49[\/tex] ou [tex]50 = 25 + 25[\/tex].<\/p>\n

Devemos ter aten\u00e7\u00e3o, pois as bases das pot\u00eancias podem ser negativas.<\/p>\n

1\u00ba caso: [tex] 50 = 1 + 49[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{cases} x -5 = \\pm 1 \\\\ y- 5= \\pm 7 \\end{cases}[\/tex]; ou<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{cases} x -5 = \\pm 7 \\\\ y- 5= \\pm 1 \\end{cases}[\/tex]<\/p>\n

Note que em cada sistema teremos [tex]4[\/tex] solu\u00e7\u00f5es.<\/p>\n

2\u00ba caso: [tex]50 = 25 + 25[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{cases} x -5 = \\pm 5 \\\\ y- 5= \\pm 5 \\end{cases}[\/tex]<\/p>\n

Nesse sistema tamb\u00e9m h\u00e1 [tex]4[\/tex] solu\u00e7\u00f5es. Contudo, a solu\u00e7\u00e3o [tex](0,0)[\/tex] deve ser exclu\u00edda.<\/p>\n

Assim, [tex]11[\/tex] pares de inteiros satisfazem o enunciado:
\n[tex]\\qquad(6,12), (12,6), (6, \u22122), (\u22122,6), (4,12), (12,4), (4, \u22122), (\u22122,4), (10,10), (10,0), (0,10).[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Ap\u00f3tema Mineira<\/strong>; Koreil Guys<\/strong>; Phidias<\/strong> ; Planck<\/strong> ; Pot\u00eancias de Euler<\/strong>; Sociedade de Hilbert<\/strong> e Sociedade dos termos variados<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Sejam [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] inteiros satisfazendo [tex]x + y \\ne 0[\/tex]. Encontre todos os pares [tex](x, y)[\/tex] tais que: [tex]\\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=10.[\/tex] Extra\u00eddo de OMERJ.   Solu\u00e7\u00e3o Observe que [tex]\\qquad \\dfrac{x^2+y^2}{x+y}=10,[\/tex] [tex]\\qquad x^{2}+y^{2}=10 \\cdot (x+y),[\/tex] [tex]\\qquad x^{2}+y^{2}=10x+ 10y,[\/tex] [tex]\\qquad x^{2}+y^{2}-10x- 10y=0.[\/tex] Adicionando [tex]50[\/tex] em ambos os lados … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-224307","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224307","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=224307"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224307\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":225173,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224307\/revisions\/225173"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=224307"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}