{"id":221674,"date":"2024-08-15T18:08:49","date_gmt":"2024-08-15T21:08:49","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=221674"},"modified":"2024-08-15T18:08:49","modified_gmt":"2024-08-15T21:08:49","slug":"problemao-volume-complicado-2","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problemao-volume-complicado-2\/","title":{"rendered":".Problem\u00e3o: Volume complicado"},"content":{"rendered":"

\n

\n

Problema
\n (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.)<\/span><\/p>\n

\n(FUVEST) No s\u00f3lido da imagem a seguir, a base [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 um ret\u00e2ngulo de lados [tex]AB = 2\\ell[\/tex] e [tex]AD = \\ell[\/tex], as faces [tex]ABEF[\/tex] e [tex]DCEF[\/tex] s\u00e3o trap\u00e9zios, as faces [tex]ADF[\/tex] e [tex]BCE[\/tex] s\u00e3o tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros e o segmento [tex]\\overline{EF}[\/tex] tem comprimento [tex]\\ell[\/tex].
\n
\"\"<\/center>
\nEncontre, em fun\u00e7\u00e3o de [tex]\\ell[\/tex], o volume desse s\u00f3lido.\n<\/div>\n

\n

\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n

\n

(I)<\/strong> <\/span> O volume de qualquer prisma pode ser calculado pela f\u00f3rmula:<\/p>\n

[tex]V_{prisma}=\u00e1rea\\;da\\;base \\cdot altura[\/tex]<\/center><\/p>\n

(II)<\/strong> <\/span> O volume de qualquer pir\u00e2mide pode ser calculado pela f\u00f3rmula:<\/p>\n

[tex]V_{pir\u00e2mide}=\\dfrac{1}{3} \\cdot \u00e1rea\\;da\\;base \\cdot altura[\/tex]<\/center>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

\nO s\u00f3lido pode ser dividido em tr\u00eas novos s\u00f3lidos: <\/p>\n

1\u00ba) Um prisma triangular de altura [tex]\\ell[\/tex], cuja sec\u00e7\u00e3o reta \u00e9 um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles de lados congruentes com medida [tex]a[\/tex] e altura [tex]h[\/tex] (dist\u00e2ncia entre a aresta [tex]EF[\/tex] e o plano do ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex]).<\/p>\n

\"\"<\/center><\/p>\n

Pelo teorema de Pit\u00e1goras no tri\u00e2ngulo [tex]FGA[\/tex], temos que:
\n

[tex]a^{2}+\\left( \\dfrac{\\ell}{2} \\right) ^2 = {\\ell}^2 \\Rightarrow a = \\dfrac{\\ell \\sqrt{3}}{2}[\/tex].<\/center><\/p>\n

Novamente pelo teorema Pit\u00e1goras, agora no tri\u00e2ngulo [tex]FHG[\/tex]:
\n

[tex]\\left( \\dfrac{\\ell}{2} \\right) ^2 + h^{2}=a^{2}\\Rightarrow h=\\dfrac{\\ell \\sqrt{2}}{2}[\/tex].<\/center><\/p>\n

Assim, pelo lembrete I, o volume desse prisma \u00e9:
\n

[tex]V_{prisma}= \\dfrac{\\ell \\cdot \\dfrac{\\ell \\sqrt{2}}{2}}{2} \\cdot \\ell = \\dfrac{{\\ell}^3 \\sqrt{2}}{4}[\/tex].<\/center><\/p>\n

2\u00ba) E duas pir\u00e2mides de base retangular e altura [tex]h[\/tex] (dist\u00e2ncia entre a aresta [tex]EF[\/tex] e o plano do ret\u00e2ngulo [tex]ABCD[\/tex]).<\/p>\n

\"\"<\/center><\/p>\n

Pelo lembrete II, o volume de cada pir\u00e2mide \u00e9:<\/p>\n

[tex]V_{pir\u00e2mide}= \\dfrac {1}{3} \\cdot \\ell \\cdot \\dfrac{\\ell}{2} \\cdot \\dfrac{\\ell \\sqrt{2}}{2} = \\dfrac{{\\ell}^3 \\sqrt{2}}{12}[\/tex].<\/center><\/p>\n

Portanto, o volume do s\u00f3lido \u00e9:<\/p>\n

[tex]V_{s\u00f3lido}= \\dfrac{{\\ell}^3 \\sqrt{2}}{4} + 2 \\cdot \\dfrac{{\\ell}^3 \\sqrt{2}}{12} = \\dfrac{5{\\ell}^3 \\sqrt{2}}{12}[\/tex].<\/center><\/p>\n
\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M.) (FUVEST) No s\u00f3lido da imagem a seguir, a base [tex]ABCD[\/tex] \u00e9 um ret\u00e2ngulo de lados [tex]AB = 2\\ell[\/tex] e [tex]AD = \\ell[\/tex], as faces [tex]ABEF[\/tex] e [tex]DCEF[\/tex] s\u00e3o trap\u00e9zios, as faces [tex]ADF[\/tex] e [tex]BCE[\/tex] s\u00e3o tri\u00e2ngulos equil\u00e1teros e o segmento [tex]\\overline{EF}[\/tex] tem comprimento [tex]\\ell[\/tex]. Encontre, … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":668,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-221674","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/221674","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/668"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=221674"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/221674\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":222152,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/221674\/revisions\/222152"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=221674"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}