{"id":223720,"date":"2025-02-20T13:55:09","date_gmt":"2025-02-20T16:55:09","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=223720"},"modified":"2025-02-22T14:26:15","modified_gmt":"2025-02-22T17:26:15","slug":"sala-de-estudos-a-funcao-exponencial-sala-introdutoria","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudos-a-funcao-exponencial-sala-introdutoria\/","title":{"rendered":".Sala de Estudos: A Fun\u00e7\u00e3o Exponencial – Sala Introdut\u00f3ria"},"content":{"rendered":"
\n
A Fun\u00e7\u00e3o Exponencial<\/strong>\n<\/div>\n
\n
\n

\n

\nNesta Sala, faremos o estudo de um tipo de fun\u00e7\u00e3o muito importante cujas aplica\u00e7\u00f5es descrevem v\u00e1rios fen\u00f4menos como, por exemplo, crescimento de popula\u00e7\u00f5es, meia-vida de subst\u00e2ncias qu\u00edmicas como rem\u00e9dios e materiais radioativos, comportamento do montante de uma aplica\u00e7\u00e3o financeira a juros compostos, deprecia\u00e7\u00e3o do valor de um bem, entre muitos outros. <\/p>\n\n\n
\n

Se voc\u00eas precisarem dar uma relembrada no conceito de fun\u00e7\u00e3o, deem uma passadinha na Sala de Estudos Fun\u00e7\u00f5es, uma vis\u00e3o geral<\/strong><\/a>.<\/span><\/p>\n

<\/td>\n

\"\"<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Vamos iniciar nossa jornada com um assunto muito importante envolvendo a nossa sa\u00fade. A meia-vida de um medicamento corresponde ao per\u00edodo de tempo necess\u00e1rio para que uma quantidade desse medicamento no organismo de uma pessoa diminua para a metade do valor que havia no in\u00edcio do per\u00edodo. Esse decaimento da quantidade do medicamento deve-se principalmente \u00e0s elimina\u00e7\u00f5es feitas pelo organismo e \u00e0s rea\u00e7\u00f5es qu\u00edmicas do medicamento com outras subst\u00e2ncias. A meia-vida \u00e9 um par\u00e2metro muito importante, por exemplo, para determinar o intervalo entre a ingest\u00e3o de medicamentos, assim como a dosagem dos mesmos, entre outros. Deve-se observar que esse par\u00e2metro apresenta varia\u00e7\u00f5es dependendo das caracter\u00edsticas do indiv\u00edduo. Em geral, ele \u00e9 fornecido para uma pessoa adulta com sa\u00fade regular.<\/p>\n

Com base no que foi exposto sobre meia-vida, determine uma f\u00f3rmula que permita encontrar a quantidade [tex]Q(n)[\/tex] de medicamento presente no organismo de uma pessoa, [tex]n[\/tex] meias-vidas ap\u00f3s a ingest\u00e3o, sabendo-se que tal medicamento tem meia-vida de [tex]80[\/tex] minutos e que a pessoa ingeriu uma c\u00e1psula contendo [tex]800[\/tex] mg. Podemos usar essa f\u00f3rmula para encontrar a quantidade de medicamento presente no organismo [tex]8[\/tex] horas ap\u00f3s a ingest\u00e3o? E [tex]6[\/tex] horas ap\u00f3s a ingest\u00e3o? <\/p><\/div>\n

\n
\n
\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Primeiramente, vamos rever a defini\u00e7\u00e3o de elevar um n\u00famero real a um expoente natural.
\n<\/span><\/p>\n

<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\nDefini\u00e7\u00e3o 1:<\/strong> Dados [tex]a\\in \\mathbb{R}[\/tex] e [tex]m\\in \\mathbb{N}[\/tex], com [tex]m\\geq 1[\/tex], denomina-se pot\u00eancia<\/strong> de base<\/strong> [tex]a[\/tex] e expoente<\/strong> [tex]m[\/tex] o n\u00famero [tex]a^m[\/tex], que corresponde ao produto de [tex]m[\/tex] fatores [tex]a[\/tex]:<\/p>\n

[tex]a^m=\\underbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a}_{m\\text{ vezes}} .[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nExemplos:<\/strong>
\n►<\/span> [tex]5^3=5\\cdot 5 \\cdot 5=125.[\/tex]
\n►<\/span> [tex](-2)^5=(-2) (-2) (-2) (-2) (-2)=-32.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]7^1=7.[\/tex]
\n►<\/span> [tex](1,414)^2=1,414\\cdot 1,414=1,999396.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]1^m=1, \\ \\ \\text{para todo} \\ \\ m\\geq 1.[\/tex]\n <\/div>\n

\n

Voltemos ao nosso problema envolvendo a meia-vida de um medicamento.<\/p>\n

\nInicialmente, observe que no final da [tex]n[\/tex]-\u00e9sima meia-vida o organismo estar\u00e1 com a quantidade [tex]Q(n)[\/tex] de medicamento e, dessa forma, ao final da [tex](n+1)[\/tex]-\u00e9sima meia-vida estar\u00e1 com a quantidade <\/p>\n

[tex] Q(n+1)=Q(n)\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right).[\/tex]<\/p>\n

Isso nos permite encontrar uma f\u00f3rmula para calcular os valores de [tex]Q(n)[\/tex]. No in\u00edcio, tem-se [tex]800[\/tex] mg do medicamento e, ap\u00f3s a primeira meia-vida, tem-se<\/p>\n

[tex] Q(1)=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)[\/tex].<\/p>\n

Ap\u00f3s a segunda meia-vida, tem-se <\/p>\n

[tex]Q(2)=Q(1)\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)=800\\cdot\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2[\/tex].<\/p>\n

Ap\u00f3s a terceira meia-vida, tem-se <\/p>\n

[tex] Q(3)=Q(2)\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^2\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3[\/tex].<\/p>\n

De um modo geral, ap\u00f3s a [tex]n[\/tex]-\u00e9sima meia-vida o organismo estar\u00e1 com a quantidade [tex]Q(n)[\/tex] de medicamento dada pela f\u00f3rmula<\/p>\n

[tex]Q(n)=800\\cdot \\left( \\dfrac{1}{2}\\right)^n[\/tex]. <\/p>\n

Podemos usar essa f\u00f3rmula para calcular alguns valores para [tex]Q(n)[\/tex]:<\/p>\n

[tex]
\n\\begin{array}{c|c|c}
\n\\hline
\n\\text{N\u00famero de meias-vidas} & \\text{Tempo decorrido} & \\text{Quantidade de medicamento no organismo} \\\\
\n\\hline
\n{\\color{green}1} & 1 \\text{h e } 20 \\text{min} & 800\\cdot \\left( \\dfrac{1}{2}\\right)^{\\color{green}1}=400 \\text{ mg} \\\\
\n\\hline
\n{\\color{green}2} & 2 \\text{h e } 40 \\text{min} & 800\\cdot \\left( \\dfrac{1}{2}\\right)^{\\color{green}2}=200 \\text{ mg}\\\\
\n\\hline
\n{\\color{green}3} & 4 \\text{h e } 00 \\text{min} & 800\\cdot \\left( \\dfrac{1}{2}\\right)^{\\color{green}3}=100 \\text{ mg}\\\\
\n\\hline
\n{\\color{green}4} & 5 \\text{h e } 20 \\text{min} & 800\\cdot \\left( \\dfrac{1}{2}\\right)^{\\color{green}4}=50 \\text{ mg}\\\\
\n\\hline
\n{\\color{green}5} & 6 \\text{h e } 40 \\text{min} & 800\\cdot \\left( \\dfrac{1}{2}\\right)^{\\color{green}5}=25\\text{ mg} \\\\
\n\\hline
\n{\\color{green}6} & 8 \\text{h e } 00 \\text{min} & 800\\cdot \\left( \\dfrac{1}{2}\\right)^{\\color{green}6}=12,5 \\text{ mg}\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}
\n[\/tex]<\/p>\n

Veja que j\u00e1 podemos responder que, ap\u00f3s [tex]8[\/tex] horas, existir\u00e1 [tex]Q(6)=12,5[\/tex] mg de medicamento restante no organismo. Entretanto, quando tentamos responder qual \u00e9 a quantidade de medicamento ap\u00f3s [tex]6[\/tex] horas, nos deparamos com dificuldades. Veja que [tex]6[\/tex] horas correspondem a [tex]4,5[\/tex] meias-vidas do medicamento e devemos calcular [tex]Q(4,5).[\/tex] Mas isso pode ser complicado, uma vez que esse n\u00famero n\u00e3o \u00e9 um m\u00faltiplo da meia-vida. <\/p>\n

Como resolver esse problema e outros de natureza semelhante? Vejamos:<\/p>\n

►<\/span> Primeiramente, \u00e9 bem intuitivo aceitar que, para cada quantidade n\u00e3o negativa [tex]x[\/tex] de meias-vidas (mesmo que n\u00e3o seja inteira), existe um n\u00famero [tex]Q(x)[\/tex] que mede a quantidade de medicamento restante no organismo. Em outras palavras, existe a fun\u00e7\u00e3o [tex]Q:\\mathbb{R}_+ \\to \\mathbb{R}_+[\/tex] que associa a cada [tex]x[\/tex] meias-vidas a quantidade de medicamento restante [tex]Q(x)[\/tex]. <\/p>\n

►<\/span> O que fizemos acima verifica que a fun\u00e7\u00e3o [tex]Q:\\mathbb{R}_+ \\to \\mathbb{R}_+[\/tex], no conjunto dos n\u00fameros naturais positivos, \u00e9 definida por <\/p>\n

[tex]Q(x)=800\\cdot \\left( \\dfrac{1}{2}\\right)^x[\/tex]. <\/p>\n

Essa \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o do tipo exponencial. A nomenclatura exponencial<\/strong> se deve ao fato de a vari\u00e1vel [tex]x[\/tex] estar no expoente. <\/p>\n

►<\/span> Precisamos provar que podemos calcular os valores da fun\u00e7\u00e3o [tex]Q:\\mathbb{R}_+ \\to \\mathbb{R}_+[\/tex] para valores de [tex]x[\/tex] n\u00e3o naturais usando a mesma lei exponencial [tex]Q(x)=800\\cdot \\left( \\dfrac{1}{2}\\right)^x[\/tex]. Nesta Sala, n\u00e3o faremos a prova formal, mas mostraremos um argumento que ilustra que esse procedimento \u00e9 correto. Para tal, veja o final da pr\u00f3xima se\u00e7\u00e3o (Exponencia\u00e7\u00e3o)<\/strong>.<\/p><\/div>\n

\n

Esperamos que essa se\u00e7\u00e3o introdut\u00f3ria tenha servido para mostrar a import\u00e2ncia de se fazer um estudo detalhado das fun\u00e7\u00f5es exponenciais. Na pr\u00f3xima se\u00e7\u00e3o, faremos um breve estudo das pot\u00eancias com expoentes n\u00e3o naturais com a finalidade de melhor entender o significado de uma fun\u00e7\u00e3o exponencial. <\/p>\n

\n
\n
\n

Exponencia\u00e7\u00e3o<\/p>\n

De um modo geral, para se estudar e usar as fun\u00e7\u00f5es exponenciais devemos dar significado para express\u00f5es da forma [tex]a^x[\/tex], com [tex]a[\/tex] sendo um n\u00famero real positivo e [tex]x[\/tex] podendo ser qualquer n\u00famero real. Vamos, sucessivamente, dar uma defini\u00e7\u00e3o para express\u00f5es da forma [tex]a^x[\/tex], [tex]a \\in \\mathbb{R}[\/tex] positivo e [tex]x[\/tex] sendo primeiro um n\u00famero racional positivo qualquer, depois um n\u00famero irracional positivo qualquer e, por \u00faltimo, zero ou um n\u00famero negativo qualquer. Para essa tarefa ser\u00e1 necess\u00e1rio apresentar um pouco da teoria dos expoentes. Boa parte dessa teoria poderia ser feita para bases negativas tamb\u00e9m, mas nos concentraremos nas bases positivas, j\u00e1 que a fun\u00e7\u00e3o exponencial sempre tem base positiva.<\/p>\n

A seguir, apresentamos algumas propriedades de pot\u00eancias com expoente natural, cujas demonstra\u00e7\u00f5es seguem essencialmente da Defini\u00e7\u00e3o 1<\/strong> e de algumas propriedades das opera\u00e7\u00f5es com n\u00fameros reais. Vejam:<\/p>\n

\n

Propriedades operat\u00f3rias de pot\u00eancias com expoentes naturais<\/em><\/p>\n

\n

<\/span>Sejam [tex]a\\gt 0[\/tex] e [tex]b\\gt 0[\/tex] n\u00fameros reais e [tex]m \\geq 1[\/tex] e [tex]n\\geq 1[\/tex] n\u00fameros naturais.<\/p>\n

\n

Propriedade 1:<\/strong> [tex]a^m \\cdot a^n=a^{m+n}.[\/tex]<\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nSejam [tex]a\\gt 0[\/tex] um n\u00famero real e [tex]m \\geq 1[\/tex] e [tex]n\\geq 1[\/tex] n\u00fameros naturais. Da Defini\u00e7\u00e3o 1<\/strong>, sabemos que [tex]a^m=\\underbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a}_{m\\text{ vezes}} [\/tex] e que [tex]a^n=\\underbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a}_{n\\text{ vezes}} [\/tex]. Assim,<\/p>\n

[tex]a^m \\cdot a^n=(\\underbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a}_{m\\text{ vezes}})(\\underbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a}_{n\\text{ vezes}})=\\underbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a}_{m+n\\text{ vezes}}=a^{m+n}.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n

Propriedade 2:<\/strong> [tex]\\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}, \\ \\ \\ \\text{quando} \\ \\ \\ m\\gt n[\/tex].<\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nSejam [tex]a\\gt 0[\/tex] um n\u00famero real e [tex]m \\geq 1[\/tex] e [tex]n\\geq 1[\/tex] n\u00fameros naturais, com [tex]m>n[\/tex]. Ent\u00e3o,<\/p>\n

[tex]\\dfrac{a^m}{a^n}=\\dfrac{\\overbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a \\cdot … \\cdot a}^{m\\text{ vezes}}}{\\underbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a}_{n\\text{ vezes}}}=\\dfrac{\\bcancel{a}\\cdot \\bcancel{a} \\cdot …\\cdot \\bcancel{a}\\cdot … \\cdot a}{\\bcancel{a}\\cdot \\bcancel{a} \\cdot … \\cdot \\bcancel{a}}=\\underbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a}_{m-n\\text{ vezes}} =a^{m-n}.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n

Propriedade 3:<\/strong> [tex](a\\cdot b)^m=a^m b^m.[\/tex]<\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nSejam [tex]a\\gt 0[\/tex] e [tex]b\\gt 0[\/tex] n\u00fameros reais e [tex]m \\geq 1[\/tex] um n\u00famero natural. Ent\u00e3o,<\/p>\n

[tex](a\\cdot b)^m=\\underbrace{ (a\\cdot b)\\cdot (a \\cdot b) \\cdot … \\cdot (a\\cdot b)}_{m\\text{ vezes}}=(\\underbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a}_{m\\text{ vezes}})( \\underbrace{ b\\cdot b \\cdot … \\cdot b}_{m\\text{ vezes}})=a^m\\cdot b^m. [\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n

Propriedade 4:<\/strong> [tex]\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^m=\\dfrac{a^m}{b^m}.[\/tex]<\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nSejam [tex]a\\gt 0[\/tex] e [tex]b\\gt 0[\/tex] n\u00fameros reais e [tex]m \\geq 1[\/tex] um n\u00famero natural. Ent\u00e3o,<\/p>\n

[tex]\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^m=\\underbrace{ \\left(\\dfrac{a}{b} \\right)\\cdot \\left(\\dfrac{a}{b} \\right) \\cdot … \\cdot \\left(\\dfrac{a}{b} \\right)}_{m\\text{ vezes}}=\\dfrac{ \\overbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a}^{m\\text{ vezes}}}{ \\underbrace{ b\\cdot b \\cdot … \\cdot b}_{m\\text{ vezes}}}=\\dfrac{a^m}{b^m}.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n

\n

Propriedade 5:<\/strong> [tex](a^n)^m=a^{n\\cdot m}.[\/tex]<\/p>\n\n\n
\n
\n <\/p>\n
\n
\nSejam [tex]a\\gt 0[\/tex] um n\u00famero real e [tex]m \\geq 1[\/tex] e [tex]n\\geq 1[\/tex] n\u00fameros naturais. Ent\u00e3o,<\/p>\n

[tex](a^n)^m=\\underbrace{ a^n\\cdot a^n \\cdot … \\cdot a^n}_{m\\text{ vezes}}=\\underbrace{ \\left(\\overbrace{ a \\cdot a \\cdot … \\cdot a}^{n\\text{ vezes}}\\right) \\cdot \\left(\\overbrace{ a \\cdot a \\cdot … \\cdot a}^{n\\text{ vezes}}\\right) \\cdot … \\cdot \\left(\\overbrace{ a \\cdot a \\cdot … \\cdot a}^{n\\text{ vezes}}\\right)}_{m\\text{ vezes}}=\\underbrace{ a\\cdot a \\cdot … \\cdot a}_{n \\cdot m\\text{ vezes}}=a^{n\\cdot m}.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

\n<\/div>\n

\n

Agora vamos dar sentido para express\u00f5es da forma [tex]a^r,[\/tex] com [tex]a\\gt 0[\/tex] real e [tex]r\\gt 0[\/tex] um n\u00famero racional. <\/p>\n

Existem v\u00e1rias raz\u00f5es que justificam a defini\u00e7\u00e3o que vamos apresentar para pot\u00eancias com expoentes racionais. Uma destas raz\u00f5es \u00e9 t\u00e9cnica: queremos que todas as propriedades operat\u00f3rias (1)<\/strong> a (5)<\/strong>, provadas para pot\u00eancias com expoentes naturais, continuem v\u00e1lidas para expoentes racionais. Isso tornar\u00e1 o uso das fun\u00e7\u00f5es exponenciais pr\u00e1tico. Mas a principal destas raz\u00f5es \u00e9 que os fen\u00f4menos do mundo que podem ser modelados por fun\u00e7\u00f5es envolvendo pot\u00eancias que fazem sentido para expoentes naturais parecem se comportar de forma a manter as propriedades operat\u00f3rias para expoentes racionais. Teremos oportunidade de julgar essa \u00faltima afirma\u00e7\u00e3o na se\u00e7\u00e3o envolvendo aplica\u00e7\u00f5es da fun\u00e7\u00e3o exponencial. Agora, vamos procurar definir pot\u00eancias com expoentes n\u00e3o naturais de forma a manter todas as propriedades operat\u00f3rias. <\/p>\n

Antes de continuarmos, \u00e9 importante relembrarmos a defini\u00e7\u00e3o de raiz [tex]n[\/tex]-\u00e9sima aritm\u00e9tica de um n\u00famero real positivo [tex]a[\/tex]. <\/p>\n

\nDefini\u00e7\u00e3o 2:<\/strong> Dados um n\u00famero real positivo [tex]a[\/tex] e um n\u00famero natural [tex]n[\/tex], [tex]n\\geq 1[\/tex], chama-se raiz [tex] n[\/tex]-\u00e9sima aritm\u00e9tica de [tex]a[\/tex]<\/strong> o n\u00famero real positivo [tex]b[\/tex] tal que [tex]b^n=a[\/tex]. Essa raiz [tex] n[\/tex]-\u00e9sima de [tex]a[\/tex] \u00e9 denotada, usando o s\u00edmbolo radical<\/strong>, por [tex]\\sqrt[n]{a}[\/tex]. Nessa nota\u00e7\u00e3o, [tex]a[\/tex] \u00e9 chamado radicando<\/strong> e, [tex]n[\/tex], \u00edndice<\/strong>. Assim, no conjunto dos n\u00fameros reais positivos, <\/p>\n

[tex]\\sqrt[n]a=b \\ \\Leftrightarrow \\ b^n=a.[\/tex]<\/p>\n

\n<\/div>\n

\n

O valor da pot\u00eancia [tex]a^r[\/tex], com [tex]r[\/tex] denotando o n\u00famero racional positivo [tex]\\dfrac{p}{q}[\/tex], [tex]p[\/tex] e [tex]q[\/tex] n\u00fameros naturais, pode ser sugerido por meio da propriedade (5)<\/strong>. Vejam que, para essa propriedade continuar v\u00e1lida para os expoentes racionais, deve ocorrer<\/p>\n

[tex] \\left(a^{\\frac{p}{q}} \\right)^q=a^{\\frac{p}{q}\\cdot q}=a^p.[\/tex] <\/p>\n

Assim, [tex]a^{\\frac{p}{q}}[\/tex] deve ser a raiz [tex]q[\/tex]-\u00e9sima aritm\u00e9tica de [tex]a^p[\/tex]:<\/p>\n

\nDefini\u00e7\u00e3o 3:<\/strong> Dados [tex]a\\gt 0[\/tex] um n\u00famero real e [tex]r=\\dfrac{p}{q}[\/tex] um n\u00famero racional positivo, definimos <\/p>\n

[tex]a^{\\frac{p}{q}}=\\sqrt[q]{a^p}.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n

\n

\nExemplos:<\/strong>
\n►<\/span> [tex]2^{\\frac{3}{2}}=\\sqrt{2^3}=\\sqrt{8}.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]27^{\\frac{1}{3}}=\\sqrt[3]{27}=3.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]1^{\\frac{p}{q}}=\\sqrt[q]{1^p}=\\sqrt[q]{1}=1, \\ \\ \\text{para todo racional positivo} \\ \\ \\frac{p}{q}.[\/tex] <\/div>\n

\n

Passamos agora a investigar como vamos definir pot\u00eancias com expoentes irracionais positivos. Lembremos que os n\u00fameros irracionais s\u00e3o os n\u00e3o racionais, ou seja, aqueles que n\u00e3o podem ser expressos como uma fra\u00e7\u00e3o [tex]\\dfrac{p}{q}[\/tex], com [tex]p[\/tex] e [tex]q\\neq0[\/tex] n\u00fameros inteiros. A representa\u00e7\u00e3o decimal de um n\u00famero irracional \u00e9 infinita e n\u00e3o peri\u00f3dica. Por exemplo, <\/p>\n

[tex]\\sqrt{2}=1,41421356237…,[\/tex]<\/p>\n

continuando sem jamais se tornar uma d\u00edzima peri\u00f3dica. Na pr\u00e1tica, nunca conhecemos perfeitamente um n\u00famero irracional. Entretanto, podemos ter boas aproxima\u00e7\u00f5es para o seu real valor aumentando mais e mais o n\u00famero de casas na sua representa\u00e7\u00e3o decimal. \u00c9 exatamente essa id\u00e9ia de aproxima\u00e7\u00e3o de um n\u00famero irracional por racionais (n\u00fameros com representa\u00e7\u00e3o decimal finita sempre s\u00e3o racionais) que usaremos para definir pot\u00eancias com expoentes irracionais. Consideremos, por exemplo, [tex]3^{\\sqrt{2}}[\/tex]. Qual \u00e9 o seu valor? Observe que os n\u00fameros<\/p>\n

[tex] 1\\lt 1,4 \\lt 1,41 \\lt 1,414 \\lt 1,4142 \\lt 1,41421 \\lt 1,414213 \\lt \\dots \\lt \\sqrt{2} [\/tex]<\/p>\n

s\u00e3o aproxima\u00e7\u00f5es por falta de [tex]\\sqrt{2}[\/tex] e, quanto mais casas decimais incluirmos, mais elas se aproximam do valor [tex]\\sqrt{2}[\/tex]. Observemos agora o que acontece com as pot\u00eancias de base [tex]3[\/tex] com essas aproxima\u00e7\u00f5es como expoentes:<\/p>\n

[tex]
\n\\begin{array}{c|c}
\n\\hline
\n\\text{Aproxima\u00e7\u00f5es para} \\sqrt{2} & 3^\\text{Aproxima\u00e7\u00f5es} \\\\
\n\\hline
\n1 & 3^{1}=3 \\\\
\n\\hline
\n1,4 & 3^{1,4}={\\color{blue}4},6555367… \\\\
\n\\hline
\n1,41 & 3^{1,41}={\\color{blue}4,7}069650… \\\\
\n\\hline
\n1,414 & 3^{1,414}={\\color{blue}4,72}76950… \\\\
\n\\hline
\n1,4142 & 3^{1,4142}={\\color{blue}4,728}7339… \\\\
\n\\hline
\n1,41421 & 3^{1,41421}={\\color{blue}4,728}7858… \\\\
\n\\hline
\n1,414213 & 3^{1,414213}={\\color{blue}4,72880}14…\\\\
\n\\hline
\n\\end{array}
\n[\/tex]<\/p>\n

Veja que, \u00e0 medida que as aproxima\u00e7\u00f5es para [tex]\\sqrt{2}[\/tex] se tornam mais acuradas, as pot\u00eancias v\u00e3o se aproximando de algum n\u00famero que come\u00e7a com [tex]4,72880[\/tex]. De fato, pode ser mostrado que<\/p>\n

[tex] 3^{\\sqrt{2}}=4,7288043878…[\/tex]<\/p>\n

De modo geral, qualquer pot\u00eancia da forma [tex]a^v[\/tex], com [tex]a\\gt 0[\/tex] e [tex]v[\/tex] um n\u00famero irracional positivo, pode ser calculada com o m\u00e9todo ilustrado, com o grau de precis\u00e3o que se desejar. Isso porque um conhecido fato sobre os n\u00fameros irracionais, por exemplo, [tex]v[\/tex], \u00e9 a exist\u00eancia de uma sequ\u00eancia infinita de n\u00fameros racionais, [tex]r_1, r_2, r_3, \\dots[\/tex], que se aproxima mais e mais de [tex]v[\/tex], ou seja, que converge<\/strong> para [tex]v[\/tex]. Existem infinitas maneiras de construirmos essa sequ\u00eancia, mas, considerando as aproxima\u00e7\u00f5es que fizemos para [tex]\\sqrt{2}[\/tex], fica f\u00e1cil obter uma sequ\u00eancia desse tipo para qualquer [tex]v[\/tex] irracional positivo: basta definir [tex]r_n[\/tex] como a aproxima\u00e7\u00e3o de [tex]v[\/tex] com [tex]n[\/tex] casas decimais. Portanto, a pot\u00eancia de expoente [tex]v[\/tex] pode ser assim definida:<\/p>\n

\nDefini\u00e7\u00e3o 4:<\/strong> Dados [tex]a\\gt 0[\/tex] um n\u00famero real e [tex]v[\/tex] um n\u00famero irracional positivo, consideramos suas aproxima\u00e7\u00f5es decimais finitas [tex]r_n[\/tex], com [tex]n[\/tex] casas decimais:<\/p>\n

[tex] r_1 \\lt r_2 \\lt r_3 \\lt \\dots,[\/tex]<\/p>\n

obtendo a sequ\u00eancia<\/p>\n

[tex]a^{r_1} \\lt a^{r_2} \\lt a^{r_3} \\lt \\dots\\quad \\text{(se } a\\gt1), \\qquad \\text{ ou} \\qquad a^{r_1} \\gt a^{r_2} \\gt a^{r_3} \\gt \\dots\\quad \\text{(se } 0\\lt a \\lt1).[\/tex]<\/p>\n

Os termos dessa sequ\u00eancia ir\u00e3o se aproximar mais e mais de [tex]a^v[\/tex], o que pode ser usado para definir o seu valor. Dizemos que [tex]a^v[\/tex] \u00e9 o limite<\/strong> dessa sequ\u00eancia de pot\u00eancias, ou ainda que a sequ\u00eancia converge<\/strong> para [tex]a^v[\/tex]. Uma defini\u00e7\u00e3o matem\u00e1tica mais formal foge do escopo desta Sala.\n<\/div>\n

\n

No quadro acima, a diferen\u00e7a entre os sinais das desigualdades para as pot\u00eancias de [tex]a[\/tex] prov\u00e9m do fato de a fun\u00e7\u00e3o exponencial [tex]f(x)=a^x[\/tex] ser uma fun\u00e7\u00e3o crescente se [tex]a\\gt 1[\/tex] e uma fun\u00e7\u00e3o decrescente se [tex]0\\lt a \\lt1[\/tex], como ser\u00e1 explorado na Sala 1<\/strong><\/span>.<\/p>\n

Por \u00faltimo, vamos calcular pot\u00eancias com expoentes zero ou n\u00fameros negativos. Como estamos admitindo a validade das propriedades operat\u00f3rias, podemos fazer uso de (2)<\/strong> e observar que, para [tex]a\\gt 0[\/tex] real, <\/p>\n

[tex] a^0=a^{1-1}=\\dfrac{a^1}{a^1}=\\dfrac{a}{a}=1.[\/tex]<\/p>\n

Dessa forma, definimos:<\/p>\n

\nDefini\u00e7\u00e3o 5:<\/strong> Para qualquer n\u00famero real [tex]a\\gt 0,[\/tex] temos [tex]a^0=1.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

Para definir pot\u00eancias com expoentes negativos seguiremos os mesmos passos feitos no caso do expoente zero. Para [tex]a\\gt 0[\/tex] real e [tex]r[\/tex] real positivo, a validade de (2)<\/strong> e a defini\u00e7\u00e3o anterior exigem que tenhamos<\/p>\n

[tex] a^{-r}=a^{0-r}=\\dfrac{a^0}{a^r}=\\dfrac{1}{a^r}.[\/tex]<\/p>\n

Assim, para continuar mantendo as propriedades operat\u00f3rias, definimos:<\/p>\n

\nDefini\u00e7\u00e3o 6:<\/strong> Para qualquer n\u00famero real [tex]a\\gt 0[\/tex] e [tex]r[\/tex] real positivo,<\/p>\n

[tex] a^{-r}=\\dfrac{1}{a^r}.[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n

\n

Vejamos alguns exemplos da defini\u00e7\u00e3o acima.<\/p>\n

\nExemplos:<\/strong>
\n►<\/span> [tex]2^{-1}=\\dfrac{1}{2^1}=\\dfrac{1}{2}.[\/tex]
\n►<\/span> [tex]10^{-\\frac{1}{2}}=\\dfrac{1}{10^{\\frac{1}{2}}}=\\dfrac{1}{\\sqrt{10}}.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

Finalizamos aqui nossa exposi\u00e7\u00e3o de alguns elementos da teoria dos expoentes, ressaltando as seguintes propriedades:<\/p>\n

\n

Propriedades operat\u00f3rias de pot\u00eancias com expoentes reais<\/em><\/p>\n

\n

<\/span>Sejam [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros reais positivos e [tex]u[\/tex] e [tex]v[\/tex] n\u00fameros reais quaisquer. Valem as seguintes propriedades:<\/p>\n

\n

Propriedade 1:<\/strong> [tex]a^u \\cdot a^v=a^{u+v}.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n

Propriedade 2:<\/strong> [tex]\\dfrac{a^u}{a^v}=a^{u-v}.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n

Propriedade 3:<\/strong> [tex](a\\cdot b)^u=a^u b^u.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n

Propriedade 4:<\/strong> [tex]\\left(\\dfrac{a}{b}\\right)^u=\\dfrac{a^u}{b^u}.[\/tex]\n<\/div>\n

\n

\n

Propriedade 5:<\/strong> [tex](a^v)^u=a^{v\\cdot u}.[\/tex]\n<\/div>\n<\/div>\n

\n

Voltemos ao nosso problema inicial…<\/em><\/p>\n

Quer\u00edamos calcular a quantidade do medicamento ap\u00f3s [tex]4,5[\/tex] meias-vidas. Apenas recapitulando: se tratava de uma ingest\u00e3o inicial de [tex]800[\/tex] mg de um medicamento com meia-vida igual [tex]80[\/tex] minutos. Sabemos que, para valores naturais positivos, <\/p>\n

[tex] Q(x)=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{x}[\/tex].<\/p>\n

Assumindo que essa fun\u00e7\u00e3o exponencial tamb\u00e9m forne\u00e7a os valores de [tex]Q(x)[\/tex] para quantidades n\u00e3o naturais, podemos ent\u00e3o calcular<\/p>\n

[tex] Q(4,5)=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{4,5}=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{4} \\cdot \\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{\\frac{1}{2}}=800\\cdot \\dfrac{1}{16}\\cdot \\sqrt{\\dfrac{1}{2}}=50\\cdot \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}=25 \\cdot \\sqrt{2}\\approx 35,355.[\/tex]<\/p>\n

Com isso, conclu\u00edmos que, passadas [tex]6[\/tex] horas, restar\u00e3o [tex]35,355[\/tex] mg de medicamento no organismo. <\/p>\n

Passemos agora ao argumento que prometemos na se\u00e7\u00e3o introdut\u00f3ria desta Sala de Estudos. Qu\u00e3o sensato \u00e9 usar a fun\u00e7\u00e3o exponencial para calcular a quantidade de medicamento [tex]Q(x)[\/tex] restante no organismo para valores n\u00e3o naturais de [tex]x[\/tex], ou seja, n\u00e3o m\u00faltiplos da meia-vida? Veremos que isso \u00e9 muito natural. <\/p>\n

Vamos imaginar uma ingest\u00e3o de apenas [tex]1[\/tex] mg do medicamento. Vamos introduzir a fun\u00e7\u00e3o [tex]V:\\mathbb{R}_+\\to \\mathbb{R}_+[\/tex], que mede a quantidade do medicamento restante ap\u00f3s [tex]x[\/tex] meias-vidas para essa ingest\u00e3o inicial de [tex]1[\/tex] mg. Imagine agora a ingest\u00e3o de [tex]K[\/tex] mg do medicamento. Tamb\u00e9m vamos introduzir a fun\u00e7\u00e3o [tex]Q_K:\\mathbb{R}_+\\to \\mathbb{R}_+[\/tex] que mede a quantidade do medicamento restante ap\u00f3s [tex]x[\/tex] meias-vidas para essa ingest\u00e3o de [tex]K[\/tex] mg. Um pouco de reflex\u00e3o convencer\u00e1 de que, para todo n\u00famero [tex]x[\/tex] de meias-vidas, [tex]Q_K(x)=K\\cdot V(x)[\/tex]. Ou seja, se foi ingerida uma quantidade inicial [tex]K[\/tex] vezes maior, ap\u00f3s [tex]x[\/tex] meias-vidas resta uma quantidade que ser\u00e1 [tex]K[\/tex] vezes a quantidade que restaria se fosse ingerido apenas [tex]1[\/tex] mg. Consideramos o indiv\u00edduo que ingeriu [tex]K_1=800[\/tex] mg do medicamento. Ap\u00f3s [tex]4,5[\/tex] meias-vidas, a quantidade de medicamento restante ser\u00e1:<\/p>\n

[tex]Q_{K_1}(4,5)=800\\cdot V(4,5)[\/tex].<\/p>\n

Imagine agora que se comece a contar o tempo do zero de novo. Ent\u00e3o, nessa nova contagem do tempo, ele estar\u00e1 com uma quantidade inicial do medicamento de [tex]K_2=800\\cdot V(4,5)[\/tex]. Ap\u00f3s mais [tex]4,5[\/tex] meias-vidas, a quantidade de medicamento restante ser\u00e1:<\/p>\n

[tex] Q_{K_2}(4,5)=K_2\\cdot V(4,5)[\/tex].<\/p>\n

Observe que, na situa\u00e7\u00e3o considerada, o fato de iniciar a contagem em outro momento n\u00e3o altera em nada os processos biol\u00f3gicos do indiv\u00edduo e, portanto, a quantidade de medicamento restante ap\u00f3s dois per\u00edodos de tempo de [tex]4,5[\/tex] meias-vidas deve ser igual \u00e0 quantidade de medicamento resultante ap\u00f3s um per\u00edodo de tempo de [tex]9[\/tex] meias-vidas, ou seja, <\/p>\n

[tex] K_2\\cdot V(4,5)=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{9}[\/tex].<\/p>\n

Lembrando que [tex]K_2=800\\cdot V(4,5)[\/tex], temos<\/p>\n

[tex] 800\\cdot V(4,5) \\cdot V(4,5)=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{9}[\/tex].<\/p>\n

Dividindo ambos os lados por [tex]800[\/tex], encontramos<\/p>\n

[tex] V(4,5) \\cdot V(4,5)=\\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{9}[\/tex].<\/p>\n

Isso mostra que <\/p>\n

[tex]V(4,5)=\\sqrt{\\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{9}}=\\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{\\frac{9}{2}}[\/tex].<\/p>\n

Lembre-se de que a fun\u00e7\u00e3o [tex]V[\/tex] \u00e9 para uma quantidade inicial de [tex]1[\/tex] mg. Para [tex]800[\/tex] mg, teremos<\/p>\n

[tex]800\\cdot V(4,5)=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{\\frac{9}{2}}=800\\cdot \\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{4} \\cdot \\left(\\dfrac{1}{2} \\right)^{\\frac{1}{2}}=800\\cdot \\dfrac{1}{16}\\cdot \\sqrt{\\dfrac{1}{2}}=50\\cdot \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}=25 \\cdot \\sqrt{2} \\approx 35,355.[\/tex]<\/p>\n

\u00c9 importante destacar que, dessa vez, o c\u00e1lculo foi efetuado sem o uso da fun\u00e7\u00e3o exponencial para expoentes n\u00e3o naturais. A coincid\u00eancia dos resultados serve como um forte argumento a favor da ideia de estender as fun\u00e7\u00f5es exponenciais com expoentes naturais para expoentes reais, a fim de modelar fen\u00f4menos de maneira mais abrangente.<\/p>\n

\n
\n
\n
\nAgora que voc\u00ea j\u00e1 entendeu a import\u00e2ncia do tema e conhece as propriedades b\u00e1sicas, sugerimos o estudo das Salas espec\u00edficas que poder\u00e3o ser acessadas clicando-se em um dos bot\u00f5es abaixo:<\/p>\n\n\n
\n Sala 1<\/strong><\/span><\/a><\/td>\n\n Sala 2<\/strong><\/span><\/a><\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

➤<\/span> Na Sala 1<\/strong><\/span>, fazemos um estudo mais aprofundado de fun\u00e7\u00f5es exponenciais;
\n➤<\/span> Na Sala 2<\/strong><\/span>, apresentamos alguns exerc\u00edcios resolvidos, onde voc\u00ea pode estar colocando em pr\u00e1tica o que foi estudado nesta Sala de Estudos.<\/p>\n

Embora as Salas sejam independentes, para melhor aproveitamento do material, sugerimos fortemente que o caminho escolhido para seus estudos seja <\/p>\n

Sala 1<\/strong> ⇨<\/strong> <\/span>Sala 2<\/strong>.<\/p>\n

No canto inferior direito de cada uma das duas Salas, voc\u00ea encontrar\u00e1 um link para voltar para esta Sala e, se for necess\u00e1rio, fazer uma nova escolha. De todo modo, <\/p>\n

Bons Estudos!<\/strong><\/p>\n<\/div>\n

\n

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\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

Janeiro de 2025<\/span><\/p>\n

\n

\nRefer\u00eancias:<\/strong>
\n[1]<\/strong> IEZZI, Gelson. et al. Matem\u00e1tica: ensino m\u00e9dio<\/strong>. 6 ed. S\u00e3o Paulo: Atual, 2015.
\n[2]<\/strong> SOUZA, J. Roberto de; GARCIA, Jacqueline da S. Ribeiro. Contato matem\u00e1tica: 1\u00b0 ano<\/strong>. 1 ed. S\u00e3o Paulo: FTD, 2016.
\n[3]<\/strong> IEZZI, Gelson. et al. Matem\u00e1tica: ci\u00eancia e aplica\u00e7\u00f5es, 1<\/strong>. 8 ed. S\u00e3o Paulo: Atual, 2014.
\n[4]<\/strong> GIOVANNI, J. Ruy; BONJORNO, Jos\u00e9 Roberto. Matem\u00e1tica: uma nova abordagem, 1<\/strong>. 2 ed. S\u00e3o Paulo: FTD, 2010.
\n[5]<\/strong> https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Carbono-14. Acesso em 22 de fev. 2025.
\n[6]<\/strong> https:\/\/pt.wikipedia.org\/wiki\/Radioatividade. Acesso em 22 de fev. 2025.\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

A Fun\u00e7\u00e3o Exponencial Nesta Sala, faremos o estudo de um tipo de fun\u00e7\u00e3o muito importante cujas aplica\u00e7\u00f5es descrevem v\u00e1rios fen\u00f4menos como, por exemplo, crescimento de popula\u00e7\u00f5es, meia-vida de subst\u00e2ncias qu\u00edmicas como rem\u00e9dios e materiais radioativos, comportamento do montante de uma aplica\u00e7\u00e3o financeira a juros compostos, deprecia\u00e7\u00e3o do valor de um bem, entre muitos outros. Se … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":254,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-223720","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/223720","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/254"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=223720"}],"version-history":[{"count":249,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/223720\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":224403,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/223720\/revisions\/224403"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=223720"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}