{"id":223123,"date":"2025-03-12T10:57:45","date_gmt":"2025-03-12T13:57:45","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=223123"},"modified":"2025-03-12T10:57:45","modified_gmt":"2025-03-12T13:57:45","slug":"problemao-valor-do-desconto","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-valor-do-desconto\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Valor do desconto"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 3\u00aa ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nO valor presente [tex]V_{p}[\/tex] de uma parcela de um financiamento a ser paga daqui a [tex]t[\/tex] meses \u00e9 dada pela f\u00f3rmula a seguir, em que [tex]i[\/tex] \u00e9 o percentual mensal de juros [tex](0\\leq i \\leq 100)[\/tex] e [tex]p[\/tex] \u00e9 o valor da parcela:<\/p>\n

[tex]V_{p}= \\dfrac {p} {\\left(1+\\dfrac{i}{100}\\right)^{t}}.[\/tex]<\/center><\/p>\n

Imagine que uma mercadoria, de pre\u00e7o [tex]2p[\/tex], seja vendida em duas parcelas iguais a [tex]p[\/tex], sem entrada, com o primeiro pagamento em [tex]30[\/tex] dias (ou seja, [tex]1[\/tex] m\u00eas), e o segundo em [tex]60[\/tex] dias (ou seja, [tex]2[\/tex] meses). <\/p>\n

Supondo que a taxa mensal de juros \u00e9 igual a [tex]1\\%[\/tex], determine o valor presente da mercadoria e o percentual m\u00ednimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso, para o cliente, comprar \u00e0 vista.<\/p>\n

Extra\u00eddo de Unicamp<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nA primeira parcela (paga [tex]1[\/tex] m\u00eas ap\u00f3s a compra) pode ser calculada por:
\n[tex]\\qquad \\dfrac {p} {\\left(1+\\dfrac{1}{100}\\right)^{1}}[\/tex].<\/p>\n

J\u00e1 a segunda parcela (paga [tex]2[\/tex] meses ap\u00f3s a compra) pode ser calculada por:
\n[tex]\\qquad\\dfrac {p} {\\left(1+\\dfrac{1}{100}\\right)^{2}}[\/tex].<\/p>\n

Portanto, o valor presente da mercadoria na \u00e9poca da compra \u00e9 <\/p>\n

[tex]\\qquad V_{p}= \\dfrac {p}{1,01} + \\dfrac {p}{1,01^{2}} \\cong p \\cdot 0,99 + p \\cdot 0,98 \\cong1,97p[\/tex].<\/p>\n

Assim, o percentual m\u00ednimo de desconto que a loja deve dar para que seja vantajoso para o cliente comprar \u00e0 vista \u00e9, aproximadamente,<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{2p-1,97p}{2p}=0,015=1,5\\%[\/tex].<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nNeste problema, utilizaremos a f\u00f3rmula dada para trazer as duas parcelas para o valor presente. Sendo assim, denotaremos por [tex]V_1[\/tex] o valor presente da primeira parcela e [tex]V_2[\/tex] o valor presente da segunda parcela, respectivamente. Da\u00ed, [tex]V_1+V_2[\/tex] seria justamente o valor do objeto no momento presente, que calcular\u00edamos da seguinte forma (lembrando que a taxa mensal de juros \u00e9 [tex]1\\%[\/tex]):<\/p>\n

[tex]\\qquad V_1 + V_2 = \\dfrac{p}{\\left(1+\\dfrac{1}{100}\\right)}+\\dfrac{p}{\\left(1+\\dfrac{1}{100}\\right)^2} = \\dfrac{p}{1,01} + \\dfrac{p}{1,01^2} = \\dfrac{1,01p + p}{1,01^2} \\approx 1,9704p.[\/tex]<\/p>\n

Logo, o valor presente dessa mercadoria seria [tex]1,9704p[\/tex]. Fazendo, ent\u00e3o, a varia\u00e7\u00e3o percentual, ter\u00edamos que <\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{1,9704p}{2p} = 0,9852 = 98,52\\%.[\/tex]<\/p>\n

Assim sendo, fazemos [tex]100\\% – 98,52\\% =1,48\\%[\/tex]. Portanto, o desconto m\u00ednimo para que seja vantajoso para o cliente seria qualquer desconto [tex]i[\/tex] tal que [tex]i>1,48\\%[\/tex].<\/p>\n

Para uma compreens\u00e3o plena desse problema, seria suger\u00edvel estud\u00e1-lo utilizando n\u00fameros, como por exemplo, o valor total sendo [tex]R\\$\\;2\\;000,00[\/tex] e as parcelas valendo [tex]R\\$\\;1\\;000,00[\/tex] cada.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Phidias<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Phidias<\/strong> ; Pot\u00eancias de Euler<\/strong>.<\/div>\n

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Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-223123","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/223123","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=223123"}],"version-history":[{"count":11,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/223123\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":224819,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/223123\/revisions\/224819"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=223123"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}