{"id":221567,"date":"2024-08-13T18:23:20","date_gmt":"2024-08-13T21:23:20","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=221567"},"modified":"2024-08-13T18:23:20","modified_gmt":"2024-08-13T21:23:20","slug":"problema-redondeza","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/problema-redondeza\/","title":{"rendered":".Problema: Redondeza"},"content":{"rendered":"

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Problema
\n (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n

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O Quociente Isoperim\u00e9trico \u00e9 um \u00edndice usado para medir o quanto uma figura planar, que possui per\u00edmetro e \u00e1rea, \u00e9 redonda. Dada uma figura [tex]F[\/tex] com \u00e1rea [tex]A_f[\/tex] e per\u00edmetro [tex]P_f[\/tex], o Quociente Isoperim\u00e9trico [tex]I_f[\/tex] para esta figura \u00e9 calculado por
\n[tex]\\qquad I_f=\\dfrac{4\\pi A_f}{P_f^2}.[\/tex]
\nPode ser mostrado que, para qualquer figura [tex]F[\/tex], tem-se [tex]0\\lt I_f \\leq 1[\/tex] e que, quanto mais redonda for a figura, mais pr\u00f3ximo de [tex]1[\/tex] estar\u00e1 o \u00edndice [tex]I_f[\/tex].
\na) Calcule o valor do Quociente Isoperim\u00e9trico para um c\u00edrculo.
\nb) Use o Quociente Isoperim\u00e9trico para classificar, do menos redondo ao mais redondo, um quadrado, um hex\u00e1gono regular e um semic\u00edrculo. Use uma calculadora cient\u00edfica para calcular o valor das constantes envolvidas. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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a) Um c\u00edrculo [tex]C[\/tex] de raio [tex]r[\/tex] tem per\u00edmetro [tex]2\\pi r[\/tex] e \u00e1rea [tex]\\pi r^2[\/tex]. O Quociente Isoperim\u00e9trico para este c\u00edrculo ser\u00e1 ent\u00e3o:
\n[tex]\\qquad I_C=\\dfrac{4 \\pi (\\pi r^2)}{(2 \\pi r)^2}=\\dfrac{4 \\pi^2 r^2}{4 \\pi^2 r^2}=1.[\/tex]
\nComo esperado, o c\u00edrculo \u00e9 totalmente redondo. <\/p>\n

b) Um quadrado [tex]Q[\/tex] de lado [tex]l[\/tex] possui per\u00edmetro [tex]4l[\/tex] e \u00e1rea [tex]l^2[\/tex]. Assim:
\n[tex]\\qquad I_Q=\\dfrac{4 \\pi (l^2)}{(4 l)^2}=\\dfrac{4 \\pi l^2}{16 l^2}=\\dfrac{\\pi}{4}\\approx 0,785.[\/tex]<\/p>\n

Um hex\u00e1gono regular [tex]H[\/tex] de lado [tex]l[\/tex] possui per\u00edmetro [tex]6l[\/tex] e \u00e1rea [tex]\\qquad \\dfrac{3\\sqrt{3}l^2}{2}[\/tex]. Assim:
\n[tex]\\qquad I_H=\\dfrac{4 \\pi \\dfrac{3\\sqrt{3}l^2}{2}}{(6 l)^2}=\\dfrac{12\\pi \\sqrt{3} l^2}{72 l^2}=\\dfrac{\\pi\\sqrt{3}}{6}\\approx 0,907.[\/tex]<\/p>\n

Um semic\u00edrculo [tex]S[\/tex] de raio [tex]r[\/tex] possui per\u00edmetro [tex]2r+\\pi r[\/tex] e \u00e1rea [tex]\\dfrac{\\pi r^2}{2}[\/tex]. Assim:
\n[tex]\\qquad I_S=\\dfrac{4 \\pi \\dfrac{\\pi r^2}{2}}{( 2r+\\pi r)^2}=\\dfrac{4 \\pi^2 r^2}{2 (2+\\pi)^2 r^2}=2\\left( \\dfrac{\\pi}{2+\\pi}\\right)^2\\approx 0,747.[\/tex]<\/p>\n

Dessa forma, a classifica\u00e7\u00e3o do menos redondo para o mais redondo \u00e9: semic\u00edrculo, quadrado e hex\u00e1gono. <\/p>\n

\"\"<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Problema (Indicado a partir do 8\u00ba ano do E. F.) O Quociente Isoperim\u00e9trico \u00e9 um \u00edndice usado para medir o quanto uma figura planar, que possui per\u00edmetro e \u00e1rea, \u00e9 redonda. Dada uma figura [tex]F[\/tex] com \u00e1rea [tex]A_f[\/tex] e per\u00edmetro [tex]P_f[\/tex], o Quociente Isoperim\u00e9trico [tex]I_f[\/tex] para esta figura \u00e9 calculado por [tex]\\qquad I_f=\\dfrac{4\\pi A_f}{P_f^2}.[\/tex] Pode … <\/p>\n

Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":667,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-221567","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/221567","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/667"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=221567"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/221567\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":222086,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/221567\/revisions\/222086"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=221567"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}