{"id":224301,"date":"2025-04-08T17:47:52","date_gmt":"2025-04-08T20:47:52","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=224301"},"modified":"2025-04-08T17:47:52","modified_gmt":"2025-04-08T20:47:52","slug":"problema-area-no-quadrado","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-area-no-quadrado\/","title":{"rendered":".Problema: \u00c1rea no quadrado"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

\n

Abaixo temos um quadrado [tex]ABCD[\/tex] de lado [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e centro [tex]X[\/tex]. Sabe-se que [tex]AE = BF = 1\\text{ cm}[\/tex].
\n

\"\"<\/center>
\nQual a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]XEBF[\/tex]?<\/p>\n

Extra\u00eddo de OMERJ<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n

✐ <\/span> Caso de congru\u00eancia L.A.L. (lado \u2013 \u00e2ngulo – lado):<\/strong> Se dois tri\u00e2ngulos t\u00eam ordenadamente congruentes dois lados e o \u00e2ngulo por eles definido, ent\u00e3o estes tri\u00e2ngulos s\u00e3o congruentes. (Se voc\u00ea n\u00e3o se lembra dos casos de congru\u00eancia de tri\u00e2ngulos, clique AQUI<\/a>.)
\n ✐ <\/span>Nota\u00e7\u00e3o:<\/strong><\/span> Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline {XY} [\/tex], e o seu comprimento por [tex]XY.[\/tex]\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\n

Sejam [tex]P[\/tex] e [tex]Q[\/tex] os pontos m\u00e9dios dos lados [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{BC}[\/tex], respectivamente. Vamos construir os segmentos [tex]\\overline{XP}[\/tex] e [tex]\\overline{XQ}[\/tex]. Como [tex]X[\/tex] \u00e9 o centro do quadrado, os segmentos [tex]\\overline{XP}[\/tex] e [tex]\\overline{XQ}[\/tex] s\u00e3o perpendiculares aos segmentos [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{BC}[\/tex], respectivamente (voc\u00ea conseguiria provar essa afirma\u00e7\u00e3o?<\/em>). Al\u00e9m disso, [tex]\\overline{AP}[\/tex], [tex]\\overline{PB}[\/tex], [tex]\\overline{BQ}[\/tex] e [tex]\\overline{QC}[\/tex] t\u00eam a mesma medida (metade do lado do quadrado). Como [tex]AE=BF[\/tex], podemos concluir que [tex]EP=FQ[\/tex].<\/p>\n

Logo, os tri\u00e2ngulos [tex]XPE[\/tex] e [tex]XQF[\/tex] s\u00e3o tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos congruentes pelo caso [tex]L.A.L.[\/tex], como ilustrado na figura abaixo:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Assim, j\u00e1 que as \u00e1reas desses tri\u00e2ngulos s\u00e3o iguais, a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]XEBF[\/tex] \u00e9 igual \u00e0 \u00e1rea do quadrado [tex]XPBQ[\/tex], que equivale a um quarto da \u00e1rea do quadrado [tex]ABCD[\/tex].<\/p>\n

Portanto, a \u00e1rea pedida \u00e9 de [tex]\\dfrac{16}{4}=\\boxed{4\\text{ cm}^2}[\/tex].<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nSeja [tex]P[\/tex] o ponto m\u00e9dio do lado [tex]\\overline{AB}[\/tex]. Como [tex]X[\/tex] \u00e9 o centro do quadrado, o segmento [tex]\\overline{XP}[\/tex] \u00e9 perpendicular ao segmento [tex]\\overline{AB}[\/tex]. Sabendo que o lado do quadrado mede [tex]4\\text{ cm}[\/tex], podemos calcular a \u00e1rea pedida como a soma das \u00e1reas de um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo de catetos [tex]1\\text{ cm}[\/tex] e [tex]2\\text{ cm}[\/tex] e um trap\u00e9zio de bases [tex]1\\text{ cm}[\/tex] e [tex]2\\text{ cm}[\/tex] e altura [tex]2\\text{ cm}[\/tex].
\n\"\"<\/p>\n

Assim, a \u00e1rea pedida \u00e9 dada por
\n[tex]\\qquad \\dfrac{1\\times 2}{2}+\\dfrac{(1+2)\\times 2}{2}=1+3=\\boxed{4\\text{ cm}^2}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Koreil Guys<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 3<\/p>\n

\nNota:<\/strong> Nesta solu\u00e7\u00e3o, a nota\u00e7\u00e3o [tex][ABC\\dots X][\/tex] indica a \u00e1rea do pol\u00edgono [tex]ABC\\dots X[\/tex]. <\/p>\n

Por simetria, \u00e9 poss\u00edvel perceber que o quadrado [tex]ABCD[\/tex] pode ser dividido em [tex]4[\/tex] quadril\u00e1teros congruentes a [tex]XEBF[\/tex] sempre que [tex]AE=BF[\/tex]. Desse modo, a \u00e1rea [tex][XEBF][\/tex] ser\u00e1 dada por
\n[tex]\\qquad [XEBF]=\\dfrac{1}{4}[ABCD]=\\dfrac{16}{4}=4\\text{ cm}^{2}.[\/tex]<\/p>\n

Outra maneira de pensar \u00e9 calcular a soma das \u00e1reas dos tri\u00e2ngulos [tex]XEB[\/tex] e [tex]XFB[\/tex]:
\n[tex]\\qquad [XEBF]=[XEB]+[XFB],[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad[XEB]=\\dfrac{3\\cdot 2}{2}=3,[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad[XFB]=\\dfrac{1\\cdot 2}{2}=1.[\/tex]<\/p>\n

Portanto,
\n[tex]\\qquad[XEBF]=[XEB]+[XFB]=3+1=\\boxed{4\\text{ cm}^2}.[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Koreil Guys<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Koreil Guys<\/strong>; L\u00f3gicos<\/strong>; Mathlete<\/strong>; Phidias<\/strong>; Pot\u00eancias de Euler<\/strong>; Sociedade de Hilbert<\/strong>.<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Abaixo temos um quadrado [tex]ABCD[\/tex] de lado [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e centro [tex]X[\/tex]. Sabe-se que [tex]AE = BF = 1\\text{ cm}[\/tex]. Qual a \u00e1rea do quadril\u00e1tero [tex]XEBF[\/tex]? Extra\u00eddo de OMERJ.   Lembretes e nota\u00e7\u00f5es ✐ Caso de congru\u00eancia L.A.L. (lado \u2013 \u00e2ngulo – lado): Se dois … <\/p>\n

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