{"id":224055,"date":"2025-02-22T14:08:25","date_gmt":"2025-02-22T17:08:25","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=224055"},"modified":"2025-02-22T15:35:49","modified_gmt":"2025-02-22T18:35:49","slug":"sala-de-estudo-a-funcao-exponencial-sala-1","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-a-funcao-exponencial-sala-1\/","title":{"rendered":".Sala de Estudo: A Fun\u00e7\u00e3o Exponencial – Sala 1"},"content":{"rendered":"
\n
A Fun\u00e7\u00e3o Exponencial – Sala 1<\/strong>\n<\/div>\n
\n
\n

\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Com base no que j\u00e1 estudamos na Sala introdut\u00f3ria, come\u00e7amos esta Sala definindo fun\u00e7\u00f5es exponenciais.
\n<\/span><\/p>\n

<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\nDefini\u00e7\u00e3o 7:<\/strong> Uma fun\u00e7\u00e3o [tex]f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}[\/tex], dada por [tex]f(x)=a^x[\/tex] ou [tex]y=a^x[\/tex], com [tex]a\\gt 0[\/tex] real e [tex]a\\neq 1[\/tex], \u00e9 denominada fun\u00e7\u00e3o exponencial.<\/strong>\n<\/div>\n

\n

\nPodemos destacar, abaixo, alguns exemplos de fun\u00e7\u00f5es exponenciais:
\n►<\/span> [tex]f(x)=7^x.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]g(x)=\\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^x.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]h(x)=(\\sqrt{6})^x.[\/tex]\n <\/div>\n

\n

As restri\u00e7\u00f5es [tex]a\\gt 0[\/tex] e [tex]a\\neq 1[\/tex] s\u00e3o necess\u00e1rias. De fato, quando [tex]a=1[\/tex], a fun\u00e7\u00e3o [tex]f(x)=1^x=1[\/tex] \u00e9 a fun\u00e7\u00e3o constante igual a [tex]1[\/tex]. Quando [tex]a=0[\/tex], a fun\u00e7\u00e3o [tex]f(x)=0^x[\/tex] n\u00e3o est\u00e1 definida para valores negativos de [tex]x[\/tex]. Por exemplo, quando [tex]x=-1[\/tex], temos [tex]0^{-1}=\\dfrac{1}{0^{1}}=\\dfrac{1}{0}[\/tex], o que \u00e9 n\u00e3o est\u00e1 definido no conjunto dos n\u00fameros reais. Quando [tex]a\\lt 0[\/tex], a fun\u00e7\u00e3o n\u00e3o estaria definida em muitos valores de [tex]x[\/tex]. Por exemplo, quando [tex]a=-3[\/tex] e [tex]x=\\dfrac{1}{2}[\/tex] ter\u00edamos [tex]f(x)=(-3)^{\\frac{1}{2}}=\\sqrt{-3}[\/tex], e sabemos que n\u00e3o existe raiz quadrada de n\u00fameros negativos no conjunto dos n\u00fameros reais. <\/p>\n

\n

\n

\n

Gr\u00e1fico da Fun\u00e7\u00e3o Exponencial<\/p>\n

Nesta se\u00e7\u00e3o, iremos estudar o gr\u00e1fico de fun\u00e7\u00f5es exponenciais. Usar o gr\u00e1fico de uma fun\u00e7\u00e3o \u00e9 sempre uma forma muito eficiente de apresentar as principais caracter\u00edsticas de um fen\u00f4meno modelado por esta fun\u00e7\u00e3o. No caso da fun\u00e7\u00e3o exponencial, esses gr\u00e1ficos se separam em dois grupos com caracter\u00edsticas similares, dependendo de ocorrer [tex]a\\gt 1[\/tex] ou [tex]0\\lt a \\lt 1[\/tex]. Vejamos um exemplar de cada um desses grupos.<\/p>\n

►<\/span> [tex]f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]f(x)=2^x[\/tex]. Podemos usar nossos conhecimentos envolvendo exponencia\u00e7\u00e3o para obter v\u00e1rios pares de pontos [tex](x,f(x))[\/tex], como mostrado na tabela. O gr\u00e1fico de [tex]f[\/tex] \u00e9 a curva mostrada na figura e \u00e9 conhecido como curva exponencial<\/strong>. O leitor pode calcular mais pontos, com a ajuda de uma calculadora cient\u00edfica, e constatar que, de fato, essa curva \u00e9 o conjunto dos pontos [tex](x,f(x))[\/tex]. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Observe que essa curva passa pelos pontos [tex](0,1)[\/tex] e [tex](1,2)[\/tex] e \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o crescente, ou seja, \u00e0 medida que os valores de [tex]x[\/tex] aumentam, os valores de [tex]f(x)[\/tex] tamb\u00e9m aumentam. Assim, se [tex]x_1\\lt x_2[\/tex], ent\u00e3o [tex]2^{x_1}\\lt 2^{x_2}[\/tex]. Observe tamb\u00e9m que [tex]f(x)\\gt 0[\/tex], para qualquer [tex]x\\in \\mathbb{R}.[\/tex]<\/p>\n

►<\/span> [tex]g: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}[\/tex] dada por [tex]g(x)=\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^x[\/tex]. Poder\u00edamos usar nossos conhecimentos envolvendo exponencia\u00e7\u00e3o para obter v\u00e1rios pares de pontos [tex](x,g(x))[\/tex], como no exemplo anterior. Entretanto, observe que pela propriedade operat\u00f3ria (4)<\/strong> e a defini\u00e7\u00e3o de pot\u00eancia com expoente negativo, temos<\/p>\n

[tex]g(x)=\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^x=\\dfrac{1^x}{2^x}=\\dfrac{1}{2^x}=2^{-x}=f(-x)[\/tex].<\/p>\n

Assim, o ponto [tex](x, g(x))[\/tex] \u00e9 o sim\u00e9trico (espelhado) em rela\u00e7\u00e3o ao eixo [tex]y[\/tex] do ponto [tex](-x,f(-x))[\/tex] e podemos usar os pontos do gr\u00e1fico anterior para construir o gr\u00e1fico de [tex]g[\/tex]:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Novamente o leitor pode calcular mais pontos, com a ajuda de uma calculadora cient\u00edfica, e constatar que, de fato, essa curva \u00e9 o conjunto dos pontos [tex](x,g(x))[\/tex]. <\/p>\n

Observe que essa curva passa pelos pontos [tex](0,1)[\/tex] e [tex](1,\\frac{1}{2})[\/tex] e \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o decrescente, ou seja, \u00e0 medida que os valores de [tex]x[\/tex] aumentam os valores de [tex]g(x)[\/tex] diminuem. Assim, se [tex]x_1\\lt x_2[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\left(\\frac{1}{2} \\right)^{x_1}\\gt \\left(\\frac{1}{2} \\right)^{x_2}[\/tex]. Observe novamente que [tex]g(x)\\gt 0[\/tex] para qualquer [tex]x\\in \\mathbb{R}[\/tex].<\/p>\n

\nAs situa\u00e7\u00f5es acima ilustram as seguintes propriedades:<\/p>\n

►<\/span> Quando [tex]a\\gt 1[\/tex], a fun\u00e7\u00e3o exponencial [tex]f(x)=a^x[\/tex] \u00e9 crescente, isto \u00e9, se [tex]x_1\\lt x_2[\/tex], ent\u00e3o [tex]a^{x_1} \\lt a^{x_2}[\/tex].<\/p>\n

►<\/span> Quando [tex]0\\lt a\\lt 1[\/tex], a fun\u00e7\u00e3o exponencial [tex]f(x)=a^x[\/tex] \u00e9 decrescente, isto \u00e9, se [tex]x_1\\lt x_2[\/tex], ent\u00e3o [tex]a^{x_1} \\gt a^{x_2}[\/tex]. <\/p>\n

►<\/span> O gr\u00e1fico de [tex]f(x)=a^x[\/tex] sempre cont\u00e9m os pontos [tex](0,1)[\/tex] e [tex](1,a)[\/tex]. <\/p>\n

►<\/span> Independemente de termos [tex]0\\lt a \\lt 1[\/tex] ou [tex]a\\gt 1[\/tex], a fun\u00e7\u00e3o [tex]f(x)=a^x[\/tex] nunca assume valores negativos, isto \u00e9, para qualquer [tex]x\\in \\mathbb{R}[\/tex], temos [tex]f(x)\\gt 0[\/tex].\n<\/div>\n

\n

\n

\n

Equa\u00e7\u00f5es Exponenciais<\/p>\n

O fato de uma fun\u00e7\u00e3o exponencial [tex]f(x)=a^x[\/tex] ser sempre crescente ou sempre decrescente ajuda na resolu\u00e7\u00e3o de algumas equa\u00e7\u00f5es exponenciais<\/strong>, que s\u00e3o equa\u00e7\u00f5es que apresentam a inc\u00f3gnita no expoente. <\/p>\n

Consideremos a fun\u00e7\u00e3o exponencial [tex]f(x)=a^x[\/tex] e dois n\u00fameros reais [tex]u[\/tex] e [tex]v[\/tex] que vamos supor respeitar [tex]u\\lt v[\/tex] (o caso [tex]u\\gt v[\/tex] \u00e9 semelhante). Como esta fun\u00e7\u00e3o deve ser apenas crescente ou apenas decrescente, ent\u00e3o [tex]a^u \\lt a^v[\/tex] (no caso [tex]a\\gt 1[\/tex]) ou [tex]a^u \\gt a^v[\/tex] (no caso [tex]0\\lt a\\lt 1[\/tex]). Logo, quando [tex]a^u=a^v[\/tex], a \u00fanica possibilidade \u00e9 que [tex]u=v[\/tex]. Dessa forma:<\/p>\n

[tex]a^u=a^v \\ \\ \\Leftrightarrow \\ \\ u=v.[\/tex]<\/p>\n

Algumas pessoas, de maneira informal, escrevem essa propriedade “cortando as bases”:<\/p>\n

[tex]\\cancel{a}^u=\\cancel{a}^v \\ \\ \\Leftrightarrow \\ \\ u=v.[\/tex]<\/p>\n

Essa escrita n\u00e3o \u00e9 muito precisa, embora o resultado seja correto nas condi\u00e7\u00f5es que apresentamos acima. Esse fato auxilia na resolu\u00e7\u00e3o das equa\u00e7\u00f5es exponenciais em que ambos os membros podem ser escritos como pot\u00eancias de mesma base. Vejamos essa t\u00e9cnica sendo aplicada na resolu\u00e7\u00e3o das equa\u00e7\u00f5es exponenciais dos exemplos abaixo. <\/p>\n

\n

Exemplo 1:<\/strong> [tex]3^{x+1}=27.[\/tex]<\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nComo [tex]27=3^3[\/tex], podemos reescrever a equa\u00e7\u00e3o como [tex] 3^{x+1}=3^3[\/tex]. Logo, [tex]x+1=3[\/tex], ou seja, [tex]x=2[\/tex].\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n

Exemplo 2:<\/strong> [tex]25^{2x+1}=125^{-x+2}.[\/tex]<\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nComo [tex]25=5^2[\/tex] e [tex]125=5^3[\/tex], podemos reescrever a equa\u00e7\u00e3o como [tex](5^2)^{2x+1}=(5^3)^{-x+2}[\/tex] e, com o uso da propriedade operat\u00f3ria (5)<\/strong>, temos [tex]5^{4x+2}=5^{-3x+6}[\/tex]. Assim, [tex]4x+2=-3x+6[\/tex] e a solu\u00e7\u00e3o para a equa\u00e7\u00e3o ser\u00e1 [tex]x=\\dfrac{4}{7}[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n

Exemplo 3:<\/strong> [tex]13^{x^2-9}=1.[\/tex]<\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nObserve inicialmente que [tex]13^0=1[\/tex] e isto nos permite reescrever a equa\u00e7\u00e3o com cada membro sendo uma pot\u00eancia da base [tex]13[\/tex]:<\/p>\n

[tex]13^{x^2-9}=13^0 \\ \\ \\Leftrightarrow \\ \\ x^2-9=0.[\/tex]<\/p>\n

Logo, as solu\u00e7\u00f5es para a equa\u00e7\u00e3o s\u00e3o [tex]x=3[\/tex] e [tex]x=-3[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n

Exemplo 4:<\/strong> [tex]3^{x}=20.[\/tex]<\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nTer\u00edamos uma certa dificuldade se tent\u00e1ssemos reescrever o n\u00famero [tex]20[\/tex] como uma pot\u00eancia de base [tex]3[\/tex], j\u00e1 que este expoente n\u00e3o \u00e9 um n\u00famero inteiro. Veja que [tex]3^2\\lt 20 \\lt 3^3[\/tex], indicando que o expoente deve ser um n\u00famero entre [tex]2[\/tex] e [tex]3[\/tex]. Equa\u00e7\u00f5es como essas podem ser resolvidas com o uso dos logaritmos. Esta ferramenta nos permite escrever [tex]20=3^{\\log_3 20}[\/tex], em que [tex]\\log_3 20\\approx 2,7268[\/tex]. Assim, [tex]3^{x}=3^{\\log_3 20}[\/tex], ou seja, [tex]x=\\log_3 20\\approx 2,7268[\/tex]. Para um estudo dos logaritmos e algumas de suas in\u00fameras aplica\u00e7\u00f5es, visite esta sala<\/a>.\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n

Exemplo 5:<\/strong> [tex]49^{x}-6\\cdot 7^x-7=0.[\/tex]<\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nN\u00e3o parece existir um forma f\u00e1cil de reescrever esta equa\u00e7\u00e3o com cada membro contendo uma pot\u00eancia de mesma base, e mesmo o uso de logaritmos n\u00e3o ajuda muito. Entretanto, podemos usar as propriedades operat\u00f3rias de forma engenhosa e resolv\u00ea-la. <\/p>\n

Primeiramente observe que, devido \u00e0 propriedade operat\u00f3ria (5)<\/strong>, temos [tex]49^x=(7^2)^x=7^{2x}=(7^x)^2[\/tex]. Assim, <\/p>\n

[tex] 49^{x}-6\\cdot 7^x-7=0 \\ \\ \\Leftrightarrow \\ \\ (7^x)^2-6\\cdot 7^x-7=0[\/tex].<\/p>\n

Com a mudan\u00e7a de inc\u00f3gnita [tex]X=7^x[\/tex], nossa equa\u00e7\u00e3o exponencial se transforma na equa\u00e7\u00e3o do segundo grau <\/p>\n

[tex]X^2-6X-7=0,[\/tex]<\/p>\n

com solu\u00e7\u00f5es [tex]X=-1[\/tex] e [tex]X=7[\/tex]. Vejam que, como [tex]7^x[\/tex] \u00e9 sempre positivo, a solu\u00e7\u00e3o [tex]X=-1[\/tex] deve ser descartada. A solu\u00e7\u00e3o [tex]X=7[\/tex] leva \u00e0 equa\u00e7\u00e3o exponencial <\/p>\n

[tex]7 = 7^x \\ \\ \\Leftrightarrow \\ \\ 7^x=7^1 \\ \\ \\Leftrightarrow \\ \\ x=1 [\/tex]. <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

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\n

Crescimento e decrescimento exponencial<\/p>\n

Fun\u00e7\u00f5es [tex]f:\\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}[\/tex] da forma [tex]f(x)=C a^x,[\/tex] em que [tex]C[\/tex] denota uma quantidade constante real e positiva, s\u00e3o conhecidas como fun\u00e7\u00f5es do tipo exponencial. Vejam que se trata de uma fun\u00e7\u00e3o exponencial multiplicada por uma constante.<\/p>\n

Essas fun\u00e7\u00f5es s\u00e3o extremamente \u00fateis para modelar fen\u00f4menos nos quais uma quantidade varia ao longo do tempo de maneira espec\u00edfica, a qual descreveremos a seguir. No instante de tempo [tex]x[\/tex], vamos denotar essa quantidade por [tex]Q(x)[\/tex]. Suponhamos que essa quantidade \u00e9 positiva no in\u00edcio, ou seja, [tex]Q(0)\\gt 0[\/tex], e varia com o passar do tempo de forma que, durante cada unidade de tempo,<\/p>\n

[tex]Q(x+1)=Q(x)+rQ(x)=Q(x)\\cdot (1+r), [\/tex]<\/p>\n

em que [tex]r>-1[\/tex] e [tex]r\\neq 0[\/tex] \u00e9 um n\u00famero real constante. <\/p>\n

Em palavras: o valor da quantidade no final de uma unidade de tempo \u00e9 o seu valor no in\u00edcio da unidade de tempo acrescido de uma fra\u00e7\u00e3o fixa [tex]r[\/tex] desta quantidade no in\u00edcio do intervalo. O n\u00famero [tex]r[\/tex] \u00e9 conhecido como taxa de crescimento relativo e, na descri\u00e7\u00e3o de muitos problemas, \u00e9 comumente apresentado na forma de porcentagem. Quando [tex]-1\\lt r\\lt 0[\/tex], dizemos que a quantidade [tex]Q[\/tex] apresenta um decaimento exponencial<\/strong> e, quando [tex] r\\gt 0[\/tex], dizemos que a quantidade [tex]Q[\/tex] apresenta um crescimento exponencial<\/strong>. <\/p>\n

Observemos como se comportam os valores da quantidade [tex]Q[\/tex] com o passar do tempo:<\/p>\n

[tex]\\begin{array}{c|c}
\n\\hline
\nx & Q(x)\\\\
\n\\hline
\n{\\color{red}1} & Q(1)=Q(0)\\cdot(1+r)=Q(0)\\cdot(1+r)^{\\color{red}1}\\\\
\n{\\color{red}2} & Q(2)=Q(1)\\cdot(1+r)=Q(0)\\cdot(1+r)\\cdot(1+r)=Q(0)\\cdot(1+r)^{\\color{red}2}\\\\
\n{\\color{red}3} & Q(3)=Q(2)\\cdot(1+r)=Q(0)\\cdot(1+r)^2\\cdot(1+r)=Q(0)\\cdot(1+r)^{\\color{red}3}\\\\
\n\\vdots & \\vdots \\\\
\n\\ {\\color{red}n} & Q(n)=Q(0)\\cdot(1+r)^{\\color{red}n}\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}
\n[\/tex]<\/p>\n

Assim, para medidas de tempo [tex]x[\/tex] sendo um n\u00famero natural positivo, a quantidade [tex]Q(x)[\/tex] \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o do tipo exponencial [tex]Q(x)=Ca^x[\/tex], com [tex]C=Q(0)[\/tex] e [tex]a=1+r[\/tex]. Quando o tempo [tex]x[\/tex] for um n\u00famero real qualquer e a exist\u00eancia da quantidade [tex]Q(x)[\/tex] fizer sentido, ela ainda ser\u00e1 dada pela fun\u00e7\u00e3o do tipo exponencial [tex]Q(x)=Ca^x[\/tex]. Isso ser\u00e1 ilustrado nas aplica\u00e7\u00f5es que descreveremos a seguir. <\/p>\n

\n

Capitaliza\u00e7\u00e3o Composta<\/strong><\/p>\n

No regime de capitaliza\u00e7\u00e3o composta, um montante inicial [tex]C[\/tex] de dinheiro, conhecido como capital, \u00e9 aplicado ou emprestado, com uma taxa de juros ou de rendimento [tex]i[\/tex] (aqui expresso na forma decimal) por per\u00edodo de tempo. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Nesse regime, os juros ou rendimentos s\u00e3o calculados no final de cada per\u00edodo e adicionados ao montante inicial, formando um novo montante sobre o qual os juros ou rendimentos do per\u00edodo seguinte ser\u00e3o calculados. De modo geral, o montante [tex]M(n+1)[\/tex] ao final do per\u00edodo de ordem [tex]n+1[\/tex] \u00e9 o montante ao final do per\u00edodo anterior, [tex]M(n)[\/tex], acrescido dos juros ou rendimentos [tex]iM(n)[\/tex], ou seja, <\/p>\n

[tex]M(n+1)=M(n)+iM(n)=M(n)\\cdot(1+i).[\/tex]<\/p>\n

Assim, o valor do montante [tex]M(n)[\/tex] ap\u00f3s [tex]n[\/tex] per\u00edodos pode ser expresso como uma fun\u00e7\u00e3o do n\u00famero de per\u00edodos atrav\u00e9s de uma fun\u00e7\u00e3o do tipo exponencial:<\/p>\n

[tex]M(n)=M(0)\\cdot(1+i)^n=C(1+i)^n[\/tex],<\/p>\n

em que [tex]C[\/tex] \u00e9 o montante inicial, [tex]n[\/tex] \u00e9 o n\u00famero de per\u00edodos e [tex]i[\/tex] \u00e9 a taxa de juros ou rendimentos por per\u00edodo. <\/p>\n

\n

Problema:<\/strong> Uma pessoa aplicou [tex]R\\$\\, 100 [\/tex] mil na caderneta de poupan\u00e7a, que rendeu [tex]1\\%[\/tex] ao m\u00eas ao longo de um ano (lembre-se de que os juros s\u00e3o cumulativos). Ao fim do referido ano, essa pessoa tinha [tex]M[\/tex] reais na caderneta de poupan\u00e7a, sem ter feito outro dep\u00f3sito al\u00e9m do inicial nem realizado saque. Calcule o valor de [tex]M[\/tex].<\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nVamos usar nossa f\u00f3rmula para a capitaliza\u00e7\u00e3o composta <\/p>\n

[tex]M(n)=M(0)\\cdot(1+i)^n=C(1+i)^n[\/tex],<\/p>\n

com [tex]M(0)=100 000[\/tex], [tex]n=12[\/tex] e [tex]i=0,01[\/tex]. Assim, <\/p>\n

[tex]M(12)=100 000\\cdot (1,01)^{12}\\approx 100 000\\cdot 1,126825=112 \\ 682,5[\/tex] reais.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Decaimento radioativo e a cronologia do carbono<\/strong><\/p>\n

As subst\u00e2ncias qu\u00edmicas capazes de emitir radia\u00e7\u00f5es s\u00e3o conhecidas como radioativas<\/strong>. A quantidade de mat\u00e9ria radioativa de um corpo diminui com o passar do tempo e isto se deve ao fato de que, quando um \u00e1tomo emite radia\u00e7\u00e3o, ele se transforma em um \u00e1tomo n\u00e3o radioativo. Mas o decaimento da mat\u00e9ria radioativa n\u00e3o acontece desordenadamente; isto \u00e9 um fato extraordin\u00e1rio e com muitas aplica\u00e7\u00f5es. Foi comprovado que a cada subst\u00e2ncia radioativa est\u00e1 associado um per\u00edodo de tempo conhecido como meia-vida<\/strong> da subst\u00e2ncia tal que qualquer quantidade [tex]Q[\/tex] dessa subst\u00e2ncia se reduzir\u00e1 \u00e0 metade ap\u00f3s uma meia-vida.<\/p>\n

Isto significa que a quantidade [tex]Q(n+1)[\/tex] de mat\u00e9ria radioativa ap\u00f3s [tex]n+1[\/tex] meias-vidas de uma subst\u00e2ncia \u00e9 a quantidade de mat\u00e9ria radioativa [tex]Q(n)[\/tex] ap\u00f3s [tex]n[\/tex] meias-vidas, diminu\u00edda da metade dessa quantidade, ou seja, <\/p>\n

[tex]Q(n+1)=Q(n)-0,5Q(n)=0,5Q(n)[\/tex].<\/p>\n

Observe que, neste caso, temos [tex]r=-0,5[\/tex], e disso decorre a terminologia decaimento radioativo<\/strong>. <\/p>\n

Assim, a quantidade de mat\u00e9ria radioativa [tex]Q(n)[\/tex] ap\u00f3s [tex]n[\/tex] meias-vidas pode ser expressa como uma fun\u00e7\u00e3o do n\u00famero de meias- vidas pela fun\u00e7\u00e3o do tipo exponencial<\/p>\n

[tex]Q(n)=Q(0)\\cdot (0,5)^n,[\/tex]<\/p>\n

em que [tex]Q(0)[\/tex] \u00e9 a quantidade de mat\u00e9ria radioativa inicial e [tex]n[\/tex] \u00e9 o n\u00famero de meias-vidas que se passaram. <\/p>\n

Vejamos uma aplica\u00e7\u00e3o muito interessante do conceito de meia-vida de elementos radioativos para a data\u00e7\u00e3o de f\u00f3sseis encontrados na natureza.<\/p>\n

A tabela abaixo fornece a meia-vida de alguns elementos qu\u00edmicos radioativos:<\/p>\n

[tex]
\n\\begin{array}{c|c}
\n\\hline
\n\\text{Ur\u00e2nio-238} & 4,5 \\text{ bilh\u00f5es de anos }\\\\
\n\\text{Ur\u00e2nio-234} & 246 \\text{ mil anos }\\\\
\n\\text{T\u00f3rio-230} & 76 \\text{ mil anos }\\\\
\n{\\color{green}\\text{Carbono-14}} & {\\color{green} 5730 \\text{ anos }}\\\\
\n\\text{R\u00e1dio-226} & 1600 \\text{ anos }\\\\
\n\\text{Chumbo-210} & 22 \\text{ anos }\\\\
\n\\text{Pol\u00f4nio-210} & 138 \\text{ dias }\\\\
\n\\text{Chumbo-214} & 27 \\text{ minutos }\\\\
\n\\text{Pol\u00f4nio-218} & 3 \\text{ minutos }\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}
\n[\/tex]<\/p>\n

Um elemento radioativo com meia-vida adequada para datar eventos na escala da hist\u00f3ria humana \u00e9 o carbono-14. Vejamos como funciona esse “rel\u00f3gio radioativo”. <\/p>\n

Na atmosfera, a concentra\u00e7\u00e3o do carbono-14 em rela\u00e7\u00e3o ao total de carbono \u00e9 constante. Os seres vivos obt\u00eam seu carbono direta ou indiretamente da atmosfera, por fotoss\u00edntese, por consumo de outros seres vivos que adquiriram o carbono por fotoss\u00edntese, etc. Assim, todos os seres vivos t\u00eam uma concentra\u00e7\u00e3o de carbono-14 aproximadamente igual \u00e0 da atmosfera enquanto est\u00e3o vivos, pois est\u00e3o continuamente trocando carbono com o ambiente. No momento da morte, a fotoss\u00edntese ou consumo de C-14 cessa e a concentra\u00e7\u00e3o por grama come\u00e7a a decair devido \u00e0 radia\u00e7\u00e3o do C-14. Os outros outros is\u00f3topos de carbono permanecem constantes, enquanto o C-14 se desintegra ao longo do tempo. A cada [tex]5\\,730[\/tex] anos, a concentra\u00e7\u00e3o de C-14 sofre uma queda de [tex]50\\%[\/tex]. Dessa forma, quando encontramos um f\u00f3ssil, a medida da concentra\u00e7\u00e3o de carbono-14 por grama informa, aproximadamente, o tempo que passou desde a morte desse ser vivo, isto \u00e9, quanto menor a concentra\u00e7\u00e3o, mais tempo se passou desde a sua morte. Esse m\u00e9todo para datar a idade de f\u00f3sseis \u00e9 conhecido como cronologia do carbono<\/strong>. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n

Problema:<\/strong> Suponha que um determinado animal possui, quando vivo, uma quantidade aproximada de [tex]Q[\/tex] gramas de carbono-14, uma subst\u00e2ncia radioativa, com meia-vida de [tex]5 \\ 730[\/tex] anos. Quando este animal morre, a absor\u00e7\u00e3o dessa subst\u00e2ncia cessa e a quantidade come\u00e7a a diminuir com o passar do tempo. Um f\u00f3ssil desse animal foi encontrado com uma quantidade de [tex]0,3Q[\/tex] gramas dessa subst\u00e2ncia radioativa. Estime, aproximadamente, a idade do f\u00f3ssil. <\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nVamos usar nossa f\u00f3rmula para decaimento radioativo<\/p>\n

[tex]Q(n)=Q(0)\\cdot (0,5)^n=C(0,5)^n[\/tex],<\/p>\n

com [tex]Q(n)=0,3Q[\/tex] e [tex]Q(0)=Q[\/tex]. Assim,
\n[tex]\\qquad\\begin{align}&\\quad0,3 Q=Q\\cdot(0,5)^n\\\\
\n\\Leftrightarrow &\\quad0,3=(0,5)^n.\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

Nesse momento, devemos resolver a equa\u00e7\u00e3o exponencial acima. Vamos resolv\u00ea-la aproximadamente, pois resolv\u00ea-la exatamente envolveria a aplica\u00e7\u00e3o de logaritmos. Observe que [tex]0,5^1=0,5[\/tex] e [tex]0,5^2=0,25[\/tex]. Isso mostra que o n\u00famero de meias-vidas que se passaram desde a morte do animal est\u00e1 entre [tex]1[\/tex] e [tex]2[\/tex]. Observe que <\/p>\n

[tex]0,5^{\\frac{1}{2}}=\\sqrt{\\dfrac{1}{2}}=\\dfrac{\\sqrt2}{2}.[\/tex]<\/p>\n

Assim, [tex]0,5^{1+\\frac{1}{2}}=0,5\\cdot \\dfrac{\\sqrt2}{2}\\approx 0,35[\/tex]. Podemos dizer ent\u00e3o que o animal morreu h\u00e1 “pouco” mais de [tex]1,5[\/tex] meias-vidas ou [tex]8 \\ 595[\/tex] anos. Observe que se quis\u00e9ssemos melhorar a estimativa poder\u00edamos calcular [tex]\\sqrt[4]{0,5}[\/tex], [tex]\\sqrt[8]{0,5}[\/tex], etc.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n

Crescimento de popula\u00e7\u00f5es<\/strong><\/p>\n

Imagine uma popula\u00e7\u00e3o, que pode ser de microorganismos, animais, pessoas ou mesmo as pessoas que est\u00e3o contaminadas por uma doen\u00e7a contagiosa, com uma popula\u00e7\u00e3o inicial de [tex]P(0)[\/tex] indiv\u00edduos, e que est\u00e1 variando a uma taxa relativa de [tex]r[\/tex] por per\u00edodo de tempo. Ou seja, o tamanho da popula\u00e7\u00e3o [tex]P(n+1) [\/tex] ao final do per\u00edodo de tempo [tex]n+1[\/tex] \u00e9 o tamanho da popula\u00e7\u00e3o [tex]P(n)[\/tex] no in\u00edcio do per\u00edodo de tempo [tex]n+1[\/tex] mais uma fra\u00e7\u00e3o [tex]r[\/tex] da popula\u00e7\u00e3o no in\u00edcio do per\u00edodo de tempo [tex]n+1[\/tex]. Assim, <\/p>\n

[tex]P(n+1)=P(n)+rP(n)[\/tex].<\/p>\n

Portanto, a popula\u00e7\u00e3o [tex]P(n)[\/tex] ap\u00f3s [tex]n[\/tex] per\u00edodos de tempo pode ser expressa como fun\u00e7\u00e3o do n\u00famero de per\u00edodos pela fun\u00e7\u00e3o do tipo exponencial,<\/p>\n

[tex]P(n)=P(0)\\cdot (1+r)^n,[\/tex]<\/p>\n

em que [tex]P(0)[\/tex] \u00e9 a popula\u00e7\u00e3o inicial e [tex]n[\/tex] \u00e9 o n\u00famero de per\u00edodos de tempo que se passaram.<\/p>\n

\n

Problema:<\/strong> (UFMG-MG) A popula\u00e7\u00e3o de uma col\u00f4nia da bact\u00e9ria E.coli dobra a cada [tex]20[\/tex] minutos.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Em um experimento, colocou-se inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com [tex]1000[\/tex] bact\u00e9rias por mililitro. No final do experimento, obteve-se um total de [tex]4,096 \\cdot 10^6[\/tex] bact\u00e9rias por mililitro. Calcule o tempo do experimento. <\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nObserve que se trata de um crescimento exponencial de uma popula\u00e7\u00e3o de microorganismos e vamos usar a f\u00f3rmula <\/p>\n

[tex]P(n)=P(0)\\cdot(1+r)^n,[\/tex]<\/p>\n

com [tex]P(0)=1000[\/tex] e [tex]P(n)=4,096 \\cdot 10^6[\/tex]. Observe que ela apresenta um crescimento de [tex]100\\%[\/tex] a cada [tex]20[\/tex] minutos, ou seja, [tex]r=1[\/tex] se considerarmos cada per\u00edodo de tempo com [tex]20[\/tex] minutos. Assim,
\n[tex]\\qquad\\begin{align}& \\quad 4,096 \\cdot 10^6=1000\\cdot 2^n\\\\
\n\\Leftrightarrow &\\quad4,096 \\cdot 10^3=2^n\\\\\\Leftrightarrow &\\quad 4096=2^n\\\\\\Leftrightarrow &\\quad 2^{12}=2^n\\\\\\Leftrightarrow &\\quad n=12.\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

Isso mostra que o tempo do experimento foi de [tex]12[\/tex] per\u00edodos de [tex]20[\/tex] minutos ou [tex]240[\/tex] minutos, isto \u00e9, [tex]4[\/tex] horas.\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

Janeiro de 2025<\/span><\/p>\n

Ir para Sala Inicial<\/strong><\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

A Fun\u00e7\u00e3o Exponencial – Sala 1 Com base no que j\u00e1 estudamos na Sala introdut\u00f3ria, come\u00e7amos esta Sala definindo fun\u00e7\u00f5es exponenciais. Defini\u00e7\u00e3o 7: Uma fun\u00e7\u00e3o [tex]f: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{R}[\/tex], dada por [tex]f(x)=a^x[\/tex] ou [tex]y=a^x[\/tex], com [tex]a\\gt 0[\/tex] real e [tex]a\\neq 1[\/tex], \u00e9 denominada fun\u00e7\u00e3o exponencial. Podemos destacar, abaixo, alguns exemplos de fun\u00e7\u00f5es exponenciais: ► [tex]f(x)=7^x.[\/tex] … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":254,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-224055","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224055","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/254"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=224055"}],"version-history":[{"count":86,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224055\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":224405,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/224055\/revisions\/224405"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=224055"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}