{"id":222213,"date":"2024-08-26T10:11:32","date_gmt":"2024-08-26T13:11:32","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=222213"},"modified":"2024-12-13T10:59:54","modified_gmt":"2024-12-13T13:59:54","slug":"sala-de-estudos-matrizes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudos-matrizes\/","title":{"rendered":"Sala de Estudos: Matrizes"},"content":{"rendered":"
\n
Matrizes
\n<\/strong><\/div>\n
\n
\n

Um pouco de Hist\u00f3ria<\/p>\n

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H\u00e1 pouco mais de 150 anos, o estudo das matrizes tomou maiores propor\u00e7\u00f5es. O primeiro matem\u00e1tico a lhes dar um nome parece ter sido Augustin-Louis Cauchy<\/a> (1789 – 1857), em 1826. Por\u00e9m, o nome matriz s\u00f3 veio com James Joseph Sylvester (1814-1897), em 1850. Seu amigo Arthur Cayley<\/a> (1821\u20131895), com sua famosa Memoir on the Theory of Matrices<\/em>, de 1858, divulgou esse nome e iniciou a demonstrar sua utilidade. <\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda de O Baricentro da Mente<\/strong><\/a>.<\/p>\n

Cayley introduziu as matrizes para simplificar a nota\u00e7\u00e3o de uma transforma\u00e7\u00e3o linear. A observa\u00e7\u00e3o do efeito de duas transforma\u00e7\u00f5es sucessivas sugeriu a defini\u00e7\u00e3o de produto de matrizes. Da\u00ed chegou \u00e0 ideia de inversa de uma matriz, o que obviamente pressup\u00f5e a de elemento neutro (no caso, a matriz identidade). Mais tarde, Cayley introduziu o conceito de adi\u00e7\u00e3o de matrizes e o de multiplica\u00e7\u00e3o de matrizes por escalares, chamando a aten\u00e7\u00e3o para as propriedades alg\u00e9bricas dessas opera\u00e7\u00f5es.<\/p>\n

Ao desenvolver a teoria das matrizes, como outros assuntos, a grande preocupa\u00e7\u00e3o de Cayley era a forma e a estrutura em \u00e1lgebra. O s\u00e9culo XIX se encarregaria de encontrar in\u00fameras aplica\u00e7\u00f5es para suas matrizes.<\/p>\n

\n
\n
\n

Mas onde as matrizes s\u00e3o aplicadas na minha vida?<\/p>\n

Em matem\u00e1tica, uma matriz \u00e9 uma representa\u00e7\u00e3o de dados em linhas e colunas. Em outras palavras, \u00e9 uma tabela retangular de n\u00fameros, s\u00edmbolos ou express\u00f5es, sendo seus elementos organizados em linhas e colunas. Engana-se muito quem acredita que o estudo das matrizes n\u00e3o tem aplica\u00e7\u00e3o e import\u00e2ncia na vida cotidiana da humanidade. Vamos apresentar algumas dessas aplica\u00e7\u00f5es: s\u00e3o diversos os graus de utilidade, de jogos a aplica\u00e7\u00f5es m\u00e9dicas!<\/p>\n

Tabuleiro de Xadrez<\/strong><\/p>\n

Ele possui 64 casas, divididas em 8 colunas e 8 linhas. O tabuleiro de xadrez pode ser representado por uma matriz, onde cada uma de suas casas pode ser identificada por uma letra e um n\u00famero. Cada jogada pode ser indicada pela letra da pe\u00e7a, mais a coordenada da casa de destino. Por exemplo, Be5 significa bispo se move para e5<\/em>, a casa da coluna e<\/em> e da linha 5<\/em>.<\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda de Wikipedia<\/strong><\/a>.<\/p>\n

Batalha Naval<\/strong><\/p>\n

Dois jogadores devem posicionar suas embarca\u00e7\u00f5es em determinadas posi\u00e7\u00f5es de uma matriz (o tabuleiro) e cada um deve indicar uma posi\u00e7\u00e3o para atacar e tentar afundar as embarca\u00e7\u00f5es do oponente.<\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda de Conex\u00e3o Escola<\/strong><\/a>.<\/p>\n

Pixels e telas<\/strong><\/p>\n

O pixel \u00e9 definido como a menor parte de uma imagem. Eles s\u00e3o pequenos quadradinhos que possuem informa\u00e7\u00f5es relacionadas a cores, cuja jun\u00e7\u00e3o \u00e9 o que nos permite enxergar imagens em telas eletr\u00f4nicas. Quanto mais pixels, melhor a qualidade da imagem. O interessante sobre esses “quadradinhos” \u00e9 que eles est\u00e3o dispostos em matrizes, e desse modo, quanto maior a matriz, melhor a qualidade da imagem.<\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda de Matreem\u00e1tica<\/strong><\/a>.<\/p>\n

Teoria dos Grafos<\/strong><\/p>\n

A teoria dos grafos \u00e9 basicamente o estudo das rela\u00e7\u00f5es entre objetos e conjuntos. A base para a teoria dos grafos s\u00e3o as matrizes e suas aplica\u00e7\u00f5es s\u00e3o diversas: an\u00e1lise de influ\u00eancias entre pessoas, jogos de xadrez, distribui\u00e7\u00e3o de redes de \u00e1gua e esgoto para uma popula\u00e7\u00e3o e outros problemas famosos, como o Problema do Caixeiro Viajante, que consiste em analisar uma forma otimizada do caminho que ele faria em uma viagem, come\u00e7ando num ponto e terminando a viagem nele, s\u00f3 que passando por todos os outros pontos apenas uma vez.<\/p>\n

\"\"Grafo: Imagem extra\u00edda de WikiMat<\/strong><\/a>.<\/p>\n

Computa\u00e7\u00e3o Gr\u00e1fica<\/strong><\/p>\n

Na computa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica, o uso de matrizes \u00e9 muito utilizado em diversas aplica\u00e7\u00f5es. Figuras tridimensionais em um monitor de computador ou celulares s\u00f3 s\u00e3o poss\u00edveis gra\u00e7as a uma matriz que \u00e9 gerada pelo processamento da imagem na tela. Consequentemente podemos fazer com que um objeto em 3 dimens\u00f5es seja projetado no monitor e a \u00e1lgebra de matrizes possibilita com que novas imagens possam ser geradas do mesmo objeto por meio da rota\u00e7\u00e3o, transla\u00e7\u00e3o, alterando sua escala, etc.<\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda de Freepik<\/strong><\/a>.<\/p>\n

Tomografia Computadorizada<\/strong><\/p>\n

O objetivo de um exame de tomografia \u00e9 construir a imagem de um corte transversal de um corpo humano a partir da an\u00e1lise do escaneamento por raios X. Como j\u00e1 citado, o pixel \u00e9 o menor ponto da imagem que pode ser obtido. Portanto, uma imagem \u00e9 formada por uma certa quantidade de pixels. O conjunto de pixels est\u00e1 distribu\u00eddo em colunas e linhas que formam a matriz de imagem da tomografia. O valor atribu\u00eddo a cada entrada desta matriz est\u00e1 relacionado com a quantidade de radia\u00e7\u00e3o que chegou neste ponto.<\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda de Sa\u00fade iD<\/strong><\/a>.<\/p>\n

Criptografia<\/strong><\/p>\n

\u00c9 o estudo de codificar ou decodificar mensagens a fim de torn\u00e1-las secretas. Este m\u00e9todo \u00e9 muito antigo e j\u00e1 era utilizado desde os tempos do imp\u00e9rio romano. Atualmente, o uso da criptografia evoluiu e consequentemente aumentou o interesse no assunto devido \u00e0 necessidade de manter a privacidade da informa\u00e7\u00e3o que n\u00f3s acessamos. Sem ela, nossas senhas de redes sociais, dispositivos, contas banc\u00e1rias, entre outras, seriam facilmente decifradas e n\u00e3o ter\u00edamos nenhuma seguran\u00e7a de nossas informa\u00e7\u00f5es. Uma forma de utilizar matrizes na criptografia \u00e9 utilizar invers\u00e3o de matrizes para descriptografar.<\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda de Freepik<\/strong><\/a>.<\/p>\n

Controle de Tr\u00e1fego<\/strong><\/p>\n

A figura abaixo representa um cruzamento de duas ruas de m\u00e3o dupla, cujo fluxo de autom\u00f3veis nos pontos A, B e C \u00e9 definido por tr\u00eas conjuntos de sem\u00e1foros.<\/p>\n

\"\"Imagem extra\u00edda de O Baricentro da Mente<\/strong><\/a>.<\/p>\n

As matrizes [tex]M_1[\/tex], [tex]M_2[\/tex] e [tex]M_3[\/tex] indicam o tempo, em minutos, durante o qual os sem\u00e1foros se mant\u00eam simultaneamente abertos segundo a sequ\u00eancia dada:<\/p>\n

\"\"
\nInicialmente, durante um minuto, ficam verdes os sem\u00e1foros de A para B, de A para C e de B para A.<\/p>\n

\"\"
\nEm seguida, durante meio minuto, ficam verdes os sem\u00e1foros de B para A, de B para C e de C para B.<\/p>\n

\"\"
\nE, finalmente, durante meio minuto, ficam verdes os sem\u00e1foros de C para A, de C para B e de A para C.
\nA matriz [tex]M[\/tex] \u00e9 obtida somando-se [tex]M_1[\/tex], [tex]M_2[\/tex] e [tex]M_3[\/tex] termo a termo e mostra o tempo que cada sem\u00e1foro fica aberto em cada sentido no per\u00edodo de dois minutos.<\/p>\n

\"\"
\nPodemos observar, por exemplo, que o sem\u00e1foro de B para A fica aberto durante um minuto e meio a cada per\u00edodo de dois minutos.
\nSe multiplicarmos todos os termos da matriz [tex]M[\/tex] por [tex]30[\/tex], j\u00e1 que o per\u00edodo \u00e9 de dois minutos, obteremos o tempo, em minutos, que cada sem\u00e1foro fica aberto durante uma hora:<\/p>\n

[tex]N=30 \\cdot M[\/tex]<\/p>\n

\"\"
\nNeste exemplo hipot\u00e9tico, sabe-se que nestas ruas \u00e9 poss\u00edvel passar at\u00e9 [tex]20[\/tex] carros por minuto cada vez que os sem\u00e1foros abrem. Assim, se multiplicarmos por [tex]20[\/tex] todos os termos da matriz [tex]N[\/tex], teremos a quantidade m\u00e1xima de carros que podem passar por este cruzamento no per\u00edodo de uma hora.<\/p>\n

\"\"
\nSe o n\u00famero de carros em alguma das dire\u00e7\u00f5es for maior que a quantidade m\u00e1xima poss\u00edvel, teremos um engarrafamento, que poder\u00e1 ou n\u00e3o ser resolvido alterando-se os tempos de abertura dos sem\u00e1foros, isto \u00e9, modificando-se os valores das matrizes [tex]M_1, M_2[\/tex] e [tex]M_3[\/tex].<\/p>\n

\n\n\n
\n\"\"\n <\/td>\n\n<\/p>\n

Se voc\u00ea ficou confuso com o \u00faltimo exemplo, n\u00e3o se preocupe! Voc\u00ea entender\u00e1 melhor a nota\u00e7\u00e3o e as opera\u00e7\u00f5es ap\u00f3s terminarmos nosso passeio pelo mundo das matrizes. Vamos l\u00e1? <\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n
\n
\n

\n

Vamos estudar a Matem\u00e1tica das Matrizes<\/p>\n

CONCEITO<\/p>\n

Como dito anteriormente, as matrizes s\u00e3o um conjunto de n\u00fameros ou s\u00edmbolos distribu\u00eddos de forma retangular em filas verticais e horizontais, de modo que seus elementos sejam dispostos em linhas e colunas. Uma matriz \u00e9 comumente utilizada para a organiza\u00e7\u00e3o de dados tabulares a fim de facilitar a resolu\u00e7\u00e3o de problemas. <\/p>\n

O conjunto das matrizes \u00e9 uma estrutura matem\u00e1tica munida das opera\u00e7\u00f5es de adi\u00e7\u00e3o, subtra\u00e7\u00e3o e multiplica\u00e7\u00e3o e de propriedades, como elemento neutro e inverso, o que possibilita a aplica\u00e7\u00e3o das matrizes em diversos campos do conhecimento.<\/p>\n

Representa\u00e7\u00e3o de uma Matriz<\/strong><\/p>\n

As matrizes s\u00e3o sempre representadas por letras mai\u00fasculas ([tex]A, B, C, \\cdots [\/tex]), que s\u00e3o acompanhadas por \u00edndices, nos quais o primeiro n\u00famero indica a quantidade de linhas, e o segundo, o n\u00famero de colunas.<\/p>\n

\"\"
\nDenominamos [tex]m \\times n[\/tex] a ordem ou tipo da matriz. Filas horizontais s\u00e3o denominadas linhas e filas verticais s\u00e3o denominadas colunas. Tamb\u00e9m representamos uma matriz na escrita com utiliza\u00e7\u00e3o de seus elementos entre par\u00eanteses, colchetes ou duas barras verticais de cada lado.<\/p>\n

Exemplos:<\/strong><\/p>\n

[tex]\\qquad A=\\begin{pmatrix}
\n1 & 4 & 0 \\\\
\n-2 & 4 & 3
\n\\end{pmatrix},
\n\\qquad B=\\begin{bmatrix}
\n-1 & 0,4 \\\\
\n2 & 9
\n\\end{bmatrix},
\n\\qquad C=\\begin{Vmatrix}
\n18 \\\\
\n-22 \\\\
\n1000 \\\\
\n45
\n\\end{Vmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

Os elementos da matriz s\u00e3o denominados de entradas da matriz e obedecem uma regra de localiza\u00e7\u00e3o dentro da mesma. Veja:<\/p>\n

[tex]\\qquad A=\\begin{pmatrix}
\na_{11} & a_{12} & a_{13} & \\cdots & a_{1n} \\\\
\na_{21} & a_{22} & a_{23} & \\cdots & a_{2n} \\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\ddots & \\vdots \\\\
\na_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \\cdots & a_{mn}
\n\\end{pmatrix}.
\n[\/tex]<\/p>\n

Em uma linguagem mais formal, podemos escrever a matriz assim:<\/p>\n

[tex]\\qquad A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex], onde [tex]1 \\leq i \\leq m[\/tex] e [tex]1 \\leq j \\leq n[\/tex], com [tex]i, j \\in \\mathbb{Z}[\/tex].<\/p>\n

Cada entrada da matriz possui \u00edndices [tex]i[\/tex] e [tex]j[\/tex] que indicam, respectivamente, a posi\u00e7\u00e3o da linha e da coluna. Desse modo, [tex]a_{11}[\/tex] \u00e9 o elemento da primeira linha e primeira coluna, [tex]a_{53}[\/tex] \u00e9 o elemento da quinta linha e terceira coluna e assim sucessivamente.<\/p>\n

\"\"
\nConstru\u00e7\u00e3o de uma Matriz por uma Lei de Forma\u00e7\u00e3o<\/strong><\/p>\n

Em geral, podemos construir uma matriz por meio de uma lei de forma\u00e7\u00e3o previamente dada. <\/p>\n

Exemplo: <\/strong>Construir a matriz [tex]A=(a_{ij})_{2 \\times 3}[\/tex] definida [tex]a_{ij}=i^2-2j[\/tex].<\/p>\n

Inicialmente, perceba que a ordem da matriz indica que ela possui duas linhas e tr\u00eas colunas. Portanto, ela possui o seguinte formato:<\/p>\n

[tex]\\qquad A=\\begin{pmatrix}
\na_{11} & a_{12} & a_{13}\\\\
\na_{21} & a_{22} & a_{23}\\\\
\n\\end{pmatrix}.
\n[\/tex]<\/p>\n

Agora, por meio da lei dada, encontramos todas as entradas da referida matriz:<\/p>\n

[tex]\\qquad a_{11}=1^2-2 \\cdot 1=1-2=-1[\/tex];
\n[tex]\\qquad a_{12}=1^2-2 \\cdot 2=1-4=-3[\/tex];
\n[tex]\\qquad a_{13}=1^2-2 \\cdot 3=1-6=-5[\/tex];
\n[tex]\\qquad a_{21}=2^2-2 \\cdot 1=4-2=2[\/tex];
\n[tex]\\qquad a_{22}=2^2-2 \\cdot 2=4-4=0[\/tex];
\n[tex]\\qquad a_{23}=2^2-2 \\cdot 3=4-6=-2[\/tex].<\/p>\n

Finalmente, montamos a matriz:<\/p>\n

[tex]\\qquad A=\\begin{pmatrix}
\n-1 & -3 & -5\\\\
\n2 & 0 & -2\\\\
\n\\end{pmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

Igualdade de Matrizes<\/strong><\/p>\n

Duas matrizes, [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex] e [tex]B=(b_{ij})_{m \\times n}[\/tex] s\u00e3o iguais quando [tex]a_{ij}=b_{ij}[\/tex] para todo [tex]i \\in \\{1, 2, 3, \\cdots, m\\}[\/tex] e todo [tex]j \\in \\{1, 2, 3, \\cdots, n\\}[\/tex]. Em outras palavras, duas matrizes s\u00e3o iguais quando possuem mesma ordem e seus elementos s\u00e3o ordenadamente iguais.<\/p>\n

Exemplo:<\/strong> Determine [tex]x+y+z[\/tex] para que as matrizes abaixo sejam iguais.<\/p>\n

[tex]\\qquad A=\\begin{bmatrix}
\nx & y\\\\
\n0 & 5\\\\
\n-4 & z
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex] e [tex]\\qquad B=\\begin{bmatrix}
\n10 & -6\\\\
\n0 & 5\\\\
\n-4 & 5
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]<\/p>\n

Basta fazer:
\n[tex]\\qquad a_{11}= b_{11} \\iff x=10[\/tex];
\n[tex]\\qquad a_{12}= b_{12} \\iff y=-6[\/tex];
\n[tex]\\qquad a_{32}= b_{32} \\iff z=5[\/tex].<\/p>\n

Assim, [tex]x+y+z=10-6+5=9[\/tex].\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

\n
\n

TIPOS DE MATRIZES<\/p>\n

Existem diversos tipos de matrizes. Vamos estudar alguns dos principais aqui nessa sala.<\/p>\n

1. Matriz Quadrada<\/strong><\/p>\n

\u00c9 uma matriz na qual a quantidade de linhas \u00e9 igual \u00e0 quantidade de colunas. Nesse caso, dizemos que uma matriz quadrada tem ordem [tex]n \\times n[\/tex] ou simplesmente ordem [tex]n[\/tex].
\nToda matriz quadrada possui duas diagonais: a principal e a secund\u00e1ria. A diagonal principal de uma matriz [tex]A_{n\\times n}[\/tex] \u00e9 a cole\u00e7\u00e3o dos elementos [tex]a_{ij}[\/tex] da matriz em que [tex]i=j[\/tex]. A diagonal secund\u00e1ria dessa matriz \u00e9 formada pelos elementos [tex]a_{ij}[\/tex] em que [tex]i+j=n+1[\/tex].<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Exemplos:<\/strong><\/p>\n

[tex]\\qquad F=\\begin{pmatrix}
\n9 & 0\\\\
\n0 & 2
\n\\end{pmatrix},
\n\\qquad G=\\begin{pmatrix}
\n\\pi & -4 & 0\\\\
\n-\\sqrt{\\pi} & \\sqrt{8} & 7\\\\
\n0 & \\dfrac{1}{2} & 0\\\\
\n\\end{pmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

2. Matriz Unit\u00e1ria<\/strong><\/p>\n

\u00c9 uma matriz de ordem um, ou seja, possui uma linha e uma coluna e, portanto, apenas um elemento.<\/p>\n

Exemplos: <\/strong><\/p>\n

[tex]\\qquad A=\\begin{pmatrix}
\n4
\n\\end{pmatrix},
\n\\qquad B=\\begin{bmatrix}
\n-1
\n\\end{bmatrix},
\n\\qquad C=\\begin{Vmatrix}
\n18
\n\\end{Vmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

3. Matriz Nula<\/strong><\/p>\n

\u00c9 uma matriz na qual todas as entradas s\u00e3o nulas. Geralmente representamos a matriz nula pela letra [tex]O[\/tex].<\/p>\n

Exemplos:<\/strong><\/p>\n

[tex]\\qquad O_{2 \\times 3}=\\begin{pmatrix}
\n0 & 0 & 0\\\\
\n0 & 0 & 0
\n\\end{pmatrix},
\n \\qquad O_{3 \\times 5}=\\begin{pmatrix}
\n0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\
\n0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\
\n0 & 0 & 0 & 0 & 0
\n\\end{pmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

4. Matriz Linha<\/strong><\/p>\n

\u00c9 uma matriz que possui apenas uma linha.<\/p>\n

Exemplos:<\/strong><\/p>\n

[tex]\\qquad H=\\begin{bmatrix}
\n10 & 2 & 3
\n\\end{bmatrix},
\n\\qquad J=\\begin{bmatrix}
\n9 & -2 & 9 & 0 & 1
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

5. Matriz Coluna<\/strong><\/p>\n

\u00c9 uma matriz que possui apenas uma coluna.<\/p>\n

Exemplos:<\/strong><\/p>\n

[tex]\\qquad K=\\begin{bmatrix}
\n10\\\\
\n9
\n\\end{bmatrix},
\n \\qquad L=\\begin{bmatrix}
\n1\\\\
\n-\\pi\\\\
\n\\sqrt{5}
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

6. Matriz Triangular <\/strong><\/p>\n

\u00c9 uma matriz quadrada em que todos os elementos que est\u00e3o acima (Triangular Inferior) ou abaixo (Triangular Superior) da diagonal principal s\u00e3o iguais a zero.<\/p>\n

Exemplos:<\/strong>
\nTriangular Inferior
\n[tex]\\qquad M=\\begin{bmatrix}
\n5 & 0 & 0\\\\
\n3 & 2 & 0\\\\
\n-2 & -3 & 6
\n\\sqrt{5}
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]<\/p>\n

Triangular Superior
\n[tex]\\qquad N=\\begin{bmatrix}
\n8 & 2 & 1 & 2\\\\
\n0 & 2 & 3 & 2\\\\
\n0 & 0 & 4 & 5\\\\
\n0 & 0 & 0 & 1
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

7. Matriz Diagonal<\/strong><\/p>\n

A matriz diagonal \u00e9 um caso particular de matriz triangular. Os termos que est\u00e3o acima ou abaixo da diagonal principal s\u00e3o todos iguais a zero. Em outras palavras, uma matriz diagonal \u00e9 uma matriz triangular tanto superior quanto inferior.<\/p>\n

Exemplo:<\/strong>
\n[tex]\\qquad P=\\begin{bmatrix}
\n4 & 0 & 0 & 0\\\\
\n0 & 2 & 0 & 0\\\\
\n0 & 0 & 1 & 0\\\\
\n0 & 0 & 0 & 3
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/div>\n

<\/p>\n

8. Matriz Oposta<\/strong><\/p>\n

\u00c9 a matriz obtida quando trocamos todos os sinais dos elementos da matriz original.<\/p>\n

Exemplo:<\/strong> Dada a matriz<\/p>\n

[tex]\\qquad A=\\begin{bmatrix}
\n-3 & 0 & 5\\\\
\n0 & -3 & 6\\\\
\n-5 & 3 & -3\\\\
\n9 & -8 & -1
\n\\end{bmatrix},
\n[\/tex]<\/p>\n

sua oposta \u00e9 a matriz:<\/p>\n

[tex]\\qquad -A=\\begin{bmatrix}
\n3 & 0 & -5\\\\
\n0 & 3 & -6\\\\
\n5 & -3 & 3\\\\
\n-9 & 8 & 1
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

9. Matriz Transposta<\/strong><\/p>\n

Dada uma matriz [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex], chama-se transposta de [tex]A[\/tex] a matriz [tex]A^t=(a’_{ij})_{n \\times m}[\/tex] tal que [tex]a’_{ji}=a_{ij}[\/tex], para todo [tex]i[\/tex] e todo [tex]j[\/tex]. Por exemplo, [tex]a’_{11}, a’_{21}, a’_{31}, \\cdots, a’_{n1}[\/tex] s\u00e3o, respectivamente, iguais a [tex]a_{11}, a_{12}, a_{13}, \\cdots, a_{1n}[\/tex]. As colunas de [tex]A^t[\/tex] s\u00e3o ordenadamente iguais \u00e0s linhas de [tex]A[\/tex].
\nAssim, transposta \u00e9 a matriz obtida quando transformamos as linhas de uma matriz em colunas. Nesse caso, se a matriz original possui ordem [tex]m \\times n[\/tex], sua transposta possuir\u00e1 ordem [tex]n \\times m[\/tex].<\/p>\n

Exemplo: <\/strong>Considere a matriz <\/p>\n

[tex]\\qquad B=\\begin{bmatrix}
\n3 & 2,3 & 4 & 7\\\\
\n0 & -9 & 5 & -2
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]<\/p>\n

Sua transposta \u00e9 representada por [tex]B^t[\/tex] e \u00e9 obtida transformando a primeira linha e a segunda linha de [tex]B[\/tex] na primeira coluna e segunda coluna de [tex]B^t[\/tex]. Veja:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\qquad B^t=\\begin{bmatrix}
\n3 & 0\\\\
\n2,3 & -9\\\\
\n4 & 5\\\\
\n7 & -2
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

\n

Propriedades da Matriz Transposta<\/strong><\/p>\n

Observa\u00e7\u00e3o: Algumas propriedades utilizam opera\u00e7\u00f5es entre matrizes, o que voc\u00ea entender\u00e1 melhor ap\u00f3s ler o restante da sala.<\/strong><\/p>\n

Propriedade 1:<\/strong> [tex](A^t)^t=A[\/tex] para toda matriz [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex];<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> Fazendo [tex](A^t)^t=(a”_{ij})_{m \\times n}[\/tex], resulta: [tex]a”_{ij}=a’_{ji}=a_{ij}, \\forall i, j[\/tex].<\/p>\n

Propriedade 2:<\/strong> Se [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex] e [tex]B=(b_{ij})_{m \\times n}[\/tex], ent\u00e3o [tex](A+B)^t=A^t+B^t[\/tex];<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> Fazendo [tex]A+B=C=(c_{ij})_{m \\times n}[\/tex] e [tex](A+B)^t=C^t=(c’_{ji})_{n \\times m}[\/tex], temos:<\/p>\n

[tex]c’_{ji}=c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=a’_{ji}+b’_{ji}, \\forall i, j[\/tex].<\/p>\n

Propriedade 3:<\/strong> Se [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex] e [tex]k \\in \\mathbb{R}[\/tex], ent\u00e3o [tex](k \\cdot A)^t=k \\cdot A^t[\/tex];<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> Fazendo [tex](k \\cdot A)^t=(a\u2019_{ji})_{n \\times m}[\/tex], observe que [tex]a\u2019_{ji}(k\\cdot a_{ij})’=k\\cdot a_{ij}'[\/tex].<\/p>\n

Propriedade 4:<\/strong> Se [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex] e [tex]B=(b_{ij})_{n \\times p}[\/tex], ent\u00e3o [tex](A \\cdot B)^t=B^t \\cdot A^t[\/tex].<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> Fazendo [tex]A \\cdot B=C=(c_{ik})_{m \\times p}[\/tex] e [tex](A \\cdot B)^t=C^t=(c’_{ki})_{p \\times m}[\/tex], resulta: [tex]c’_{ki}=c_{ik}=\\sum\\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \\cdot b_{jk} =\\sum\\limits_{j=1}^{n} a’_{ji} \\cdot b’_{kj} [\/tex].\n<\/div>\n

<\/p>\n

10. Matriz Sim\u00e9trica<\/strong><\/p>\n

\u00c9 uma matriz quadrada que \u00e9 igual \u00e0 sua transposta:<\/p>\n

[tex]\\qquad A=A^t.[\/tex]<\/p>\n

Exemplo:<\/strong> Dada a matriz <\/p>\n

[tex]\\qquad A=\\begin{bmatrix}
\n4 & 0 & 5\\\\
\n0 & -9 & 2\\\\
\n5 & 2 & 3
\n\\end{bmatrix},
\n[\/tex]<\/p>\n

sua transposta \u00e9 <\/p>\n

[tex]\\qquad A^t=\\begin{bmatrix}
\n4 & 0 & 5\\\\
\n0 & -9 & 2\\\\
\n5 & 2 & 3
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

Uma observa\u00e7\u00e3o interessante sobre uma matriz sim\u00e9trica, \u00e9 que a diagonal principal funciona como se fosse um espelho plano para os elementos que equidistam desse espelho. Observe:<\/p>\n

\"\"
\n11. Matriz Antissim\u00e9trica<\/strong><\/p>\n

\u00c9 uma matriz quadrada cuja transposta \u00e9 igual \u00e0 sua oposta:<\/p>\n

[tex]\\qquad A^t=-A.[\/tex]<\/p>\n

Exemplo:<\/strong> Dada a matriz<\/p>\n

[tex]\\qquad A=\\begin{bmatrix}
\n0 & 3 & -5\\\\
\n-3 & 0 & -8\\\\
\n5 & 8 & 0
\n\\end{bmatrix},
\n[\/tex]
\nsua oposta \u00e9 <\/p>\n

[tex]\\qquad -A=\\begin{bmatrix}
\n0 & -3 & 5\\\\
\n3 & 0 & 8\\\\
\n-5 & -8 & 0
\n\\end{bmatrix},
\n[\/tex]<\/p>\n

e sua transposta \u00e9<\/p>\n

[tex]\\qquad A^t=\\begin{bmatrix}
\n0 & -3 & 5\\\\
\n3 & 0 & 8\\\\
\n-5 & -8 & 0
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

Uma observa\u00e7\u00e3o interessante sobre uma matriz antissim\u00e9trica, \u00e9 que a diagonal principal funcional como se fosse um espelho plano onde os elementos que equidistam desse espelho visualizam seus sim\u00e9tricos. Observe:<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Outra observa\u00e7\u00e3o importante para esse tipo de matriz \u00e9 que a diagonal principal s\u00f3 pode ser formada por zeros.<\/p>\n

12. Matriz Identidade<\/strong><\/p>\n

Uma matriz identidade \u00e9 uma matriz diagonal em que os elementos da diagonal principal s\u00e3o iguais a [tex]1[\/tex] e os demais elementos s\u00e3o iguais a [tex]0[\/tex].<\/p>\n

Exemplos:<\/strong>
\n[tex]\\qquad I_2=\\begin{bmatrix}
\n1 & 0\\\\
\n0 & 1
\n\\end{bmatrix},
\n\\qquad I_3=\\begin{bmatrix}
\n1 & 0 & 0\\\\
\n0 & 1 & 0\\\\
\n0 & 0 & 1
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/div>\n

<\/p>\n

A matriz Identidade ser\u00e1 muito importante quando estivermos estudando invers\u00e3o de matrizes.<\/p>\n

\n
\n

OPERA\u00c7\u00d5ES COM MATRIZES<\/p>\n

Adi\u00e7\u00e3o<\/p>\n

Dadas duas matrizes, [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex] e [tex]B=(b_{ij})_{m \\times n}[\/tex], chamamos soma [tex]A+B[\/tex] a matriz [tex]C=(c_{ij})_{m \\times n}[\/tex] tal que [tex]c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}[\/tex], para todo [tex]i[\/tex] e todo [tex]j[\/tex]. Em outras palavras, a adi\u00e7\u00e3o de matrizes s\u00f3 pode ser realizada se as matrizes possu\u00edrem mesma ordem e a adi\u00e7\u00e3o \u00e9 feita ordenadamente entre elementos correspondentes.<\/p>\n

Exemplo:
\n[tex]\\qquad \\begin{bmatrix}
\n6 & -2\\\\
\n1 & 2\\\\
\n-5 & 0
\n\\end{bmatrix}
\n+
\n\\begin{bmatrix}
\n5 & 7\\\\
\n2 & -8\\\\
\n1 & 0
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n6+5 & -2+7\\\\
\n1+2 & 2+(-8)\\\\
\n-5+1 & 0+0
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n11 & 5\\\\
\n3 & -6\\\\
\n-4 & 0
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]<\/p>\n

\n

Propriedades da Adi\u00e7\u00e3o de Matrizes<\/strong><\/p>\n

A adi\u00e7\u00e3o de matrizes do tipo [tex]m \\times n[\/tex] apresenta as seguintes propriedades:<\/p>\n

Associativa:<\/strong> [tex](A+B)+C=A+(B+C)[\/tex] quaisquer que sejam [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex], de ordem [tex]m \\times n[\/tex].<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> Fa\u00e7amos [tex](A+B)+C=X[\/tex] e [tex]A+(B+C)=Y[\/tex]. Portanto, para todo [tex]i[\/tex] e todo [tex]j[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad x_{ij}=(a_{ij}+b_{ij})+c_{ij}=a_{ij}+(b_{ij}+c_{ij})=y_{ij}.[\/tex]<\/p>\n

Comutativa:<\/strong> [tex]A+B=B+A[\/tex] quaisquer que sejam [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex], de ordem [tex]m \\times n[\/tex].<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> Fa\u00e7amos [tex]A+B=X[\/tex] e [tex]B+A=Y[\/tex]. Portanto, para todo [tex]i[\/tex] e todo [tex]j[\/tex], temos:
\n[tex]\\qquad x_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}=y_{ij}.[\/tex]<\/p>\n

Elemento Neutro:<\/strong> Existe uma matriz [tex]M[\/tex] tal que [tex]A+M=A[\/tex] qualquer que seja [tex]A[\/tex] de ordem [tex]m \\times n[\/tex].<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> Considere a matriz nula [tex]M[\/tex] de ordem [tex]m \\times n[\/tex] e seja [tex]A+M=B[\/tex]. Temos [tex]b_{ij}=a_{ij}+m_{ij}=a_{ij}, \\forall i, j[\/tex]. Logo, [tex]A+M=A[\/tex], onde [tex]M[\/tex] \u00e9 uma matriz nula.<\/p>\n

Elemento Oposto:<\/strong> Para toda matriz [tex]A[\/tex] de ordem [tex]m \\times n[\/tex], existe uma matriz [tex]A'[\/tex] tal que [tex]A+A’=0[\/tex].<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> Considere a matriz [tex]A'[\/tex], na qual cada elemento \u00e9 oposto do correspondente em [tex]A[\/tex], ou seja, [tex]a’_{ij}=-a_{ij}, \\forall i, j[\/tex]. Assim, [tex]a_{ij}+a’_{ij}=0, \\forall i, j[\/tex] e [tex]A+A’=0[\/tex], isto \u00e9, a oposta da matriz [tex]A[\/tex] \u00e9 a matriz [tex]A'[\/tex], na qual cada elemento \u00e9 oposto do correspondente em [tex]A[\/tex].\n<\/div>\n

<\/p>\n

Subtra\u00e7\u00e3o<\/p>\n

Dadas duas matrizes, [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex] e [tex]B=(b_{ij})_{m \\times n}[\/tex], chamamos subtra\u00e7\u00e3o ou diferen\u00e7a [tex]A-B[\/tex] a matriz soma de [tex]A[\/tex] com a matriz oposta de [tex]B[\/tex].<\/p>\n

Exemplo:<\/strong>
\n[tex]\\qquad \\begin{bmatrix}
\n8 & 9 & 10\\\\
\n-5 & -2 & 2
\n\\end{bmatrix}
\n–
\n\\begin{bmatrix}
\n3 & -2 & 1\\\\
\n-4 & 0 & 3
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n8 & 9 & 10\\\\
\n-5 & -2 & 2
\n\\end{bmatrix}
\n+
\n\\begin{bmatrix}
\n-3 & 2 & -1\\\\
\n4 & 0 & -3
\n\\end{bmatrix}\\\\
\n\\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad \\qquad
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n8+(-3) & 9+2 & 10+(-1)\\\\
\n-5+4 & -2+0 & 2+(-3)
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n5 & 11 & 9\\\\
\n-1 & -2 & -1
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/div>\n

<\/p>\n

Multiplica\u00e7\u00e3o de um escalar por uma Matriz<\/p>\n

Dado um n\u00famero real [tex]k[\/tex] e uma matriz [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex], chama-se produto [tex]k\\cdot A[\/tex] a matriz [tex]B=(b_{ij})_{m \\times n}[\/tex], tal que [tex]b_{ij}=k \\cdot a_{ij}[\/tex], [tex]\\forall i,j[\/tex]. Em outras palavras, multiplicar uma matriz por um n\u00famero real \u00e9 obter uma nova matriz na qual todos os elementos da matriz original foram multiplicados pelo n\u00famero real.<\/p>\n

Exemplo:<\/strong>
\n[tex]\\qquad 5 \\cdot \\begin{bmatrix}
\n2 & -3 & 6\\\\
\n-1 & 5 & 0\\\\
\n0 & 4 & 60\\end{bmatrix}
\n=\\begin{bmatrix}
\n10 & -15 & 30\\\\
\n-5 & 25 & 0\\\\
\n0 & 20 & 300\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n

Propriedades da Multiplica\u00e7\u00e3o de um Escalar por uma Matriz<\/strong><\/p>\n

Sendo [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] matrizes quaisquer de ordem [tex]m \\times n[\/tex] e [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] n\u00fameros reais quaisquer, a multiplica\u00e7\u00e3o de um n\u00famero por uma matriz possui as seguintes propriedades:<\/p>\n

Associativa: <\/strong>[tex]a \\cdot (b \\cdot A)=(a \\cdot b) \\cdot A[\/tex];<\/p>\n

Distributiva: <\/strong>[tex]a \\cdot (A+B)=a \\cdot A + a \\cdot B[\/tex];<\/p>\n

Distributiva: <\/strong>[tex](a+b) \\cdot A=a \\cdot A+b \\cdot A[\/tex];<\/p>\n

Elemento neutro: <\/strong>[tex]1 \\cdot A=A[\/tex].<\/p>\n

Que tal tentar demonstrar essas propriedades?\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

Multiplica\u00e7\u00e3o de Matrizes<\/p>\n

Dadas duas matrizes, [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex] e [tex]B=(b_{jk})_{n \\times p}[\/tex], chamamos produto [tex]A \\cdot B[\/tex] a matriz [tex]C=(c_{ik})_{m \\times p}[\/tex] tal que <\/p>\n

[tex]\\qquad c_{ik}= a_{i1} \\cdot b_{1k}+ a_{i2} \\cdot b_{2k}+ a_{i3} \\cdot b_{3k}+ \\cdots + a_{in} \\cdot b_{nk}, \\forall i \\in \\{1, 2, 3, \\cdots, m\\}, k \\in \\{1, 2, 3, \\cdots, p\\}.[\/tex]<\/p>\n

\u00c9 importante observar que a defini\u00e7\u00e3o dada garante a exist\u00eancia do produto [tex]A \\cdot B[\/tex] somente se o n\u00famero de colunas de [tex]A[\/tex] for igual ao n\u00famero de linhas de [tex]B[\/tex]. A defini\u00e7\u00e3o dada tamb\u00e9m afirma que o produto [tex]A \\cdot B[\/tex] \u00e9 uma matriz que tem o n\u00famero de linhas de [tex]A[\/tex] e o n\u00famero de colunas de [tex]B[\/tex], pois [tex]C=A \\cdot B[\/tex] \u00e9 da ordem [tex]m \\times p[\/tex]. Ainda pela defini\u00e7\u00e3o, um elemento [tex]c_{ik}[\/tex] da matriz [tex]A \\cdot B[\/tex] deve ser obtido pelo procedimento seguinte:
\n(i) <\/em>toma-se a linha [tex]i[\/tex] da matriz [tex]A[\/tex]:<\/p>\n

[tex]\\qquad a_{i1} \\ a_{i2} \\ a_{i3} \\ \\cdots a_{in}[\/tex].<\/p>\n

(ii) <\/em>toma-se a coluna [tex]k[\/tex] da matriz [tex]B[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad
\nb_{1k}\\\\
\n\\qquad b_{2k}\\\\
\n\\qquad b_{3k}\\\\
\n\\qquad \\vdots\\\\
\n\\qquad b_{nk}
\n[\/tex]<\/p>\n

(iii)<\/em> coloca-se a linha [tex]i[\/tex] de [tex]A[\/tex] na vertical ao lado da coluna [tex]k[\/tex] de [tex]B[\/tex] de acordo com o esquema abaixo<\/p>\n

[tex]
\n\\qquad a_{i1} \\ b_{1k}\\\\
\n\\qquad a_{i2} \\ b_{2k}\\\\
\n\\qquad a_{i3} \\ b_{3k}\\\\
\n\\qquad \\vdots \\\\
\n\\qquad a_{in} \\ b_{nk}
\n[\/tex]<\/p>\n

(iv) <\/em>calculam-se os [tex]n[\/tex] produtos dos elementos que ficaram lado a lado conforme abaixo:<\/p>\n

[tex]
\n\\qquad a_{i1} \\cdot b_{1k}\\\\
\n\\qquad a_{i2} \\cdot b_{2k}\\\\
\n\\qquad a_{i3} \\cdot b_{3k}\\\\
\n\\qquad \\vdots\\\\
\n\\qquad a_{in} \\cdot b_{nk}
\n[\/tex]<\/p>\n

(v)<\/em> somam-se esses [tex]n[\/tex] produtos, obtendo [tex]c_{ik}[\/tex].<\/p>\n

Exemplo:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{bmatrix}
\n1 & 0 & 2\\\\
\n2 & 3 & 1
\n\\end{bmatrix}
\n\\cdot \\begin{bmatrix}
\n3\\\\
\n2\\\\
\n4\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n1 \\cdot 3+0 \\cdot 2+2 \\cdot 4\\\\
\n2 \\cdot 3+3 \\cdot 2+1 \\cdot 4\\\\
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n3+0+8\\\\
\n6+6+4\\\\
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n11\\\\
\n16\\\\
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]<\/p>\n

\n

Propriedades da Multiplica\u00e7\u00e3o de Matrizes<\/strong><\/p>\n

A multiplica\u00e7\u00e3o de matrizes possui as seguintes propriedades:<\/p>\n

Associativa:<\/strong> [tex](A \\cdot B) \\cdot C=A \\cdot (B \\cdot C)[\/tex] quaisquer que sejam as matrizes [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex], [tex]B=(b_{jk})_{n \\times p}[\/tex], [tex]C=(c_{kl})_{p \\times r}[\/tex];<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o: <\/strong>Seja [tex]D=A \\cdot B=(d_{ik})_{m \\times p}, E=(A \\cdot B) \\cdot C=(e_{il})_{m \\times r}, F=B \\cdot C=(f_{jl})_{n \\times r}[\/tex], temos<\/p>\n

[tex]\\qquad e_{il}= \\sum\\limits_{k=1}^{p}d_{ik} \\cdot c_{kl}=\\sum\\limits_{k=1}^{p} \\left(\\sum\\limits_{j=1}^{n}a_{ij} \\cdot b_{jk}\\right) \\cdot c_{kl}\\\\
\n\\qquad \\quad =\\sum\\limits_{k=1}^{p} \\left(\\sum\\limits_{j=1}^{n}a_{ij} \\cdot b_{jk} \\cdot c_{kl}\\right) = \\sum\\limits_{j=1}^{n} \\left(\\sum\\limits_{k=1}^{p}a_{ij} \\cdot b_{jk} \\cdot c_{kl}\\right)\\\\
\n\\qquad \\quad = \\sum\\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \\cdot \\left(\\sum\\limits_{k=1}^{p}b_{jk} \\cdot c_{kl}\\right)= \\sum\\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \\cdot f_{jl}.[\/tex]<\/p>\n

Ent\u00e3o [tex](AB)C=A(BC)[\/tex].<\/p>\n

Distributiva \u00e0 direita em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 adi\u00e7\u00e3o: <\/strong>[tex](A+B) \\cdot C=A \\cdot C+B \\cdot C[\/tex] quaisquer que sejam as matrizes [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}, B=(b_{ij})_{m \\times n}, C=(c_{jk})_{n \\times p}[\/tex];<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> Fazendo [tex]D=(A+B) \\cdot C=(d_{ik})_{m \\times p}[\/tex], temos:<\/p>\n

[tex]\\qquad d_{ik}= \\sum\\limits_{j=1}^{n}(a_{ij}+ b_{ij}) \\cdot c_{jk}=\\sum\\limits_{j=1}^{n} (a_{ij} \\cdot c_{jk} + b_{ij} \\cdot c_{jk} )=\\sum\\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \\cdot c_{jk}+\\sum\\limits_{j=1}^{n} b_{ij} \\cdot c_{jk}.[\/tex]<\/p>\n

Ent\u00e3o [tex](A+B) \\cdot C=A \\cdot C+B \\cdot C.[\/tex]<\/p>\n

Distributiva \u00e0 esquerda em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 adi\u00e7\u00e3o:<\/strong> [tex]C \\cdot (A+B)=C \\cdot A+C \\cdot B[\/tex] quaisquer que sejam as matrizes [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}, B=(b_{ij})_{m \\times n}, C=(c_{ki})_{p \\times m}[\/tex];<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> An\u00e1loga \u00e0 demonstra\u00e7\u00e3o da propriedade distributiva \u00e0 direita em rela\u00e7\u00e3o \u00e0 adi\u00e7\u00e3o.<\/p>\n

Associativa: <\/strong> [tex](k \\cdot A) \\cdot B=A \\cdot (k \\cdot B)=k \\cdot (A \\cdot B)[\/tex] quaisquer que sejam o n\u00famero real [tex]k[\/tex] e as matrizes [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}, B=(b_{jk})_{n \\times p}[\/tex].<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> Fazendo [tex]C=k \\cdot A=(c_{ij})_{m \\times n}, D=k \\cdot B=(d_{jk})_{n \\times p}[\/tex], temos:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\sum\\limits_{j=1}^{n}(c_{ik} \\cdot b_{jk})=\\sum\\limits_{j=1}^{n} (k \\cdot a_{ij}) \\cdot b_{jk}=k \\cdot \\sum\\limits_{j=1}^{n} (a_{ij} \\cdot b_{jk}).[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\sum\\limits_{j=1}^{n}(a_{ij} \\cdot d_{jk})=\\sum\\limits_{j=1}^{n} a_{ij} \\cdot (k \\cdot b_{jk})=k \\cdot \\sum\\limits_{j=1}^{n} (a_{ij} \\cdot b_{jk}).[\/tex]<\/p>\n

Ent\u00e3o [tex](k \\cdot A) \\cdot B=A \\cdot (k \\cdot B)=k \\cdot (A \\cdot B).[\/tex]<\/p>\n

Elemento neutro: <\/strong> A matriz Identidade \u00e9 o elemento neutro da multiplica\u00e7\u00e3o de matrizes, ou seja, se [tex]A=(a_{ij})_{m \\times n}[\/tex], ent\u00e3o [tex]A \\cdot I_n=A[\/tex] e [tex]I_m \\cdot A=A[\/tex].<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o: <\/strong>Vamos mostrar apenas que [tex]A \\cdot I_n=A[\/tex], pois a prova de que [tex]I_m \\cdot A=A[\/tex] \u00e9 an\u00e1loga.
\n Sejam [tex]I_n=(\\delta_{ij})_{n \\times n}[\/tex] e [tex]B=A \\cdot I_n=(b_{ij})_{n \\times n}[\/tex]. Assim:<\/p>\n

[tex]\\qquad b_{ij}=a_{i1} \\cdot \\delta_{1j}+a_{i2} \\cdot \\delta_{2j}+a_{i3} \\cdot \\delta_{3j}+ \\cdots +a_{ij} \\cdot \\delta_{jj}+ \\cdots +a_{in} \\cdot \\delta_{nj}\\\\
\n\\qquad \\quad = a_{i1} \\cdot 0+a_{i2} \\cdot 0+a_{i3} \\cdot 0+ \\cdots +a_{ij} \\cdot 1+ \\cdots +a_{in} \\cdot 0=a_{ij},[\/tex]
\n para todos [tex]i[\/tex] e [tex]j[\/tex], donde [tex]B=A \\cdot I_ n=A[\/tex].\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

Observa\u00e7\u00e3o Importante:<\/strong> A multiplica\u00e7\u00e3o de matrizes n\u00e3o \u00e9 comutativa, ou seja, [tex]A \\cdot B \\neq B \\cdot A [\/tex].<\/p>\n

Exemplo:<\/strong><\/p>\n

[tex]\\qquad A=\\begin{bmatrix}
\n1 & 0\\\\
\n2 & 3
\n\\end{bmatrix}
\ne
\n\\ B=\\begin{bmatrix}
\n4 & 5\\\\
\n6 & 0
\n\\end{bmatrix}
\n\\Rightarrow
\nA \\cdot B=\\begin{bmatrix}
\n4 & 5\\\\
\n26 & 10
\n\\end{bmatrix}
\ne
\n\\ B \\cdot A=\\begin{bmatrix}
\n14 & 15\\\\
\n6 & 0
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex].<\/p>\n

Existem casos em que a igualdade ocorre, mas em geral n\u00e3o existe a comutatividade.
\nQuando [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o tais que [tex]A \\cdot B=B \\cdot A[\/tex], dizemos que [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] comutam. <\/p>\n

Uma condi\u00e7\u00e3o necess\u00e1ria, mas n\u00e3o suficiente, para [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] comutarem \u00e9 que sejam quadradas e de mesma ordem.<\/p>\n

Exemplos:<\/strong> Matrizes que comutam:
\n[tex]\\qquad \\begin{bmatrix}
\na & b\\\\
\nc & d
\n\\end{bmatrix}
\n\\ e \\
\n\\begin{bmatrix}
\n1 & 0\\\\
\n0 & 1
\n\\end{bmatrix};
\n\\begin{bmatrix}
\na & b\\\\
\nc & d
\n\\end{bmatrix}
\n\\ e \\
\n\\begin{bmatrix}
\n0 & 0\\\\
\n0 & 0
\n\\end{bmatrix};
\n\\begin{bmatrix}
\na & b\\\\
\nc & d
\n\\end{bmatrix}
\n\\ e \\
\n\\begin{bmatrix}
\nd & -b\\\\
\n-c & a
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex].<\/p>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n

Uma outra observa\u00e7\u00e3o importante \u00e9 que a implica\u00e7\u00e3o [tex]A \\cdot B=0 \\Rightarrow A=0[\/tex] ou [tex]B=0[\/tex] n\u00e3o \u00e9 v\u00e1lida para matrizes, ou seja, \u00e9 poss\u00edvel encontrar duas matrizes n\u00e3o nulas cujo produto \u00e9 a matriz nula. <\/p>\n

Exemplo:<\/strong><\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{bmatrix}
\n1 & 0\\\\
\n0 & 0
\n\\end{bmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{bmatrix}
\n0 & 0\\\\
\n0 & 1
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n0 & 0\\\\
\n0 & 0
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex].\n<\/p><\/div>\n

<\/p>\n

Invers\u00e3o de Matrizes<\/p>\n

Seja [tex]A[\/tex] uma matriz quadrada de ordem [tex]n[\/tex]. Dizemos que [tex]A[\/tex] \u00e9 matriz invers\u00edvel se existir uma matriz [tex]B[\/tex] tal que [tex]A \\cdot B= B \\cdot A=I_n[\/tex]. Se [tex]A[\/tex] n\u00e3o \u00e9 invers\u00edvel, dizemos que \u00e9 uma matriz singular.<\/p>\n

Teorema:<\/strong> Se [tex]A[\/tex] \u00e9 uma matriz invers\u00edvel, ent\u00e3o \u00e9 \u00fanica a matriz [tex]B[\/tex] tal que [tex]A \\cdot B= B \\cdot A=I_n[\/tex].<\/p>\n

Demonstra\u00e7\u00e3o:<\/strong> Suponha que exista uma matriz [tex]C[\/tex] tal que [tex]A \\cdot C= C \\cdot A=I_n[\/tex]. Ent\u00e3o:<\/p>\n

[tex]C=I_n \\cdot C=(B \\cdot A) \\cdot C=B \\cdot (A \\cdot C)= B \\cdot I_n=B[\/tex].<\/p>\n

Defini\u00e7\u00e3o: <\/strong>Dada uma matriz invers\u00edvel [tex]A[\/tex] de ordem [tex]n[\/tex], chamamos inversa de [tex]A[\/tex] a matriz [tex]A^{-1}[\/tex], que \u00e9 \u00fanica, tal que [tex]A \\cdot A^{-1}= A^{-1} \\cdot A=I_n[\/tex]. Observe que a matriz [tex]A^{-1}[\/tex], quando existe, tamb\u00e9m \u00e9 quadrada de ordem [tex]n[\/tex].<\/p>\n

Exemplo:<\/strong> Vamos calcular a inversa da matriz de ordem [tex]2[\/tex] dada por [tex]A=\\begin{bmatrix}
\n7 & -3\\\\
\n-2 & 1
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex].<\/p>\n
\n <\/p>\n
\nA princ\u00edpio, precisar\u00edamos verificar a exist\u00eancia da inversa dessa matriz, mas isso s\u00f3 \u00e9 poss\u00edvel com o aux\u00edlio da teoria dos determinantes. Vamos aprender em breve em outra sala sobre determinantes a condi\u00e7\u00e3o para que uma matriz admita inversa. No nosso exemplo, \u00e9 poss\u00edvel achar a inversa da matriz dada.<\/p>\n

A inversa de [tex]A[\/tex], se existir, \u00e9 a matriz [tex]A^{-1}[\/tex], tamb\u00e9m de ordem [tex]2[\/tex]. Portanto, consideremos [tex]A^{-1}=\\begin{bmatrix}
\nx & y\\\\
\nz & w
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex].<\/p>\n

Sabemos que [tex]A \\cdot A^{-1}= I_2[\/tex]. Logo:<\/p>\n

[tex]\\qquad A \\cdot A^{-1}=\\begin{bmatrix}
\n7 & -3\\\\
\n-2 & 1
\n\\end{bmatrix}
\n\\cdot \\begin{bmatrix}
\nx & y\\\\
\nz & w
\n\\end{bmatrix}
\n=\\begin{bmatrix}
\n1 & 0\\\\
\n0 & 1
\n\\end{bmatrix}
\n,[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{bmatrix}
\n7x-3z & 7y-3w\\\\
\n-2x+z & -2y+w
\n\\end{bmatrix}
\n= \\begin{bmatrix}
\n1 & 0\\\\
\n0 & 1
\n\\end{bmatrix}.
\n[\/tex]<\/p>\n

Donde montamos os sistemas: [tex]\\qquad \\begin{cases}
\n7x-3z=1\\\\
\n-2x+z=0
\n\\end{cases}[\/tex] e [tex]\\begin{cases}
\n7y-3w=0\\\\
\n-2y+w=1
\n\\end{cases}[\/tex].<\/p>\n

Cujas solu\u00e7\u00f5es, respectivas, s\u00e3o [tex]x=1, z=2, y=3, w=7[\/tex]. Logo, a matriz \u00e9 [tex]A^{-1}=\\begin{bmatrix}
\n1 & 3\\\\
\n2 & 7
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex].\n <\/p><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

D\u00e1 pra imaginar o trabalh\u00e3o que d\u00e1 fazer a inversa de uma matriz quadrada de ordem [tex]3[\/tex]? A cada aumento de ordem da matriz, fica mais trabalhoso o c\u00e1lculo para determinar sua inversa, quando ela existe. O estudo dos determinantes \u00e9 primordial para a determina\u00e7\u00e3o de inversas de matrizes quadradas. O estudo das chamadas matrizes elementares tamb\u00e9m \u00e9 muito \u00fatil, mas foge do escopo desta sala.<\/p>\n

\n
\n
\n

Exerc\u00edcios Propostos<\/p>\n

<\/br><\/p>\n

1. (Enem 2021) Uma construtora, pretendendo investir na constru\u00e7\u00e3o de im\u00f3veis em uma metr\u00f3pole com cinco grandes regi\u00f5es, fez uma pesquisa sobre a quantidade de fam\u00edlias que mudaram de uma regi\u00e3o para outra, de modo a determinar qual regi\u00e3o foi o destino do maior fluxo de fam\u00edlias, sem levar em considera\u00e7\u00e3o o n\u00famero de fam\u00edlias que deixaram a regi\u00e3o. Os valores da pesquisa est\u00e3o dispostos em uma matriz [tex]A=(a_{ij}), i, j \\in \\{1, 2, 3, 4, 5\\}[\/tex], em que o elemento [tex]a_{ij}[\/tex] corresponde ao total de fam\u00edlias (em dezenas) que se mudaram da regi\u00e3o [tex]i[\/tex] para a regi\u00e3o [tex]j[\/tex] durante um certo per\u00edodo, e o elemento [tex]a_{ii}[\/tex] \u00e9 considerado nulo, uma vez que somente s\u00e3o consideradas mudan\u00e7as entre regi\u00f5es distintas. A seguir, est\u00e1 apresentada a matriz com os dados da pesquisa.<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{bmatrix}
\n0 & 4 & 2 & 2 & 5 \\\\
\n0 & 0 & 6 & 2 & 3 \\\\
\n2 & 2 & 0 & 3 & 0 \\\\
\n1 & 0 & 2 & 0 & 4 \\\\
\n1 & 2 & 0 & 4 & 0
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

Qual regi\u00e3o foi selecionada para o investimento da construtora? <\/p>\n

a) 1
\nb) 2
\nc) 3
\nd) 4
\ne) 5 <\/p>\n

\n <\/p>\n
\nE.\n <\/div>\n<\/div>\n
\n <\/p>\n
\nA regi\u00e3o [tex]1[\/tex] recebeu [tex]0+2+1+1=4[\/tex] dezenas de fam\u00edlias.
\nA regi\u00e3o [tex]2[\/tex] recebeu [tex]4+2+0+2=8[\/tex] dezenas de fam\u00edlias.
\nA regi\u00e3o [tex]3[\/tex] recebeu [tex]2+6+2+0=10[\/tex] dezenas de fam\u00edlias.
\nA regi\u00e3o [tex]4[\/tex] recebeu [tex]2+2+3+4=11[\/tex] dezenas de fam\u00edlias.
\nA regi\u00e3o [tex]5[\/tex] recebeu [tex]5+3+0+4=12[\/tex] dezenas de fam\u00edlias.
\nPortanto, a regi\u00e3o [tex]5[\/tex] foi a selecionada para o investimento da construtora.\n <\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

2. (Enem 2019) Um professor aplica, durante os cinco dias \u00fateis de uma semana, testes com quatro quest\u00f5es de m\u00faltipla escolha a cinco alunos. Os resultados foram representados na matriz.<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{bmatrix}
\n3 & 2 & 0 & 1 & 2 \\\\
\n3 & 2 & 4 & 1 & 2 \\\\
\n2 & 2 & 2 & 3 & 2 \\\\
\n3 & 2 & 4 & 1 & 0 \\\\
\n0 & 2 & 0 & 4 & 4
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

Nessa matriz os elementos das linhas de [tex]1[\/tex] a [tex]5[\/tex] representam as quantidades de quest\u00f5es acertadas pelos alunos Ana, Bruno, Carlos, Denis e \u00c9rica, respectivamente, enquanto que as colunas de [tex]1[\/tex] a [tex]5[\/tex] indicam os dias da semana, de segunda-feira a sexta-feira, respectivamente, em que os testes foram aplicados. O teste que apresentou maior quantidade de acertos foi o aplicado na <\/p>\n

a) segunda-feira.
\nb) ter\u00e7a-feira.
\nc) quarta-feira.
\nd) quinta-feira.
\ne) sexta-feira. <\/p>\n

\n <\/p>\n
\nA.\n <\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nSeja [tex]a_{ij}[\/tex] cada elemento da matriz dada, em que [tex]i[\/tex] e [tex]j[\/tex] denotam, respectivamente, a linha e a coluna em que [tex]a_{ij}[\/tex] se encontra. Logo, vem:<\/p>\n

Acertos nos testes da segunda-feira: [tex]\\qquad \\sum\\limits_{i=1}^{5} a_{i1}=3+3+2+3+0=11;[\/tex]
\nAcertos nos testes da ter\u00e7a-feira: [tex]\\qquad \\sum\\limits_{i=1}^{5} a_{i2}=2+2+2+2+2=10;[\/tex]
\nAcertos nos testes da quarta-feira: [tex]\\qquad \\sum\\limits_{i=1}^{5} a_{i3}=0+4+2+4+0=10;[\/tex]
\nAcertos nos testes da quinta-feira: [tex]\\qquad \\sum\\limits_{i=1}^{5} a_{i4}=1+1+3+1+4=10;[\/tex]
\nAcertos nos testes da sexta-feira: [tex]\\qquad \\sum\\limits_{i=1}^{5} a_{i5}=2+2+2+0+4=10.[\/tex]<\/p>\n

Portanto, o teste que apresentou maior quantidade de acertos foi o aplicado na segunda-feira.\n <\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

3. (Enem 2018) A Transfer\u00eancia Eletr\u00f4nica Dispon\u00edvel (TED) \u00e9 uma transa\u00e7\u00e3o financeira de valores entre diferentes bancos. Um economista decide analisar os valores enviados por meio de TEDs entre cinco bancos [tex](1, 2, 3, 4[\/tex] e [tex]5[\/tex]) durante um m\u00eas. Para isso, ele disp\u00f5e esses valores em uma matriz [tex]A=(a_{ij})[\/tex], em que [tex]1 \\leq i \\leq 5[\/tex] e [tex]1 \\leq j \\leq 5[\/tex], e o elemento [tex]a_{ij}[\/tex] corresponde ao total proveniente das opera\u00e7\u00f5es feitas via TED, em milh\u00e3o de real, transferidos do banco [tex]i[\/tex] para o banco [tex]j[\/tex] durante o m\u00eas. Observe que os elementos [tex]a_{ii}=0[\/tex], uma vez que TED \u00e9 uma transfer\u00eancia entre bancos distintos. Esta \u00e9 a matriz obtida para essa an\u00e1lise:<\/p>\n

[tex]\\qquad A=\\begin{bmatrix}
\n0 & 2 & 0 & 2 & 2 \\\\
\n0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\\\
\n1 & 2 & 0 & 1 & 1 \\\\
\n0 & 2 & 2 & 0 & 0 \\\\
\n3 & 0 & 1 & 1 & 0
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

Com base nessas informa\u00e7\u00f5es, o banco que transferiu a maior quantia via TED \u00e9 o banco <\/p>\n

a) [tex]1.[\/tex]
\nb) [tex]2.[\/tex]
\nc) [tex]3.[\/tex]
\nd) [tex]4.[\/tex]
\ne) [tex]5.[\/tex] <\/p>\n

\n <\/p>\n
\nA.\n <\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nTem-se que os totais transferidos, em milh\u00f5es, por cada um dos bancos foram, respectivamente,<\/p>\n

[tex]\\qquad \\sum\\limits_{j=1}^{5} a_{1j}=0+2+0+2+2=6;[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\sum\\limits_{j=1}^{5} a_{2j}=0+0+2+1+0=3;[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\sum\\limits_{j=1}^{5} a_{3j}=1+2+0+1+1=5;[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\sum\\limits_{j=1}^{5} a_{4j}=0+2+2+0+0=4;[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\sum\\limits_{j=1}^{5} a_{5j}=3+0+1+1+0=5.[\/tex]<\/p>\n

Portanto, \u00e9 f\u00e1cil ver que a resposta \u00e9 o banco [tex]1[\/tex].\n <\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

4. (Enem 2012) Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas num\u00e9ricas da tabela formavam uma matriz [tex]4 \\times 4[\/tex], e que poderia calcular as m\u00e9dias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possu\u00edam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu \u00e9 mostrada a seguir.<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{array}{|c|c|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\textbf{Disciplina} & \\textbf{Bimestre 1} & \\textbf{Bimestre 2} & \\textbf{Bimestre 3} & \\textbf{Bimestre 4} \\\\ \\hline
\nMatem\u00e1tica & 5,9 & 6,2 & 4,5 & 5,5 \\\\ \\hline
\nPortugu\u00eas & 6,6 & 7,1 & 6,5 & 8,4 \\\\ \\hline
\nGeografia & 8,6 & 6,8 & 7,8 & 9,0 \\\\ \\hline
\nHist\u00f3ria & 6,2 & 5,6 & 5,9 & 7,7 \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

Para obter essas m\u00e9dias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por <\/p>\n

a)[tex]\\begin{bmatrix}
\n\\dfrac{1}{2} & \\dfrac{1}{2} & \\dfrac{1}{2} & \\dfrac{1}{2}\\\\
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

b) [tex]\\begin{bmatrix}
\n\\dfrac{1}{4} & \\dfrac{1}{4} & \\dfrac{1}{4} & \\dfrac{1}{4}\\\\
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

c) [tex]\\begin{bmatrix}
\n1\\\\
\n1\\\\
\n1\\\\
\n1
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

d) [tex]\\begin{bmatrix}
\n\\dfrac{1}{2}\\\\
\n\\dfrac{1}{2}\\\\
\n\\dfrac{1}{2}\\\\
\n\\dfrac{1}{2}
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

e) [tex]\\begin{bmatrix}
\n\\dfrac{1}{4}\\\\
\n\\dfrac{1}{4}\\\\
\n\\dfrac{1}{4}\\\\
\n\\dfrac{1}{4}
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nE.\n <\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nA m\u00e9dia de cada mat\u00e9ria \u00e9 a soma das notas dividida por [tex]4[\/tex], e a \u00fanica matriz que possibilita esta condi\u00e7\u00e3o \u00e9 a da alternativa e.<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{bmatrix}
\n5,9 & 6,2 & 4,5 & 5,5\\\\
\n6,6 & 7,1 & 6,5 & 8,4\\\\
\n8,6 & 6,8 & 7,8 & 9,0\\\\
\n6,2 & 5,6 & 6,9 & 7,7
\n\\end{bmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{bmatrix}
\n\\dfrac{1}{4}\\\\
\n\\dfrac{1}{4}\\\\
\n\\dfrac{1}{4}\\\\
\n\\dfrac{1}{4}
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n\\dfrac{5,9+6,2+4,5+5,5}{4}\\\\
\n\\dfrac{6,6+7,1+6,5+8,4}{4}\\\\
\n\\dfrac{8,6+6,8+7,8+9}{4}\\\\
\n\\dfrac{6,2+5,6+5,9+7,7}{4}
\n\\end{bmatrix}.[\/tex]\n <\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

5. (Enem 2023) Os candidatos A, B e C participaram de um concurso composto por uma prova de Matem\u00e1tica, uma de Portugu\u00eas e outra de Geografia, sendo os pesos dessas tr\u00eas provas diferentes. As notas obtidas por esses tr\u00eas candidatos e os pesos atribu\u00eddos a essas provas est\u00e3o representados nas tabelas:<\/p>\n

[tex]\\textbf{Tabela I (Notas)}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\begin{array}{|c|c|c|c|}
\n\\hline
\n\\textbf{Candidato} & \\textbf{Matem\u00e1tica} & \\textbf{Portugu\u00eas} & \\textbf{Geografia} \\\\ \\hline
\nA & 9 & 6 & 7 \\\\ \\hline
\nB & 8 & 7 & 8 \\\\ \\hline
\nC & 9 & 5 & 6 \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\textbf{Tabela II (Pesos)}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\begin{array}{|c|c|}
\n\\hline
\n\\textbf{Mat\u00e9rias} & \\textbf{Pesos} \\\\ \\hline
\n\\text{Matem\u00e1tica} & 3 \\\\ \\hline
\n\\text{Portugu\u00eas} & 2 \\\\ \\hline
\n\\text{Geografia} & 1 \\\\ \\hline
\n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

As notas finais s\u00e3o obtidas somando-se os produtos das notas pelos respectivos pesos. As notas finais dos tr\u00eas candidatos podem ser obtidas multiplicando-se a matriz das notas dos tr\u00eas candidatos nas tr\u00eas provas pela matriz dos pesos das tr\u00eas provas. A matriz das notas finais dos tr\u00eas candidatos \u00e9<\/p>\n

a)[tex]\\begin{bmatrix}
\n52 & 37 & 43\\\\
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

b) [tex]\\begin{bmatrix}
\n46\\\\
\n46\\\\
\n43\\\\
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

c) [tex]\\begin{bmatrix}
\n66\\\\
\n46\\\\
\n20\\\\
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

d) [tex]\\begin{bmatrix}
\n27 & 12 & 7\\\\
\n24 & 14 & 8\\\\
\n27 & 10 & 6\\\\
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

e) [tex]\\begin{bmatrix}
\n27 & 18 & 21\\\\
\n16 & 14 & 16\\\\
\n9 & 5 & 6\\\\
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nB.\n <\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nAs notas finais dos tr\u00eas candidatos podem ser obtidas multiplicando-se a matriz das notas dos tr\u00eas candidatos nas tr\u00eas provas pela matriz dos pesos das tr\u00eas provas. A matriz das notas finais dos tr\u00eas candidatos \u00e9<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{bmatrix}
\n9 & 6 & 7\\\\
\n8 & 7 & 8\\\\
\n9 & 5 & 6\\\\
\n\\end{bmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{bmatrix}
\n3\\\\
\n2\\\\
\n1
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n9 \\cdot 3+6 \\cdot 2+7 \\cdot 1 \\\\
\n8 \\cdot 3+7 \\cdot 2+8 \\cdot 1 \\\\
\n9 \\cdot 3+5 \\cdot 2+6 \\cdot 1\\\\
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n46 \\\\
\n46 \\\\
\n43 \\\\
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex].<\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

6. Construir a matriz [tex]A=(a_{ij})_{3 \\times 3}[\/tex] tal que [tex]a_{ij}=i-j[\/tex].<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n[tex]\\qquad a_{11}=1-1=0, a_{12}=1-2=-1, a_{13}=1-3=-2[\/tex],
\n[tex]\\qquad a_{21}=2-1=1, a_{22}=2-2=0, a_{23}=2-3=-1[\/tex],
\n[tex]\\qquad a_{31}=3-1=2, a_{32}=3-2=1, a_{33}=3-3=0[\/tex].<\/p>\n

A matriz procurada \u00e9 [tex]\\begin{bmatrix}
\n0 & -1 & -2\\\\
\n1 & 0 & -1\\\\
\n2 & 1 & 0
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex].<\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

7. Dadas as matrizes [tex]A=\\begin{bmatrix}
\n1 & 5 & 7\\\\
\n3 & 9 & 11
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex], [tex]B=\\begin{bmatrix}
\n2 & 4 & 6\\\\
\n8 & 10 & 12
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex] e [tex]\\begin{bmatrix}
\n0 & -1 & -5\\\\
\n1 & 4 & 7
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex], calcule [tex]A+B+C[\/tex], [tex]A-B+C[\/tex], [tex]A-B-C[\/tex], [tex]-A+B-C[\/tex].<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n[tex]\\qquad A+B+C=\\begin{bmatrix}
\n1 & 5 & 7\\\\
\n3 & 9 & 11
\n\\end{bmatrix}
\n+\\begin{bmatrix}
\n2 & 4 & 6\\\\
\n8 & 10 & 12
\n\\end{bmatrix}
\n+\\begin{bmatrix}
\n0 & -1 & -5\\\\
\n1 & 4 & 7
\n\\end{bmatrix}
\n=\\begin{bmatrix}
\n3 & 8 & 8\\\\
\n12 & 23 & 30
\n\\end{bmatrix}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad A-B+C= \\begin{bmatrix}
\n1 & 5 & 7\\\\
\n3 & 9 & 11
\n\\end{bmatrix}
\n-\\begin{bmatrix}
\n2 & 4 & 6\\\\
\n8 & 10 & 12
\n\\end{bmatrix}
\n+\\begin{bmatrix}
\n0 & -1 & -5\\\\
\n1 & 4 & 7
\n\\end{bmatrix}
\n=\\begin{bmatrix}
\n-1 & 0 & -4\\\\
\n-4 & 3 & 6
\n\\end{bmatrix}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad A-B-C=\\begin{bmatrix}
\n1 & 5 & 7\\\\
\n3 & 9 & 11
\n\\end{bmatrix}
\n-\\begin{bmatrix}
\n2 & 4 & 6\\\\
\n8 & 10 & 12
\n\\end{bmatrix}
\n-\\begin{bmatrix}
\n0 & -1 & -5\\\\
\n1 & 4 & 7
\n\\end{bmatrix}
\n=\\begin{bmatrix}
\n-1 & 2 & 6\\\\
\n-6 & -5 & -8
\n\\end{bmatrix}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad -A+B-C=-\\begin{bmatrix}
\n1 & 5 & 7\\\\
\n3 & 9 & 11
\n\\end{bmatrix}
\n+\\begin{bmatrix}
\n2 & 4 & 6\\\\
\n8 & 10 & 12
\n\\end{bmatrix}
\n-\\begin{bmatrix}
\n0 & -1 & -5\\\\
\n1 & 4 & 7
\n\\end{bmatrix}
\n=\\begin{bmatrix}
\n1 & 0 & 4\\\\
\n4 & -5 & -6
\n\\end{bmatrix}[\/tex]. <\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

8. Resolva a equa\u00e7\u00e3o matricial [tex]\\begin{bmatrix}
\na & b\\\\
\nc & d
\n\\end{bmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{bmatrix}
\n3 & 1\\\\
\n-2 & 2
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n5 & 7\\\\
\n-5 & 9
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex].<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\begin{bmatrix}
\n3a-2b & a+2b\\\\
\n3c-2d & c+2d
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n5 & 7\\\\
\n-5 & 9
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex].<\/p>\n

Da\u00ed:<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{cases}
\n3a-2b=5 \\\\
\na+2b=7
\n\\end{cases}
\n\\therefore a=3, b=2[\/tex];<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{cases}
\n3c-2d=-5 \\\\
\nc+2d=9
\n\\end{cases}
\n\\therefore c=1, d=4
\n[\/tex].<\/p>\n

Portanto, [tex]\\begin{bmatrix}
\na & b\\\\
\nc & d
\n\\end{bmatrix}
\n=
\n\\begin{bmatrix}
\n3 & 2\\\\
\n1 & 4
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex]. <\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

9. Prove que, se [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o matrizes comut\u00e1veis, vale a igualdade: [tex](A+B) \\cdot (A-B)=A^2-B^2[\/tex].<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n Sabemos que [tex]A \\cdot B = B \\cdot A \\iff B \\cdot A-A \\cdot B=0[\/tex]. Assim:<\/p>\n

[tex](A+B) \\cdot (A-B)=A \\cdot (A-B)+B \\cdot (A-B)=A^2-A \\cdot B+B \\cdot A-B^2=A^2+(B \\cdot A -A \\cdot B)-B^2=A^2+0-B^2=A^2-B^2.[\/tex]<\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

10. Determine [tex]x, y, z[\/tex] para que a matriz [tex]\\begin{bmatrix}
\n1 & x & 5 \\\\
\n2 & 7 & -4\\\\
\ny & z & -3
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex] seja sim\u00e9trica.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n[tex]\\qquad x=2, y=5, z=-4[\/tex].\n <\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

11. Determine [tex]x, y, z[\/tex] para que a matriz [tex]\\begin{bmatrix}
\n0 & -4 & 2 \\\\
\nx & 0 & 1-z\\\\
\ny & 2z & 0
\n\\end{bmatrix}
\n[\/tex] seja antissim\u00e9trica.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n[tex]\\qquad x=4, y=-2, z=-1[\/tex].\n <\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

12. Prove que, se [tex]A[\/tex] e [tex]B[\/tex] s\u00e3o matrizes invers\u00edveis de ordem [tex]n[\/tex], ent\u00e3o [tex](A \\cdot B)^{-1}=B^{-1} \\cdot A^{-1}[\/tex].<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nSeja [tex]C=B^{-1} \\cdot A^{-1}[\/tex]. Precisamos mostrar que [tex]C \\cdot (A \\cdot B)=(A \\cdot B) \\cdot C=I_n[\/tex]. De fato,<\/p>\n

[tex]\\qquad C \\cdot (A \\cdot B)=(B^{-1} \\cdot A^{-1}) \\cdot (A \\cdot B)=B^{-1} \\cdot (A^{-1} \\cdot A) \\cdot B=B^{-1} \\cdot I_n \\cdot B=B^{-1} \\cdot B=I_n[\/tex].<\/p>\n

Por outro lado,<\/p>\n

[tex]\\qquad (A \\cdot B) \\cdot C=(A \\cdot B) \\cdot (B^{-1} \\cdot A^{-1})=A \\cdot (B \\cdot B^{-1}) \\cdot A^{-1}=A \\cdot I_n \\cdot A^{-1}=I_n[\/tex].<\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

13. (Fatec-SP) Sejam a matriz [tex]A=\\begin{pmatrix}
\n3 & -1 \\\\
\nx & y
\n\\end{pmatrix}
\n[\/tex], em que [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros reais, e [tex]I_2[\/tex] a matriz identidade de ordem [tex]2[\/tex]. Se [tex]A^2=I_2[\/tex], ent\u00e3o o valor do m\u00f3dulo de [tex]x \\cdot y[\/tex] \u00e9<\/p>\n

a) [tex]0[\/tex].
\nb) [tex]8[\/tex].
\nc) [tex]10[\/tex].
\nd) [tex]16[\/tex].
\ne) [tex]24[\/tex].<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nE.\n <\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n[tex]\\qquad A^2=I \\Rightarrow \\begin{pmatrix}
\n3 & -1 \\\\
\nx & y
\n\\end{pmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{pmatrix}
\n3 & -1 \\\\
\nx & y
\n\\end{pmatrix}
\n=\\begin{pmatrix}
\n1 & 0 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n\\Rightarrow
\n\\begin{pmatrix}
\n9-x & -3-y \\\\
\n3x+xy & -x+y^2
\n\\end{pmatrix}
\n=\\begin{pmatrix}
\n1 & 0 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n[\/tex]. <\/p>\n

Donde achamos [tex]x=8[\/tex] e [tex]y=-3[\/tex], e, finalmente [tex]|x \\cdot y|=24[\/tex].<\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

14. Considerando as matrizes [tex]M_1=\\begin{pmatrix}
\n0 & 1 \\\\
\n1 & 1
\n\\end{pmatrix}[\/tex], [tex] M_2=M_1 \\cdot M_1, M_3=M_2 \\cdot M_1, \\cdots, M_n=M_{n-1} \\cdot M_1[\/tex], o n\u00famero situado na segunda linha e segunda coluna da matriz [tex]M_{10}[\/tex] \u00e9<\/p>\n

a) [tex]56.[\/tex]
\nb) [tex]67.[\/tex]
\nc) [tex]78.[\/tex]
\nd) [tex]89.[\/tex]<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nD.\n <\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nObserve que [tex]M_{10}=M_9 \\cdot M_1, M_9=M_8 \\cdot M_1[\/tex], e assim sucessivamente. Portanto, [tex]M_{10}=(M_1)^{10}[\/tex].
\nFa\u00e7amos algumas multiplica\u00e7\u00f5es:<\/p>\n

[tex]\\qquad M_2= M_1 \\cdot M_1=\\begin{pmatrix}
\n0 & 1 \\\\
\n1 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{pmatrix}
\n0 & 1 \\\\
\n1 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n=
\n\\begin{pmatrix}
\n1 & 1 \\\\
\n1 & 2
\n\\end{pmatrix}[\/tex];<\/p>\n

[tex]\\qquad M_3= M_2 \\cdot M_1=\\begin{pmatrix}
\n1 & 1 \\\\
\n1 & 2
\n\\end{pmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{pmatrix}
\n0 & 1 \\\\
\n1 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n=
\n\\begin{pmatrix}
\n1 & 2 \\\\
\n2 & 3
\n\\end{pmatrix}[\/tex];<\/p>\n

[tex]\\qquad M_4= M_3 \\cdot M_1=\\begin{pmatrix}
\n1 & 2 \\\\
\n2 & 3
\n\\end{pmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{pmatrix}
\n0 & 1 \\\\
\n1 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n=
\n\\begin{pmatrix}
\n2 & 3 \\\\
\n3 & 5
\n\\end{pmatrix}[\/tex];<\/p>\n

[tex]\\qquad M_5= M_4 \\cdot M_1=\\begin{pmatrix}
\n2 & 3 \\\\
\n3 & 5
\n\\end{pmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{pmatrix}
\n0 & 1 \\\\
\n1 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n=
\n\\begin{pmatrix}
\n3 & 5 \\\\
\n5 & 8
\n\\end{pmatrix}[\/tex].<\/p>\n

Observe que o elemento da segunda linha e segunda coluna de cada matriz corresponde \u00e0 seguinte ordem: [tex]1, 2, 3, 5, 8, \\cdots[\/tex]. Perceba que cada elemento, a partir do terceiro, \u00e9 a soma dos dois anteriores (tentem demonstrar este padr\u00e3o!). Assim, em [tex]M_{10}[\/tex], o elemento procurado \u00e9 obtido completando a sequ\u00eancia, ou seja, [tex]1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \\boxed{89}[\/tex]. <\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

[tex]15.[\/tex] (FGV-SP) Sendo [tex]A=\\begin{pmatrix}
\n1 & 1 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{pmatrix}[\/tex] e [tex]B=\\begin{pmatrix}
\n170 \\\\
\n10
\n\\end{pmatrix}[\/tex], a matriz [tex]X=\\begin{pmatrix}
\nx \\\\
\ny
\n\\end{pmatrix}[\/tex] na equa\u00e7\u00e3o [tex]A^{16} \\cdot X=B[\/tex] ser\u00e1<\/p>\n

a) [tex]\\begin{pmatrix}
\n5 \\\\
\n5
\n\\end{pmatrix}[\/tex]<\/p>\n

b) [tex]\\begin{pmatrix}
\n0 \\\\
\n10
\n\\end{pmatrix}[\/tex]<\/p>\n

c) [tex]\\begin{pmatrix}
\n10 \\\\
\n5
\n\\end{pmatrix}[\/tex]<\/p>\n

d) [tex]\\begin{pmatrix}
\n10 \\\\
\n10
\n\\end{pmatrix}[\/tex]<\/p>\n

e) [tex]\\begin{pmatrix}
\n5 \\\\
\n10
\n\\end{pmatrix}[\/tex] <\/p>\n

\n <\/p>\n
\nD.\n <\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n <\/p>\n
\nVeja que
\n[tex]\\qquad A^2= A \\cdot A=\\begin{pmatrix}
\n1 & 1 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{pmatrix}
\n1 & 1 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n=
\n\\begin{pmatrix}
\n1 & 2 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{pmatrix}[\/tex];<\/p>\n

[tex]\\qquad A^3= A^2 \\cdot A=\\begin{pmatrix}
\n1 & 2 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{pmatrix}
\n1 & 1 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n=
\n\\begin{pmatrix}
\n1 & 3 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{pmatrix}[\/tex] e assim por diante.<\/p>\n

Desse modo, conclu\u00edmos que [tex]A^{16}=\\begin{pmatrix}
\n1 & 16 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n[\/tex].<\/p>\n

(Tentem demonstrar este padr\u00e3o!)<\/p>\n

Assim, [tex]A^{16} \\cdot X=B[\/tex] pode ser escrito como [tex] \\begin{pmatrix}
\n1 & 16 \\\\
\n0 & 1
\n\\end{pmatrix}
\n\\cdot
\n\\begin{pmatrix}
\nx \\\\
\ny
\n\\end{pmatrix}
\n=
\n\\begin{pmatrix}
\n170 \\\\
\n10
\n\\end{pmatrix}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad \\begin{pmatrix}
\nx+16y \\\\
\ny
\n\\end{pmatrix}=
\n\\begin{pmatrix}
\n170 \\\\
\n10
\n\\end{pmatrix}
\n[\/tex],
\ndonde encontramos [tex]X=\\begin{pmatrix}
\n10 \\\\
\n10
\n\\end{pmatrix}
\n[\/tex].\n<\/p><\/div>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n
\n

Equipe COM – OBMEP<\/strong><\/span><\/p>\n<\/div>\n

<\/p>\n

\n

\n\n\n
\n\"\"\n <\/td>\n\n<\/p>\n

Esperamos que voc\u00ea tire proveito da explana\u00e7\u00e3o feita aqui.
\nNosso objetivo \u00e9 tentar sempre facilitar o seu entendimento sobre assuntos importantes da Matem\u00e1tica.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

\n

\nRefer\u00eancias:<\/strong>
\n[1] <\/strong>ANTON, Howard; RORRES, Chris. \u00c1lgebra Linear \u2013 Com Aplica\u00e7\u00f5es \u2013 10\u00aa Ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
\n[2] <\/strong>Aplica\u00e7\u00f5es de matrizes \u2013 Matreem\u00e1tica. Dispon\u00edvel em: http:\/\/lirte.pesquisa.ufabc.edu.br\/matreematica\/a-matematica-do-cotidiano\/ramos\/algebra\/algebra-linear\/aplicacoes-de-matrizes\/. Acesso em: 23 ago. 2024.
\n[3] <\/strong>ARFKEN, George B; WEBER, Hans J; HARRIS, Frank E. F\u00edsica Matem\u00e1tica: M\u00e9todos Matem\u00e1ticos para Engenharia e F\u00edsica \u2013 7\u00aa Ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2017.
\n[4] <\/strong>KILHIAN, K. Matrizes e o Controle de Tr\u00e1fego. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.obaricentrodamente.com\/2011\/06\/matrizes-e-o-controle-de-trafego.html. Acesso em: 23 ago. 2024a.
\n[5] <\/strong>KILHIAN, K. Cayley e a Teoria das Matrizes. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.obaricentrodamente.com\/2010\/11\/cayley-e-teoria-das-matrizes.html. Acesso em: 23 ago. 2024b.
\n[6] <\/strong>LESSA, J. R. Matrizes no cotidiano. Dispon\u00edvel em: https:\/\/www.infoescola.com\/matematica\/matrizes-no-cotidiano\/. Acesso em: 23 ago. 2024.
\n[7] <\/strong>LIPSCHUTZ, Seymor; LIPSON, Marc. \u00c1lgebra Linear \u2013 4\u00aa Ed. Porto Alegre: Bookman, 2011.
\n[8] <\/strong>Matriz: o que \u00e9, tipos, opera\u00e7\u00f5es, exemplos, 30 abr. 2007. Dispon\u00edvel em: https:\/\/brasilescola.uol.com.br\/matematica\/matriz.htm. Acesso em: 23 ago. 2024.\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Matrizes Um pouco de Hist\u00f3ria H\u00e1 pouco mais de 150 anos, o estudo das matrizes tomou maiores propor\u00e7\u00f5es. O primeiro matem\u00e1tico a lhes dar um nome parece ter sido Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857), em 1826. Por\u00e9m, o nome matriz s\u00f3 veio com James Joseph Sylvester (1814-1897), em 1850. Seu amigo Arthur Cayley (1821\u20131895), com … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":255,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-222213","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/222213","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/255"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=222213"}],"version-history":[{"count":120,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/222213\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":223742,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/222213\/revisions\/223742"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=222213"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}