{"id":221214,"date":"2025-02-04T14:08:03","date_gmt":"2025-02-04T17:08:03","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=221214"},"modified":"2025-02-04T14:08:03","modified_gmt":"2025-02-04T17:08:03","slug":"sala-2-regra-de-chio","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-2-regra-de-chio\/","title":{"rendered":"Sala 2 – Regra de Chi\u00f3"},"content":{"rendered":"
\n

Regra de Chi\u00f3<\/p>\n

\n
\n

\n

Considere uma matriz [tex]M[\/tex] de ordem [tex]n\\geq 2[\/tex], tal que [tex]a_{11}=1[\/tex], ou seja,
\n[tex]\\qquad M = \\begin{bmatrix}
\n1 & a_{12} & a_{13} & a_{14}& \\cdots & a_{1n}\\\\
\na_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24}& \\cdots & a_{2n}\\\\
\na_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34}& \\cdots & a_{3n}\\\\
\na_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44}& \\cdots & a_{4n}\\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots& \\ddots & \\vdots\\\\
\na_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & a_{n4}& \\cdots & a_{nn}
\n\\end{bmatrix}.[\/tex]<\/p>\n

A partir da matriz [tex]M[\/tex] vamos formar uma matriz [tex]M'[\/tex], seguindo os pr\u00f3ximos n-1 passos:
\n[tex]\\qquad[\/tex] 1) adicionamos \u00e0 segunda coluna o resultado da multiplica\u00e7\u00e3o de [tex]-a_{12}[\/tex] pela primeira coluna;
\n[tex]\\qquad[\/tex] 2) adicionamos \u00e0 terceira coluna o resultado da multiplica\u00e7\u00e3o de [tex]-a_{13}[\/tex] pela primeira coluna;
\n[tex]\\qquad[\/tex] 3) adicionamos \u00e0 quarta coluna o resultado da multiplica\u00e7\u00e3o de [tex]-a_{14}[\/tex] pela primeira coluna;
\ne assim por diante, at\u00e9
\n[tex]\\qquad[\/tex] n-1) adicionarmos \u00e0 n-\u00e9sima coluna o resultado da multiplica\u00e7\u00e3o de [tex]-a_{1n}[\/tex] pela primeira coluna. <\/p>\n

Assim, teremos a matriz [tex]M'[\/tex], dada por <\/p>\n

[tex]\\qquad M’ = \\begin{bmatrix}
\n1 & a_{12}-a_{12} & a_{13}-a_{13} & a_{14}-a_{14}& \\cdots & a_{1n}-a_{1n}\\\\
\na_{21} & a_{22}-a_{21}a_{12} & a_{23}-a_{21}a_{13} & a_{24}-a_{21}a_{14}& \\cdots & a_{2n}-a_{21}a_{1n}\\\\
\na_{31} & a_{32}-a_{31}a_{12} & a_{33}-a_{31}a_{13} & a_{34}-a_{31}a_{14}& \\cdots & a_{3n}-a_{31}a_{1n}\\\\
\na_{41} & a_{42}-a_{41}a_{12} & a_{43}-a_{41}a_{13} & a_{44}-a_{41}a_{14}& \\cdots & a_{4n}-a_{41}a_{1n}\\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots& \\ddots & \\vdots\\\\
\na_{n1} & a_{n2}-a_{n1}a_{12} & a_{n3}-a_{n1}a_{13} & a_{n4}-a_{n1}a_{14}& \\cdots & a_{nn}-a_{n1}a_{1n}
\n\\end{bmatrix},[\/tex]<\/p>\n

ou seja, <\/p>\n

[tex]\\qquad M’ = \\begin{bmatrix}
\n1 & 0 & 0& 0& \\cdots & 0\\\\
\na_{21} & a_{22}-a_{21}a_{12} & a_{23}-a_{21}a_{13} & a_{24}-a_{21}a_{14}& \\cdots & a_{2n}-a_{21}a_{1n}\\\\
\na_{31} & a_{32}-a_{31}a_{12} & a_{33}-a_{31}a_{13} & a_{34}-a_{31}a_{14}& \\cdots & a_{3n}-a_{31}a_{1n}\\\\
\na_{41} & a_{42}-a_{41}a_{12} & a_{43}-a_{41}a_{13} & a_{44}-a_{41}a_{14}& \\cdots & a_{4n}-a_{41}a_{1n}\\\\
\n\\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots& \\ddots & \\vdots\\\\
\na_{n1} & a_{n2}-a_{n1}a_{12} & a_{n3}-a_{n1}a_{13} & a_{n4}-a_{n1}a_{14}& \\cdots & a_{nn}-a_{n1}a_{1n}
\n\\end{bmatrix}.[\/tex]<\/p>\n

Pelo teorema de Jacobi, temos [tex]\\det M= \\det M'[\/tex].<\/p>\n

Por outro lado, aplicando o teorema de Laplace na primeira linha da matriz [tex]M'[\/tex], temos<\/p>\n

[tex]\\qquad \\det M’ = 1\\cdot C_{11}+0\\cdot C_{12}+0\\cdot C_{13}+0\\cdot C_{14}+\\cdots +0\\cdot C_{1n}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\det M’ = 1\\cdot C_{11}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\det M’ = 1\\cdot (-1)^{1+1}D_{11}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\det M’ = D_{11}[\/tex], <\/p>\n

onde <\/p>\n

[tex]\\qquad D_{11} = \\begin{vmatrix}
\na_{22}-a_{21}a_{12} & a_{23}-a_{21}a_{13} & a_{24}-a_{21}a_{14}& \\cdots & a_{2n}-a_{21}a_{1n}\\\\
\n a_{32}-a_{31}a_{12} & a_{33}-a_{31}a_{13} & a_{34}-a_{31}a_{14}& \\cdots & a_{3n}-a_{31}a_{1n}\\\\
\na_{42}-a_{41}a_{12} & a_{43}-a_{41}a_{13} & a_{44}-a_{41}a_{14}& \\cdots & a_{4n}-a_{41}a_{1n}\\\\
\n \\vdots & \\vdots & \\vdots& \\ddots & \\vdots\\\\
\na_{n2}-a_{n1}a_{12} & a_{n3}-a_{n1}a_{13} & a_{n4}-a_{n1}a_{14}& \\cdots & a_{nn}-a_{n1}a_{1n}
\n\\end{vmatrix}.[\/tex]<\/p>\n

Portanto, temos <\/p>\n

[tex]\\qquad \\det M = \\det M’ = D_{11}[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\det M = \\begin{vmatrix}
\na_{22}-a_{21}a_{12} & a_{23}-a_{21}a_{13} & a_{24}-a_{21}a_{14}& \\cdots & a_{2n}-a_{21}a_{1n}\\\\
\n a_{32}-a_{31}a_{12} & a_{33}-a_{31}a_{13} & a_{34}-a_{31}a_{14}& \\cdots & a_{3n}-a_{31}a_{1n}\\\\
\na_{42}-a_{41}a_{12} & a_{43}-a_{41}a_{13} & a_{44}-a_{41}a_{14}& \\cdots & a_{4n}-a_{41}a_{1n}\\\\
\n \\vdots & \\vdots & \\vdots& \\ddots & \\vdots\\\\
\na_{n2}-a_{n1}a_{12} & a_{n3}-a_{n1}a_{13} & a_{n4}-a_{n1}a_{14}& \\cdots & a_{nn}-a_{n1}a_{1n}
\n\\end{vmatrix}.[\/tex]<\/p>\n

Observe que reduzimos o problema de calcular o determinante de uma matriz de ordem [tex]n[\/tex], ao c\u00e1lculo do determinante de uma matriz de ordem [tex]n\u22121[\/tex] (uma vez que a \u00faltima matriz representada acima \u00e9 de ordem [tex]n-1[\/tex]), tornando o processo mais simples. A este processo atribu\u00edmos o nome de Regra de Chi\u00f3<\/strong>.<\/p>\n

Exemplo:<\/strong> Utilize a regra de Chi\u00f3 e calcule o determinante da matriz
\n[tex]\\qquad M=\\begin{bmatrix}
\n1 & 3 & 1 & 4 \\\\
\n-1 & 0 & 2 & -2 \\\\
\n3 & 1 & -1 & 0 \\\\
\n0 & 4 & -2 & 3 \\\\
\n\\end{bmatrix}.[\/tex]<\/p>\n

Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Vamos encontrar, de forma mais direta, a matriz [tex]M'[\/tex] obtida segundo os passos da regra de Chi\u00f3:<\/p>\n

[tex]\\qquad M’=\\begin{bmatrix}
\n1&0&0&0\\\\
\n-1&0-(-1)\\cdot 3 & 2-(-1)\\cdot 1 & -2 -(-1)\\cdot 4\\\\
\n3&1-3\\cdot 3 & -1-3\\cdot 1 & 0-3\\cdot 4 \\\\
\n0&4-0\\cdot 3 & -2-0\\cdot 1 & 3-0\\cdot 4 \\\\
\n\\end{bmatrix}[\/tex]<\/p>\n

[tex]\\qquad M’=\\begin{bmatrix}
\n1&0&0&0\\\\
\n-1&3 & 3 & 2\\\\
\n3&-8& -4& -12\\\\
\n0&4& -2& 3\\\\
\n\\end{bmatrix}.[\/tex]<\/p>\n

Portanto,<\/p>\n

[tex]\\qquad \\det M = \\det M’ = \\begin{vmatrix}
\n3 & 3 & 2\\\\
\n-8& -4& -12\\\\
\n4& -2& 3\\\\
\n\\end{vmatrix} = -116[\/tex].<\/p>\n\n\n
\"\"<\/td>\n\n

Neste momento, voc\u00ea deve estar se perguntando: “E se o elemento [tex]a_{11}[\/tex] for diferente de [tex]1[\/tex], ent\u00e3o tudo isso \u00e9 em v\u00e3o?”. Calma! Ainda assim, voc\u00ea poder\u00e1 usar a Regra de Chi\u00f3. Atente para as observa\u00e7\u00f5es abaixo.<\/span><\/p>\n

<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Observa\u00e7\u00f5es:<\/strong>
\n[tex]\\qquad [\/tex]1) Se tivermos, na matriz [tex]M[\/tex], [tex]a_{11}\\neq 1[\/tex], e existir algum outro elemento igual a [tex]1[\/tex] (ou [tex]-1[\/tex]) na matriz, ent\u00e3o podemos, atrav\u00e9s da propriedade de troca de filas paralelas, transformar [tex]M[\/tex] em uma matriz [tex]M'[\/tex] que tenha [tex]a_{11}=1[\/tex]. Veja exemplos de situa\u00e7\u00f5es poss\u00edveis:<\/p>\n