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Problema Extra\u00eddo de OMU<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Considerando [tex]x\\neq-5[\/tex], podemos dividir ambos os lados por [tex]x+5[\/tex], obtendo [tex]\\dfrac{8x^3-x-13}{x+5}=y.[\/tex]<\/p>\n Como [tex]y[\/tex] \u00e9 inteiro, o lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o deve ser inteiro. Realizando a divis\u00e3o de polin\u00f4mios, temos:<\/p>\n [tex]\\dfrac{(8x^2-40x+199)(x+5)-1008}{x+5}=8x^2-40x+199-\\dfrac{1008}{x+5}=y[\/tex]<\/p>\n Logo [tex]\\dfrac{1008}{x+5}=y-8x^2+40x-199.[\/tex]<\/p>\n Como o lado direito da igualdade \u00e9 inteiro, o lado esquerdo tamb\u00e9m deve ser.<\/p>\n Para que [tex]\\dfrac{1008}{x+5}[\/tex] seja inteiro, ent\u00e3o [tex]x+5[\/tex] deve ser divisor de [tex]1008=2^4\\cdot3^2\\cdot7[\/tex].<\/p>\n Esse n\u00famero possui [tex]5\\cdot3\\cdot2=30[\/tex] divisores naturais. Contando os divisores negativos, h\u00e1 [tex]60[\/tex] divisores inteiros. Como cada um deles est\u00e1 associado a [tex]x[\/tex] de modo linear ([tex]x+5[\/tex] = divisor de [tex]1008[\/tex]), ent\u00e3o cada divisor de [tex]1008[\/tex] gera um [tex]x[\/tex] distinto. Assim, nesse caso h\u00e1 [tex]60[\/tex] solu\u00e7\u00f5es de pares inteiros [tex](x, y)[\/tex].<\/p>\n Considerando agora o segundo caso, no qual [tex]x=-5[\/tex], temos<\/p>\n [tex]8\\cdot(-5)^3-5y+5+5y-13=0\\therefore-1008=0[\/tex], um absurdo.<\/p>\n Logo, as \u00fanicas solu\u00e7\u00f5es inteiras para o problema s\u00e3o as do primeiro caso. Desse modo, h\u00e1 [tex]60[\/tex] pares [tex](x,y)[\/tex] de inteiros que s\u00e3o solu\u00e7\u00f5es do problema.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelo COM Koreil Guys<\/strong>, com contribui\u00e7\u00f5es dos moderadores do Blog.<\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir da 3\u00aa s\u00e9rie do E. M.) Calcule o n\u00famero de pares [tex](x, y)[\/tex] inteiros tais que [tex]8x^{3} \u2212xy \u2212x\u22125y\u221213=0[\/tex]. Extra\u00eddo de OMU. Solu\u00e7\u00e3o Isolando [tex]y[\/tex], temos [tex]8x^3-x-13=y(x+5).[\/tex] Considerando [tex]x\\neq-5[\/tex], podemos dividir ambos os lados por [tex]x+5[\/tex], obtendo [tex]\\dfrac{8x^3-x-13}{x+5}=y.[\/tex] Como [tex]y[\/tex] \u00e9 inteiro, o lado esquerdo da equa\u00e7\u00e3o deve ser inteiro. Realizando … <\/p>\n
\n (Indicado a partir da 3\u00aa s\u00e9rie do E. M.)<\/span><\/p>\n
\nCalcule o n\u00famero de pares [tex](x, y)[\/tex] inteiros tais que [tex]8x^{3} \u2212xy \u2212x\u22125y\u221213=0[\/tex].<\/p>\n
\nIsolando [tex]y[\/tex], temos [tex]8x^3-x-13=y(x+5).[\/tex]<\/p>\n
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