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Problema O produto de um milh\u00e3o de n\u00fameros naturais, n\u00e3o necessariamente distintos, \u00e9 igual a um milh\u00e3o. Qual \u00e9 o maior valor poss\u00edvel para a soma desses n\u00fameros?<\/p>\n Extra\u00eddo de OBM [tex]2002[\/tex] – [tex]1^a[\/tex] Fase – N\u00edvel [tex]1[\/tex].<\/strong><\/p>\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Supondo que haja dois n\u00fameros [tex]a[\/tex] e [tex]b[\/tex] maiores do que [tex]1[\/tex], entre os fatores do produto, podemos sempre substituir esses fatores por [tex]ab[\/tex] e [tex]1[\/tex], j\u00e1 que [tex]ab+1 \\gt a+b[\/tex]. Ao fazer isso, estamos mantendo o produto, mantendo a quantidade de fatores, mas aumentando o valor da soma. De fato:<\/p>\n [tex]\\qquad a \\gt 1 \\Rightarrow a \\gt \\dfrac{b-1}{b-1} \\Rightarrow a(b-1) \\gt b-1 \\Rightarrow ab-a \\gt b-1 \\Rightarrow ab+1 \\gt a+b.[\/tex]<\/p>\n Dessa forma, o produto de soma m\u00e1xima \u00e9 dado por [tex]1 \\cdot 1 \\cdot 1 \\cdots 1 \\cdot 1\\ 000\\ 000[\/tex], com [tex]999\\ 999[\/tex] fatores iguais a [tex]1[\/tex] e um fator igual a [tex]1\\ 000\\ 000[\/tex]. A soma desses fatores \u00e9 [tex]1\\ 999\\ 999[\/tex].<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Problema (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.) O produto de um milh\u00e3o de n\u00fameros naturais, n\u00e3o necessariamente distintos, \u00e9 igual a um milh\u00e3o. Qual \u00e9 o maior valor poss\u00edvel para a soma desses n\u00fameros? Extra\u00eddo de OBM [tex]2002[\/tex] – [tex]1^a[\/tex] Fase – N\u00edvel [tex]1[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o Supondo que haja dois n\u00fameros [tex]a[\/tex] e … <\/p>\n
\n (Indicado a partir do 9\u00ba ano do E. F.)<\/span><\/p>\n
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