{"id":223114,"date":"2025-03-12T10:52:02","date_gmt":"2025-03-12T13:52:02","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=223114"},"modified":"2025-03-12T10:52:02","modified_gmt":"2025-03-12T13:52:02","slug":"problemao-pagamento-dos-funcionarios","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-pagamento-dos-funcionarios\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Pagamento dos funcion\u00e1rios"},"content":{"rendered":"
\n

Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00aa ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nSandro \u00e9 o dono de uma empresa de seguran\u00e7a que tem como empregados Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo. Sandro deve realizar pagamento aos seus empregados totalizando um valor de vinte mil reais. Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo recebem pagamentos com valor m\u00ednimo de dois mil, dois mil, tr\u00eas mil e quatro mil reais, respectivamente. <\/p>\n

Considerando que cada pagamento realizado aos empregados \u00e9 m\u00faltiplo de um mil reais, calcule a quantidade de maneiras distintas que a distribui\u00e7\u00e3o do pagamento de vinte mil reais aos funcion\u00e1rios pode ser realizada. <\/p>\n

Extra\u00eddo de Escola Naval<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nSendo de [tex]X[\/tex] a quantia recebida por Alberto, [tex]Y[\/tex] a quantia recebida por Thiago, [tex]Z[\/tex] a quantia recebida por Robson e [tex]W[\/tex] a quantia recebida por Rodrigo, como s\u00e3o todas m\u00faltiplas de um mil reais, podemos montar a seguinte equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

[tex]\\qquad X+Y+Z+W=20[\/tex].<\/p>\n

Estamos, portanto, tentando descobrir as solu\u00e7\u00f5es inteiras positivas dessa equa\u00e7\u00e3o. <\/p>\n

Entretanto, as inc\u00f3gnitas possuem restri\u00e7\u00f5es impostas no enunciado.
\nAssim, devemos ter:
\n[tex]\\qquad X = x +2; \\quad Y = y + 2; \\quad Z = z + 3[\/tex] e [tex]W = w + 4. [\/tex]
\nLogo, a nossa equa\u00e7\u00e3o fica:
\n[tex]\\qquad x+2+y+2+z+3+w+4=20[\/tex].
\n[tex]\\qquad x+y+z+w=9[\/tex].<\/p>\n

Para relembrar como encontrar solu\u00e7\u00f5es inteiras n\u00e3o negativas de uma equa\u00e7\u00e3o, visite esta p\u00e1gina.<\/a><\/p>\n

Assim, o n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es inteiras positivas dessa equa\u00e7\u00e3o pode ser calculado por: <\/p>\n

[tex]\\qquad P_{12}^{9,3}=\\dfrac {12!}{9! \\cdot 3!}=220. [\/tex]<\/p>\n

Portanto, h\u00e1 [tex]220[\/tex] maneiras distintas da distribui\u00e7\u00e3o do pagamento.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

\nPara responder esse problema, primeiro vamos denotar os pagamentos a cada empregado:<\/p>\n

– Alb \u00e9 o pagamento feito a Alberto.
\n– Thi \u00e9 o pagamento feito a Thiago.
\n– Rob \u00e9 o pagamento feito a Robson.
\n– Rod \u00e9 o pagamento feito a Rodrigo.<\/p>\n

As condi\u00e7\u00f5es dadas s\u00e3o:<\/p>\n

Alb + Thi + Rob + Rod = 20000.<\/p>\n

Com os valores m\u00ednimos constados:<\/p>\n

Alb = 2000,
\nThi = 2000,
\nRob = 3000,
\nRod = 4000. <\/p>\n

Para simplificar, podemos fazer uma mudan\u00e7a de vari\u00e1vel:<\/p>\n

Alb – 2000, Thi – 2000, Rob – 3000, Rod – 4000.<\/p>\n

Substituindo na equa\u00e7\u00e3o original, temos:<\/p>\n

Alb + 2000 + Thi + 2000 + Rob + 3000 + Rod + 4000 = 20000. <\/p>\n

Simplificando:<\/p>\n

Alb + Thi + Rob + Rod + 11000 = 20000.
\nAlb + Thi + Rob + Rod = 9000.<\/p>\n

Precisamos encontrar o n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es inteiras n\u00e3o negativas para a equa\u00e7\u00e3o (Alb + Thi + Rob + Rod = 9000), onde cada vari\u00e1vel Alb, Thi, Rob, Rod \u00e9 um m\u00faltiplo de 1000.<\/p>\n

Para resolver vamos fazer uma nova mudan\u00e7a de vari\u00e1vel:<\/p>\n

[tex]
\n\\qquad Alb” = \\frac{Alb’}{1000}, \\quad Thi” = \\frac{Thi’}{1000}, \\quad Rob” = \\frac{Rob’}{1000}, \\quad Rod” = \\frac{Rod’}{1000}.[\/tex]<\/p>\n

Ficamos com a equa\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

[tex]
\n\\qquad Alb” + Thi” + Rob” + Rod” = 9.[\/tex]<\/p>\n

Estamos procurando o n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es inteiras n\u00e3o negativas. Isso \u00e9 dado pela f\u00f3rmula combinat\u00f3ria conhecida como “f\u00f3rmula das combina\u00e7\u00f5es com repeti\u00e7\u00e3o”:<\/p>\n

[tex]
\n\\qquad \\text{N\u00famero de solu\u00e7\u00f5es} = \\binom{n + k – 1}{k – 1}.[\/tex]<\/p>\n

Ent\u00e3o o n\u00famero de solu\u00e7\u00f5es \u00e9:<\/p>\n

[tex]
\n\\qquad \\binom{9 + 4 – 1}{4 – 1} = \\binom{12}{3}.[\/tex]<\/p>\n

Calculando [tex]\\binom{12}{3}[\/tex]:<\/p>\n

[tex]
\n\\qquad \\binom{12}{3} = \\frac{12 \\times 11 \\times 10}{3 \\times 2 \\times 1} = \\frac{1320}{6} = 220.[\/tex]<\/p>\n

Conclu\u00edmos que existem 220 maneiras distintas de distribuir os 20 mil reais entre os quatro empregados, seguindo as restri\u00e7\u00f5es no enunciado.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Os Matem\u00e1gicos<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o 3<\/p>\n

\nPara resolver o problema de distribui\u00e7\u00e3o do pagamento entre os empregados, vamos representar as quantias recebidas por cada um deles com [tex]A, T, Rn[\/tex] e [tex]Ro[\/tex] para Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo, respectivamente. Precisamos garantir que a soma dos pagamentos seja de [tex]20[\/tex] mil reais e que cada um receba pelo menos o valor m\u00ednimo garantido. Mostrando isso em uma equa\u00e7\u00e3o, fica assim:<\/p>\n

[tex]\\qquad (2000 + A) + (2000 + T) + (3000 + Rn) + (4000 + Ro) = 20000.[\/tex]<\/p>\n

Simplificando, temos: <\/p>\n

[tex]\\qquad 11000 + A + T + Rn + Ro = 20000.[\/tex]<\/p>\n

Subtraindo [tex]11000[\/tex] de ambos os lados da igualdade, fica:<\/p>\n

[tex]\\qquad A + T + Rn + Ro = 9000.[\/tex]<\/p>\n

Precisamos calcular quantas maneiras distintas existem para distribuir os [tex]9000[\/tex] reais entre as quatro vari\u00e1veis, considerando que cada vari\u00e1vel representa quantias em m\u00faltiplos de mil reais. Para resolver esse problema, vamos usar a f\u00f3rmula de combina\u00e7\u00e3o completa. E para melhorar o c\u00e1lculo, usaremos [tex]9[\/tex] no lugar de [tex]9000[\/tex], j\u00e1 que a quantia tem que ser m\u00faltipla de mil reais. Pela formula de combina\u00e7\u00e3o completa (ou combina\u00e7\u00e3o com repeti\u00e7\u00e3o), obtemos:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\dfrac{12!}{3!\\cdot9!} = 220.[\/tex]<\/p>\n

Portanto, h\u00e1 [tex]220[\/tex] maneiras distintas de distribuir os [tex]20[\/tex] mil reais entre os quatro empregados, respeitando os valores m\u00ednimos de pagamento para cada um.<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Phidias<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

 <\/p>\n

\nParticiparam da discuss\u00e3o os Clubes: Os Matem\u00e1gicos<\/strong> ; Phidias<\/strong>.<\/div>\n

\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 2\u00aa ano do E. M.) Sandro \u00e9 o dono de uma empresa de seguran\u00e7a que tem como empregados Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo. Sandro deve realizar pagamento aos seus empregados totalizando um valor de vinte mil reais. Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo recebem pagamentos com valor m\u00ednimo de dois mil, … <\/p>\n

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