{"id":222557,"date":"2024-10-18T15:08:55","date_gmt":"2024-10-18T18:08:55","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=222557"},"modified":"2024-10-18T15:08:55","modified_gmt":"2024-10-18T18:08:55","slug":"problema-colorindo-o-mapa-do-brasil","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-colorindo-o-mapa-do-brasil\/","title":{"rendered":".Problema: Colorindo o mapa do Brasil"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 2\u00ba ano do E. M.)<\/span><\/p>\n

\nIsadora desafiou seus alunos a colorirem o mapa das regi\u00f5es do Brasil utilizando as cores azul, vermelha, laranja e verde, de tal forma que regi\u00f5es adjacentes n\u00e3o compartilhassem a mesma cor.
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\"null\"<\/center>
\nDe quantas maneiras diferentes os alunos podem colorir esse mapa?\n<\/div>\n

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Solu\u00e7\u00e3o 1<\/p>\n

\nObserve que a regi\u00e3o Centro-Oeste \u00e9 adjacente a todas as demais regi\u00f5es. Assim, os alunos podem come\u00e7ar a colorir por essa regi\u00e3o.
\nComo existem quatro cores dispon\u00edveis, ent\u00e3o a regi\u00e3o Centro-Oeste pode ser colorida de [tex]4[\/tex] maneiras.
\nVamos agora considerar dois casos: <\/p>\n
    \n
  1. \nAs regi\u00f5es Norte e Sudeste t\u00eam mesma cor;<\/strong>
    \nNeste caso, o total de maneiras de colorir as regi\u00f5es Norte e Sudeste \u00e9 [tex]3[\/tex], pois deve ser diferente da cor que foi colorida a regi\u00e3o Centro-Oeste.
    \nDessa forma, existem [tex]2[\/tex] maneiras de colorir a regi\u00e3o nordeste e [tex]2[\/tex] maneiras de colorir a regi\u00e3o sul.
    \nPortanto, para este primeiro caso, existem [tex]4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 2 = 48[\/tex] modos. <\/li>\n
  2. \nAs regi\u00f5es Norte e Sudeste t\u00eam cores distintas.<\/strong>
    \nNeste outro caso, existem [tex]3[\/tex] maneiras de colorir a regi\u00e3o norte, uma vez que tal cor deve ser diferente da que foi colorida a regi\u00e3o Centro-Oeste. Para colorir a regi\u00e3o Sudeste existem [tex]2[\/tex] possibilidades, j\u00e1 que deve ser diferente das cores que foram usadas para colorir as regi\u00f5es Centro-Oeste e Norte. Para colorir a regi\u00e3o Nordeste existe uma \u00fanica maneira, j\u00e1 que ela \u00e9 adjacente a outras [tex]3[\/tex] regi\u00f5es e todas com cores diferentes. Finalmente, para colorir a regi\u00e3o Sul, existem [tex]2[\/tex] maneiras, j\u00e1 que ela \u00e9 adjacente a duas outras regi\u00f5es com cores distintas.
    \nAssim, o total de modos de colorir o mapa levando-se em conta este segundo caso, \u00e9 [tex]4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1\\cdot 2 = 48.[\/tex] <\/li>\n<\/ol>\n

    Logo, o total de maneiras diferentes que os alunos de Isadora podem colorir o mapa, \u00e9 [tex]48+48 = 96[\/tex].<\/p>\n

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    Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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    Solu\u00e7\u00e3o 2<\/p>\n

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