{"id":224111,"date":"2025-02-22T14:32:09","date_gmt":"2025-02-22T17:32:09","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=224111"},"modified":"2025-02-22T15:35:59","modified_gmt":"2025-02-22T18:35:59","slug":"sala-de-estudo-a-funcao-exponencial-sala-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-a-funcao-exponencial-sala-2\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: A Fun\u00e7\u00e3o Exponencial – Sala 2"},"content":{"rendered":"
\n

Problemas resolvidos<\/p>\n

\n

\n

\n

Problema 1:<\/strong>
\nA massa radioativa [tex]M[\/tex], em gramas, de certo corpo \u00e9 dada como fun\u00e7\u00e3o do tempo [tex]n[\/tex], em anos, pela f\u00f3rmula <\/p>\n

[tex]M(n) = 16\\cdot 2^{-\\frac{n}{5}}[\/tex].<\/p>\n

Calcule a meia-vida dessa subst\u00e2ncia. <\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nObserve que, inicialmente, temos [tex]M(0) = 16\\cdot 2^{-\\frac{0}{5}}=16\\cdot 2^0=16[\/tex] gramas. Queremos saber o tempo necess\u00e1rio para que essa massa decaia para [tex]8[\/tex] gramas. Usando a f\u00f3rmula, temos
\n[tex]\\qquad\\begin{align}\\quad& 8= 16\\cdot 2^{-\\frac{n}{5}} \\\\\\Leftrightarrow \\quad &\\dfrac{1}{2}= 2^{-\\frac{n}{5}} \\\\\\Leftrightarrow \\quad &2^{-1}= 2^{-\\frac{n}{5}}\\\\\\Leftrightarrow \\quad & -1=-\\dfrac{n}{5}\\\\\\Leftrightarrow \\quad & n=5.\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

Portanto, a meia-vida do material radioativo em quest\u00e3o \u00e9 de [tex]5[\/tex] anos.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 2:<\/strong>
\n(Cesgranrio-RJ) Segundo dados de uma pesquisa, a popula\u00e7\u00e3o de certa regi\u00e3o do pa\u00eds vem decrescendo em rela\u00e7\u00e3o ao tempo [tex]t[\/tex], contado em anos, aproximadamente, segundo a rela\u00e7\u00e3o: [tex]P(t)=40000\\cdot 2^{-0,2t}[\/tex]. Sendo [tex]P(t)[\/tex] a popula\u00e7\u00e3o ap\u00f3s [tex]t[\/tex] anos, calcule quantos anos se passar\u00e3o para que essa popula\u00e7\u00e3o fique reduzida \u00e0 quarta parte da popula\u00e7\u00e3o inicial. Calcule tamb\u00e9m a taxa anual de decrescimento dessa popula\u00e7\u00e3o (use [tex]\\sqrt[5]{0,5}=0,87[\/tex]). <\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\nObserve que inicialmente temos [tex]P(0)=40000\\cdot 2^{0}=40000[\/tex] indiv\u00edduos. Vamos usar a f\u00f3rmula da quest\u00e3o para encontrar o valor do tempo que corresponde \u00e0 quarta parte de [tex]40000[\/tex], ou seja, [tex]10000[\/tex]:
\n[tex]\\qquad\\begin{align}\\quad&10000=40000\\cdot 2^{-0,2t}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &\\dfrac{1}{4}= 2^{-0,2t}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &2^{-2}= 2^{-0,2t}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &-2= -0,2t\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &t=10.\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

Portanto, em [tex]10[\/tex] anos a popula\u00e7\u00e3o se reduzir\u00e1 \u00e0 quarta parte da popula\u00e7\u00e3o inicial. <\/p>\n

Vamos encontrar a taxa de decrescimento anual de duas formas diferentes. Na primeira delas vamos ver a taxa de decrescimento num intervalo de um ano qualquer. Usando a f\u00f3rmula da quest\u00e3o, temos
\n[tex]\\qquad\\begin{align}\\quad&P(t)=40000\\cdot 2^{-0,2t}\\\\
\n\\quad &P(t+1)=40000\\cdot 2^{-0,2(t+1)}=40000\\cdot 2^{-0,2t-0,2}=40000\\cdot 2^{-0,2t}\\cdot2^{-0,2}=P(t)\\cdot(0,5)^{\\frac{1}{5}}=P(t)\\sqrt[5]{0,5}=0,87P(t).\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

Isso mostra que a popula\u00e7\u00e3o est\u00e1 decrescendo a uma taxa de [tex]1-0,87=0,13[\/tex] ou [tex]13\\%[\/tex] por ano. <\/p>\n

A outra maneira \u00e9 rearranjar a f\u00f3rmula para [tex]P(t)[\/tex] na forma padr\u00e3o do crescimento exponencial:<\/p>\n

[tex]P(t)=40000\\cdot 2^{-0,2t}=40000 \\cdot(2^{-0,2})^{t}=40000 \\cdot(0,87)^{t}=40000 \\cdot (1-0,13)^{t},[\/tex]<\/p>\n

e, com isso, podemos ver que se trata de um decrescimento exponencial com taxa relativa de [tex]13\\%[\/tex] ao ano.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 3:<\/strong>
\n(Ence-RJ) Num laborat\u00f3rio \u00e9 realizada uma experi\u00eancia com um material vol\u00e1til, cuja velocidade de volatiliza\u00e7\u00e3o \u00e9 medida pela sua massa, em gramas, que decresce em fun\u00e7\u00e3o do tempo [tex]t[\/tex], em horas, de acordo com a f\u00f3rmula [tex]M(t) = -3^{2t} – 3^{t+1} + 108[\/tex]. Assim sendo, qual o tempo m\u00e1ximo de que o cientista disp\u00f5e para utilizar este material antes que ele se volatize totalmente?<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nNo momento em que o material se volatizar por completo teremos [tex]M(t)=0[\/tex]. Para saber o tempo em que isto ocorre devemos resolver a equa\u00e7\u00e3o exponencial<\/p>\n

[tex]-3^{2t} – 3^{t+1} + 108=0.[\/tex]<\/p>\n

Primeiramente observe que, devido \u00e0s propriedades operat\u00f3rias (1)<\/strong> e (5)<\/strong>, [tex]3^{2t}=(3^t)^2[\/tex] e [tex]3^{t+1}=3\\cdot 3^t[\/tex]. Assim, <\/p>\n

[tex]-3^{2t} – 3^{t+1} + 108=0 \\quad \\Leftrightarrow \\quad -(3^t)^2-3\\cdot 3^t+108=0[\/tex].<\/p>\n

Com a mudan\u00e7a de inc\u00f3gnita [tex]T=3^t[\/tex], nossa equa\u00e7\u00e3o exponencial se transforma na equa\u00e7\u00e3o do segundo grau <\/p>\n

[tex]-T^2-3T+108=0,[\/tex]<\/p>\n

com solu\u00e7\u00f5es [tex]T=-12[\/tex] e [tex]T=9[\/tex]. Vejam que, como [tex]3^t[\/tex] \u00e9 sempre positivo, a solu\u00e7\u00e3o [tex]T=-12[\/tex] deve ser descartada. A solu\u00e7\u00e3o [tex]T=9[\/tex] leva \u00e0 equa\u00e7\u00e3o exponencial <\/p>\n

[tex]9=3^t \\ \\ \\Leftrightarrow \\ \\ 3^2=3^t \\ \\ \\Leftrightarrow \\ \\ t=2 [\/tex]. <\/p>\n

Portanto, o cientista ter\u00e1 no m\u00e1ximo [tex]2[\/tex] horas para usar o material antes que ele se volatize completamente.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 4:<\/strong>
\nDeterminado im\u00f3vel foi avaliado em [tex]R\\$ 350 [\/tex] mil e, a partir da\u00ed , valoriza-se exponencialmente de acordo com a fun\u00e7\u00e3o [tex] v(t)=350000\\cdot (1,1)^{t}[\/tex], em que [tex]t[\/tex] representa o tempo (em anos). Qual ser\u00e1 o valor desse im\u00f3vel ap\u00f3s [tex]3[\/tex] anos da avalia\u00e7\u00e3o?<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\nBasta usar a f\u00f3rmula dada na quest\u00e3o para [tex]t=3[\/tex]. O valor do im\u00f3vel ser\u00e1, ent\u00e3o,<\/p>\n

[tex]v(3)=350000\\cdot(1,1)^{3}=350000\\cdot 1,331=465850[\/tex] reais.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 5:<\/strong>
\nEm uma regi\u00e3o litor\u00e2nea, a popula\u00e7\u00e3o de uma esp\u00e9cie de algas tem crescido de modo que a \u00e1rea da superf\u00edcie coberta por elas aumenta [tex]50\\%[\/tex] a cada ano, em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 \u00e1rea coberta no ano anterior. Atualmente, a \u00e1rea da superf\u00edcie coberta pelas algas \u00e9 de, aproximadamente, [tex]4000 \\ \\text{m}^2[\/tex]. Suponha que esse crescimento seja mantido. Qual a lei da fun\u00e7\u00e3o que representa a \u00e1rea [tex]y[\/tex], em [tex]\\text{m}^2[\/tex], que a popula\u00e7\u00e3o de algas ocupar\u00e1 daqui a [tex]x[\/tex] anos?<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nBasta observar que se trata de um crescimento exponencial com valor inicial de [tex]4000 \\ \\text{m}^2[\/tex] e taxa de crescimento [tex]r=0,5[\/tex] por ano. Assim, a \u00e1rea [tex]y[\/tex] coberta por algas, ap\u00f3s [tex]x[\/tex] anos, pode ser expressa pela f\u00f3rmula <\/p>\n

[tex]y=4000\\cdot(1+0,5)^x=4000\\cdot(1,5)^x.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 6:<\/strong>
\nUm conjunto de sof\u00e1s foi comprado por [tex]R\\$ 2[\/tex] mil. Com o tempo, por descuido do comprador, o sol foi queimando o tecido do sof\u00e1, que perdeu a cor original. Um comerciante do ramo informou ao comprador, que em uma situa\u00e7\u00e3o desse tipo, a cada ano o sof\u00e1 perde [tex]10\\%[\/tex] do valor que tinha no ano anterior. Sabendo que o comprador se informou com o comerciante [tex] 7[\/tex] anos depois da compra, que valor o sof\u00e1 teria nesta data, segundo o comerciante?<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\nO valor do sof\u00e1 apresenta um decrescimento exponencial com valor inicial de [tex]R\\$ 2[\/tex] mil e taxa relativa de crescimento [tex]r=-0,1[\/tex] por ano. Assim, o valor do sof\u00e1 [tex]V(x)[\/tex], ap\u00f3s [tex]x[\/tex] anos, pode ser expresso pela f\u00f3rmula <\/p>\n

[tex] V(x)=2000\\cdot(1-0,1)^x=2000\\cdot(0,9)^x.[\/tex]<\/p>\n

Portanto, [tex]7[\/tex] anos ap\u00f3s a compra o valor do sof\u00e1 era de <\/p>\n

[tex]V(7)=2000\\cdot(1-0,1)^x=2000\\cdot(0,9)^7\\approx 2000\\cdot 0,478= R\\$956,00.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 7:<\/strong>
\n(U. F. Uberl\u00e2ndia-MG) Na elabora\u00e7\u00e3o de pol\u00edticas p\u00fablicas que estejam em conformidade com a legisla\u00e7\u00e3o urban\u00edstica de uso e ocupa\u00e7\u00e3o do solo em regi\u00f5es metropolitanas, \u00e9 fundamental o conhecimento de leis descritivas do crescimento populacional urbano. Suponha que a lei dada pela fun\u00e7\u00e3o [tex]p (t) = 0,5\\cdot 2^{kt}[\/tex] expresse um modelo representativo da popula\u00e7\u00e3o de uma cidade (em milh\u00f5es de habitantes) ao longo do tempo [tex]t[\/tex] (em anos), contados a partir de [tex]1970[\/tex], isto \u00e9, [tex]t = 0[\/tex] corresponde ao ano de [tex]1970[\/tex], sendo [tex]k[\/tex] uma constante real. Sabendo que a popula\u00e7\u00e3o dessa cidade em [tex]2000[\/tex] era de [tex]1[\/tex] milh\u00e3o de habitantes:
\na) Extraia do texto dado uma rela\u00e7\u00e3o de forma a obter o valor de [tex] k[\/tex].
\nb) Segundo o modelo de evolu\u00e7\u00e3o populacional dado, descreva e execute um plano de resolu\u00e7\u00e3o que possibilite estimar em qual ano a popula\u00e7\u00e3o desta cidade atingir\u00e1 [tex]16[\/tex] milh\u00f5es de habitantes.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\na)<\/strong> Como [tex]1970[\/tex] equivale a [tex]t=0[\/tex], ent\u00e3o [tex]2000[\/tex] equivale a [tex]t=30[\/tex]. A informa\u00e7\u00e3o que para [tex]t=30[\/tex] a popula\u00e7\u00e3o \u00e9 de [tex]1[\/tex] milh\u00e3o resulta na equa\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\qquad\\begin{align}\\quad&1 = 0,5\\cdot 2^{30k}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &2 = 2^{30k}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &1=30k\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &k=\\dfrac{1}{30}.\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

b)<\/strong> Com o valor da constante [tex]k[\/tex] encontrado no item anterior, a f\u00f3rmula para o crescimento da popula\u00e7\u00e3o pode ser dada por<\/p>\n

[tex]p (t) = 0,5\\cdot 2^{\\frac{t}{30}}.[\/tex]<\/p>\n

Agora, podemos us\u00e1-la para descobrir o valor para [tex]t[\/tex] que resulta numa popula\u00e7\u00e3o de [tex]16[\/tex] milh\u00f5es:
\n[tex]\\qquad\\begin{align}\\quad&16 = 0,5\\cdot 2^{\\frac{t}{30}}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &32 = 2^{\\frac{t}{30}}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &2^5 = 2^{\\frac{t}{30}}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &5 = \\dfrac{t}{30}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &t=150.\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

Assim, a cidade ter\u00e1 [tex]16[\/tex] milh\u00f5es de habitantes no ano de [tex]1970+150=2120[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 8:<\/strong>
\n(UF-PE) Em uma aula de biologia, os alunos devem observar uma cultura de bact\u00e9rias por um intervalo de tempo e informar o quociente entre a popula\u00e7\u00e3o final e a popula\u00e7\u00e3o inicial. Ant\u00f4nio observa a cultura de bact\u00e9rias por [tex]10[\/tex] minutos e informa um valor [tex]Q[\/tex]. Iniciando a observa\u00e7\u00e3o no mesmo instante que Ant\u00f4nio, Beatriz deve dar sua informa\u00e7\u00e3o ap\u00f3s [tex]1[\/tex] hora, mas, sabendo que a popula\u00e7\u00e3o de bact\u00e9rias obedece \u00e0 equa\u00e7\u00e3o [tex]P(t)=P_0\\cdot a^{kt}[\/tex] ([tex]a[\/tex] e [tex]k[\/tex] s\u00e3o constantes), Beatriz deduz que encontrar\u00e1 uma pot\u00eancia do valor informado por Ant\u00f4nio. Qual \u00e9 o expoente dessa pot\u00eancia?<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\nObserve que o quociente obtido por Ant\u00f4nio \u00e9 <\/p>\n

[tex]Q=\\dfrac{P(10)}{P(0)}=\\dfrac{P_0\\cdot a^{10k}}{P_0}=a^{10k}.[\/tex]<\/p>\n

Observe agora o que acontece com o quociente encontrado por Beatriz:<\/p>\n

[tex]\\dfrac{P(60)}{P(0)}=\\dfrac{P_0\\cdot a^{60k}}{P_0}=a^{60k}=(a^{10k})^6=Q^6.[\/tex]<\/p>\n

Portanto, o quociente obtido por Beatriz \u00e9 a sexta pot\u00eancia do quociente encontrado por Ant\u00f4nio.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 9:<\/strong>
\n(UF-PE\/UF Rural-PE) Suponha que um teste possa detectar a presen\u00e7a de ester\u00f3ides em um atleta, quando a quantidade de ester\u00f3ides em sua corrente sangu\u00ednea for igual ou superior a [tex]1[\/tex] mg. Suponha tamb\u00e9m que o corpo elimina [tex]1\/4[\/tex] da quantidade de ester\u00f3ides presentes na corrente sangu\u00ednea a cada [tex]4[\/tex] horas. Se um atleta ingere [tex] 10[\/tex] mg de ester\u00f3ides, passadas quantas horas n\u00e3o ser\u00e1 poss\u00edvel detectar ester\u00f3ides, submetendo o atleta a este teste? (Dado: use a aproxima\u00e7\u00e3o [tex] 10\\approx (4\/3)^8[\/tex].)<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nSeja [tex]Q(x)[\/tex] a quantidade de ester\u00f3ides restantes na corrente sangu\u00ednea [tex]x[\/tex] per\u00edodos de [tex]4[\/tex] horas ap\u00f3s a ingest\u00e3o. Temos um caso de decrescimento exponencial com [tex]Q(0)=10[\/tex] e [tex]r=-\\dfrac{1}{4}[\/tex]. Assim, <\/p>\n

[tex]Q(x)=10\\cdot\\left(1-\\dfrac{1}{4}\\right)^x=10\\cdot\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^x.[\/tex]<\/p>\n

Primeiro, vamos encontrar o tempo necess\u00e1rio para que a quantidade de ester\u00f3ides restantes na corrente sangu\u00ednea seja [tex]1[\/tex] mg. Para isto, temos que resolver a equa\u00e7\u00e3o <\/p>\n

[tex]1=10\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^x[\/tex].<\/p>\n

Usando a aproxima\u00e7\u00e3o fornecida no enunciado do problema, temos [tex]10^{-1}\\approx (4\/3)^{-8}=(3\/4)^{8}.[\/tex]<\/p>\n

Assim,<\/p>\n

[tex]\\left( \\dfrac{3}{4}\\right)^8=\\left(\\dfrac{3}{4}\\right)^x\\Leftrightarrow x=8.[\/tex]<\/p>\n

Dessa forma, ap\u00f3s [tex]8[\/tex] per\u00edodos de [tex]4[\/tex] horas, ou seja, ap\u00f3s [tex]32[\/tex] horas, a quantidade de ester\u00f3ides restantes na corrente sangu\u00ednea ser\u00e1 de aproximadamente [tex]1[\/tex] mg. Ap\u00f3s esse intervalo de tempo, n\u00e3o poder\u00e1 mais ser detectada.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 10:<\/strong>
\n(Unifesp-SP) Sob determinadas condi\u00e7\u00f5es, o antibi\u00f3tico gentamicina, quando ingerido, \u00e9 eliminado pelo organismo \u00e0 raz\u00e3o de metade do volume acumulado a cada [tex]2[\/tex] horas. Da\u00ed, se [tex]K[\/tex] \u00e9 o volume da subst\u00e2ncia no organismo, pode-se utilizar a fun\u00e7\u00e3o [tex]f(t)=K\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{\\frac{t}{2}}[\/tex] para estimar a sua elimina\u00e7\u00e3o depois de um tempo [tex]t[\/tex], em horas. Neste caso, qual \u00e9 o tempo m\u00ednimo necess\u00e1rio para que uma pessoa tenha no m\u00e1ximo [tex]2[\/tex] mg desse antibi\u00f3tico no organismo, tendo ingerido [tex]128[\/tex] mg numa \u00fanica dose?<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\nVamos usar a f\u00f3rmula fornecida pelo enunciado do problema para encontrar o tempo necess\u00e1rio para que [tex]128[\/tex] mg de gentamicina se reduza a [tex]2[\/tex] mg.
\n[tex]\\qquad\\begin{align}\\quad&2=128 \\cdot\\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{\\frac{t}{2}}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &\\dfrac{1}{64}=\\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{\\frac{t}{2}}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &2^{-6}=\\left(2 \\right)^{-\\frac{t}{2}}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &-6=-\\dfrac{t}{2}\\\\
\n\\Leftrightarrow \\quad &t=12.\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

Portanto, s\u00e3o necess\u00e1rias no m\u00ednimo [tex]12[\/tex] horas para que haja no m\u00e1ximo [tex]2[\/tex] mg de gentamicina no organismo.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 11:<\/strong>
\nEm um experimento, uma cultura de bact\u00e9rias tem sua popula\u00e7\u00e3o reduzida pela metade a cada hora, devido \u00e0 a\u00e7\u00e3o de um agente bactericida. Neste experimento, qual \u00e9 a fun\u00e7\u00e3o que modela o n\u00famero de bact\u00e9rias em fun\u00e7\u00e3o do tempo?<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nComo se trata de um crescimento de popula\u00e7\u00f5es, podemos usar a f\u00f3rmula <\/p>\n

[tex]P(n)=P(0)\\cdot (1+r)^n,[\/tex]<\/p>\n

em que [tex]P(0)[\/tex] \u00e9 a popula\u00e7\u00e3o inicial e [tex]n[\/tex] \u00e9 o n\u00famero de per\u00edodos, no caso horas, de tempo que se passaram. Nesse caso, temos [tex]r=-0,5[\/tex]. Assim, a fun\u00e7\u00e3o que modela o n\u00famero de bact\u00e9rias em fun\u00e7\u00e3o do tempo \u00e9<\/p>\n

[tex]P(n)=P(0)\\cdot\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^n[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 12:<\/strong>
\nO acr\u00e9scimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma ind\u00fastria fabricou [tex]8 000[\/tex] unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas m\u00e1quinas e aumentou a produ\u00e7\u00e3o em [tex]50\\%[\/tex]. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos pr\u00f3ximos anos, garantindo um crescimento anual de [tex]50\\%[\/tex]. Considere [tex]P[\/tex] a quantidade anual de produtos fabricados no ano [tex]t[\/tex] de funcionamento da ind\u00fastria. Se a estimativa for alcan\u00e7ada, qual \u00e9 a express\u00e3o que determina o n\u00famero de unidades produzidas [tex]P[\/tex] em fun\u00e7\u00e3o de [tex]t[\/tex], para [tex]t\\geq 1[\/tex]?<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n
\nSe trata de um crescimento exponencial com quantidade inicial de [tex]8 000[\/tex] unidades no ano [tex]1[\/tex] e [tex]r=0,5[\/tex]. No tempo [tex]t\\geq 1[\/tex], ter\u00e3o passados [tex]t-1[\/tex] per\u00edodos de [tex]1[\/tex] ano. Assim, o n\u00famero de unidades produzidas [tex]P[\/tex] em fun\u00e7\u00e3o de [tex]t[\/tex] ser\u00e1 de <\/p>\n

[tex]P(t)=8000\\cdot(1,5)^{t-1}.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Problema 13:<\/strong>
\nO sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de [tex]R\\$ 1 800[\/tex] propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A express\u00e3o que corresponde \u00e0 proposta salarial [tex]S[\/tex], em fun\u00e7\u00e3o do tempo [tex]t[\/tex] de servi\u00e7o, em anos, \u00e9 [tex]S(t) = 1 800 \\cdot (1,03)^t [\/tex]. De acordo com a proposta do sindicato, qual ser\u00e1 o sal\u00e1rio de um profissional dessa empresa com [tex]2[\/tex] anos de tempo de servi\u00e7o?<\/p>\n

\n

\n <\/p>\n
\n
\nBasta usar a f\u00f3rmula fornecida no enunciado com [tex]t=2[\/tex]. Assim, o sal\u00e1rio de um profissional dessa empresa com [tex]2[\/tex] anos de tempo de servi\u00e7o ser\u00e1<\/p>\n

[tex]S(2) = 1 800 \\cdot (1,03)^2=R\\$ 1909,62. [\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

Janeiro de 2025<\/span><\/p>\n

Ir para Sala Inicial<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problemas resolvidos Problema 1: A massa radioativa [tex]M[\/tex], em gramas, de certo corpo \u00e9 dada como fun\u00e7\u00e3o do tempo [tex]n[\/tex], em anos, pela f\u00f3rmula [tex]M(n) = 16\\cdot 2^{-\\frac{n}{5}}[\/tex]. Calcule a meia-vida dessa subst\u00e2ncia. Observe que, inicialmente, temos [tex]M(0) = 16\\cdot 2^{-\\frac{0}{5}}=16\\cdot 2^0=16[\/tex] gramas. Queremos saber o tempo necess\u00e1rio para que essa massa decaia para [tex]8[\/tex] … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":254,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-224111","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224111","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/254"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=224111"}],"version-history":[{"count":38,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224111\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":224576,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224111\/revisions\/224576"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=224111"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}