Problema No dia [tex]28[\/tex] de junho, o Col\u00e9gio Militar de Fortaleza promoveu o \u201cDia do Al\u00edvio\u201d, uma atividade que contou com apresenta\u00e7\u00f5es art\u00edsticas dos alunos do col\u00e9gio, que teve como objetivo proporcionar um momento de integra\u00e7\u00e3o, descontra\u00e7\u00e3o e fortalecimento de v\u00ednculos fraternos entre os alunos. Essa atividade foi realizada em um palco, em forma de prisma, que pode ser planificado conforme representado a seguir.<\/p>\n Por curiosidade, um aluno do 6\u00ba ano resolveu contar o n\u00famero de faces [tex](F)[\/tex], o n\u00famero de arestas [tex](A)[\/tex] e o n\u00famero de v\u00e9rtices [tex](V)[\/tex] desse prisma, e posteriormente, calculou a express\u00e3o [tex](V\\times F)\\div A[\/tex]. Qual o valor obtido?<\/p>\n Adaptado de Col\u00e9gio Militar de Fortaleza \u2013 Sexto Ano EF<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n Observe a figura obtida a partir da planifica\u00e7\u00e3o.<\/p>\n N\u00famero de faces [tex]F=12[\/tex]; Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog.<\/strong><\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n Lembrete para as pr\u00f3ximas solu\u00e7\u00f5es<\/p>\n \n Rela\u00e7\u00e3o de Euler:<\/strong> Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n Um prisma pode ser entendido como um poliedro formado pela uni\u00e3o dos v\u00e9rtices correspondentes de dois pol\u00edgonos convexos congruentes (bases) por meio de arestas. Os pol\u00edgonos devem estar em planos paralelos, mas isso n\u00e3o altera a quantidade de v\u00e9rtices, arestas ou faces.<\/p>\n Por essa interpreta\u00e7\u00e3o, podemos inferir o seguinte:<\/p>\n 1. O n\u00famero de faces de um prisma \u00e9 [tex]L+2[\/tex], sendo [tex]L[\/tex] a quantidade de lados do pol\u00edgono da base.<\/p>\n 2. O n\u00famero de v\u00e9rtices de um prisma \u00e9 [tex]2V\u2019[\/tex] sendo [tex]V\u2019[\/tex] a quantidade de v\u00e9rtices do pol\u00edgono da base. Como, em um pol\u00edgono convexo, o n\u00famero de v\u00e9rtices \u00e9 igual ao n\u00famero de lados, podemos expressar a quantidade de v\u00e9rtices do prisma como [tex]2L[\/tex].<\/p>\n Pela Rela\u00e7\u00e3o de Euler para os Poliedros convexos, tem-se que [tex]F + V = A + 2\\therefore A = F + V \u2013 2 = 3L[\/tex].<\/p>\n Realizando a opera\u00e7\u00e3o [tex](V\\times F)\\div A[\/tex], temos:<\/p>\n [tex]\\qquad(V\\times F)\\div A = ((L+2)\\times2L)\\div3L = 2(L+2)\\div3[\/tex].<\/p>\n No caso do problema, o pol\u00edgono da base \u00e9 um dec\u00e1gono. Logo, obtemos:<\/p>\n [tex]\\qquad \\dfrac{2\\cdot (10+2)}{3} = 8.[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Koreil Guys. <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o 3<\/p>\n Formando o prisma a partir da planifica\u00e7\u00e3o, notamos que cada quadrado compartilhar\u00e1 uma aresta com cada dec\u00e1gono.<\/p>\n Portanto, como cada dec\u00e1gono tem [tex]10[\/tex] arestas e temos [tex]2[\/tex] dec\u00e1gonos, totalizamos, por enquanto, [tex]2 \\cdot 10 = 20[\/tex] arestas.<\/p>\n Al\u00e9m disso, os quadrados compartilhar\u00e3o uma aresta com cada um dos seus quadrados adjacentes. Inicialmente, nesse caso, t\u00ednhamos [tex]2[\/tex] arestas de cada [tex]10[\/tex] quadrados, por\u00e9m, como cada quadrado compartilhar\u00e1 uma aresta com cada quadrado adjacente, temos [tex]2 \\cdot 10 – 10 = 10.[\/tex]<\/p>\n Dado isso, obtemos que o total de arestas \u00e9 [tex]A = 20 + 10 = 30.[\/tex]<\/p>\n Pela rela\u00e7\u00e3o de Euler, temos que [tex]F+V-A=2[\/tex]; dessa forma, temos:<\/p>\n [tex]\\qquad 12+V-30=2 \\implies Finalmente, obtemos: [tex](20\\cdot 12) \\div 30=8.[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Phidias. <\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o 4<\/p>\n Para resolver a quest\u00e3o de forma mais r\u00e1pida e objetiva, contamos a quantidade de v\u00e9rtices, sendo [tex]10[\/tex] na base, por ser um dec\u00e1gono, e [tex]10[\/tex] na face superior, sendo assim temos [tex]20[\/tex] v\u00e9rtices no total. Para fazer a contagem das faces, contamos uma superior, uma inferior e [tex]10[\/tex] nas laterais, totalizando [tex]12[\/tex]. Agora, conseguimos descobrir a quantidade de arestas por meio da rela\u00e7\u00e3o de Euler para poliedros convexos:<\/p>\n [tex]\\qquad V-A+F=2 \\Rightarrow 20-A+12=2 \\Rightarrow A=30.[\/tex]<\/p>\n Ou seja, [tex]12[\/tex] faces, [tex]30[\/tex] arestas e [tex]20[\/tex] v\u00e9rtices. Agora, para descobrir o valor que o aluno achou, basta seguir as opera\u00e7\u00f5es que ele realizou:<\/p>\n [tex]\\qquad \\dfrac{20 \\cdot 12}{30}=\\dfrac{2 \\cdot 12}{3} = \\dfrac{24}{3} = 8.[\/tex]<\/p>\n Assim, conclu\u00edmos que o valor obtido pelo aluno foi [tex]8[\/tex].<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Pot\u00eancias de Euler. <\/p>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. F.) No dia [tex]28[\/tex] de junho, o Col\u00e9gio Militar de Fortaleza promoveu o \u201cDia do Al\u00edvio\u201d, uma atividade que contou com apresenta\u00e7\u00f5es art\u00edsticas dos alunos do col\u00e9gio, que teve como objetivo proporcionar um momento de integra\u00e7\u00e3o, descontra\u00e7\u00e3o e fortalecimento de v\u00ednculos fraternos entre os alunos. Essa … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 6\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
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\nN\u00famero de arestas [tex]A=30[\/tex];
\nN\u00famero de v\u00e9rtices [tex]V=20[\/tex];
\nDessa forma, temos: [tex](V\\times F)\\div A=(20\\times 12)\\div 30=8.[\/tex]<\/p>\n
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\nSeja [tex]V[\/tex] o n\u00famero de v\u00e9rtices, [tex]F[\/tex] o n\u00famero de faces e [tex]A[\/tex] o n\u00famero de arestas de um poliedro convexo. Ent\u00e3o: [tex]V+F=A+2[\/tex].\n<\/div>\n
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\nV=32-12=20. [\/tex]<\/p>\n
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