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Problema Extra\u00eddo de Olimp\u00edada de Matem\u00e1tica do Rio Grande do Sul – 2019<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Logo, [tex]x-1=6\\Rightarrow \\boxed{x=7}[\/tex] ou [tex]x-1=-1\\Rightarrow \\boxed{x=0}[\/tex].<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n <\/p>\n \n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) Mostre que existem apenas dois n\u00fameros inteiros [tex]x[\/tex] tais que [tex]\\qquad (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) = 720.[\/tex] Extra\u00eddo de Olimp\u00edada de Matem\u00e1tica do Rio Grande do Sul – 2019. Solu\u00e7\u00e3o Observe que [tex]x-1, x-2, x-3, x-4, x-5[\/tex] e [tex]x-6[\/tex] s\u00e3o todos n\u00fameros consecutivos (apresentados em ordem decrescente), e … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
\nMostre que existem apenas dois n\u00fameros inteiros [tex]x[\/tex] tais que
\n[tex]\\qquad (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6) = 720.[\/tex]<\/p>\n
\nObserve que [tex]x-1, x-2, x-3, x-4, x-5[\/tex] e [tex]x-6[\/tex] s\u00e3o todos n\u00fameros consecutivos (apresentados em ordem decrescente), e nenhum deles pode ser nulo (do contr\u00e1rio, o produto seria nulo). Logo, s\u00e3o todos positivos, ou todos negativos.
\nRepare que [tex]720 = 6! = 6\\cdot 5\\cdot 4\\cdot 3\\cdot 2\\cdot 1[\/tex]. Essa \u00e9 a \u00fanica maneira de obtermos [tex]720[\/tex] como produto de seis n\u00fameros consecutivos positivos, pois qualquer outra multiplica\u00e7\u00e3o resultaria em um n\u00famero maior.
\nAl\u00e9m disso, podemos ter tamb\u00e9m [tex]720 = (-1)\\cdot (-2)\\cdot (-3)\\cdot (-4)\\cdot (-5)\\cdot (-6)[\/tex]. Essa \u00e9 a \u00fanica maneira de obtermos [tex]720[\/tex] como produto de seis n\u00fameros consecutivos negativos, pois qualquer outra multiplica\u00e7\u00e3o resultaria em um n\u00famero maior. <\/p>\n
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