{"id":221009,"date":"2025-02-04T14:13:32","date_gmt":"2025-02-04T17:13:32","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=221009"},"modified":"2025-02-04T14:40:57","modified_gmt":"2025-02-04T17:40:57","slug":"sala-de-estudo-determinantes","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-de-estudo-determinantes\/","title":{"rendered":".Sala de Estudos \u2013 Determinantes"},"content":{"rendered":"
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\n \"\"\n <\/td>\n\n

\n Antes de iniciar a leitura dessa Sala de Estudos, sugerimos fortemente que voc\u00ea d\u00ea uma passadinha na Sala de Matrizes, neste link<\/a>.<\/p>\n

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\n Determinantes<\/strong>\n <\/div>\n
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Na Matem\u00e1tica ocidental antiga n\u00e3o se tem muitos registros de sistemas de equa\u00e7\u00f5es lineares, diferente do Oriente, onde o assunto j\u00e1 era mais discutido entre os chineses, que representavam os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. Acredita-se que, com essa forma de representa\u00e7\u00e3o, eles acabaram descobrindo o m\u00e9todo de resolu\u00e7\u00e3o de sistemas por elimina\u00e7\u00e3o \u2013 anula\u00e7\u00e3o dos coeficientes por meio de opera\u00e7\u00f5es b\u00e1sicas. Exemplos de como era realizado esse procedimento encontram-se em Os Nove Cap\u00edtulos da Arte Matem\u00e1tica<\/em>, um texto que data aproximadamente de 200 a.C. a 100 a.C.<\/p>\n

\"\"Uma p\u00e1gina de Os nove cap\u00edtulos da arte matem\u00e1tica.<\/em><\/strong> <\/br> Imagem extra\u00edda de Wikip\u00e9dia<\/strong><\/a>.<\/p>\n

Na Europa, os determinantes de matrizes de ordem 2 foram estudados pelo matem\u00e1tico italiano Girolamo Cardano<\/strong><\/span><\/a> (1501 \u2013 1576), no final do s\u00e9culo XVI.
\nNo Jap\u00e3o, a no\u00e7\u00e3o de determinante apareceu em 1683, atrav\u00e9s do estudo de sistemas lineares, num trabalho do matem\u00e1tico Seki Takakazu (1642 \u2013 1708), tamb\u00e9m conhecido como Seki K\u014dwa. Dez anos depois, Gottfried Wilhelm Leibniz<\/strong><\/span><\/a> (1646 \u2013 1716) introduziu o uso de determinantes no Ocidente.
\nNo s\u00e9culo XVIII, outros matem\u00e1ticos, como Cramer<\/strong><\/span><\/a>, B\u00e9zout, Laplace<\/strong><\/span><\/a> e Vandermonde tamb\u00e9m publicaram artigos sobre determinantes e deixaram contribui\u00e7\u00f5es importantes, algumas das quais veremos mais adiante.
\nO termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Augustin-Louis Cauchy<\/strong><\/span><\/a> (1789 \u2013 1857), onde ele reprovou os resultados anteriores e apresentou novos resultados, simplificou o que era conhecido at\u00e9 ent\u00e3o sobre determinantes e apresentou uma segunda demonstra\u00e7\u00e3o do teorema da multiplica\u00e7\u00e3o de determinantes.
\nEm 1841, Arthur Cayley<\/strong><\/span><\/a> (1821 \u2013 1895) publicou a primeira contribui\u00e7\u00e3o inglesa para a teoria dos determinantes. Em seu artigo, ele usou duas linhas verticais em cada lado da matriz para denotar o determinante, uma nota\u00e7\u00e3o que agora se tornou padr\u00e3o, bem como explorou propriedades e aplica\u00e7\u00f5es dos determinantes.<\/p>\n

O estudo de determinantes \u00e9 importante em v\u00e1rias \u00e1reas da Matem\u00e1tica e de suas aplica\u00e7\u00f5es pr\u00e1ticas. Abaixo vemos alguns campos onde s\u00e3o aplicados determinantes.<\/p>\n

➤<\/span> Geometria Anal\u00edtica:<\/strong> Determinantes s\u00e3o usados na geometria anal\u00edtica para calcular \u00e1reas de paralelogramos e volumes de paralelep\u00edpedos, bem como para verificar a coplanaridade de pontos no espa\u00e7o.
\n➤<\/span> Teoria dos N\u00fameros:<\/strong> Determinantes est\u00e3o presentes em algumas formula\u00e7\u00f5es e teoremas na teoria dos n\u00fameros, especialmente em problemas relacionados a equa\u00e7\u00f5es diofantinas e teoria dos grupos.
\n➤<\/span> Computa\u00e7\u00e3o Gr\u00e1fica:<\/strong> Em computa\u00e7\u00e3o gr\u00e1fica, determinantes s\u00e3o usados para transforma\u00e7\u00f5es geom\u00e9tricas, como rota\u00e7\u00f5es.
\n➤<\/span> Estat\u00edstica e Probabilidade:<\/strong> Determinantes podem aparecer em contextos estat\u00edsticos, por exemplo, ao calcular a matriz de covari\u00e2ncia em an\u00e1lise estat\u00edstica multivariada.
\n➤<\/span> Economia e Ci\u00eancias Sociais:<\/strong> Modelos econ\u00f4micos e sistemas de equa\u00e7\u00f5es nas ci\u00eancias sociais podem ser analisados usando determinantes.<\/p>\n

Em suma, o estudo dos determinantes \u00e9 indispens\u00e1vel para muitas \u00e1reas da Matem\u00e1tica e das ci\u00eancias, fornecendo ferramentas poderosas para resolver problemas e modelar situa\u00e7\u00f5es em diversos campos.<\/p>\n

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Introdu\u00e7\u00e3o<\/p>\n

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\n \"\"\n <\/td>\n\n

At\u00e9 aqui, muito se falou sobre o desenvolvimento da teoria dos determinantes. Mas, afinal, o que \u00e9 determinante?<\/p>\n

 \n <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Determinante \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o matricial que associa a cada matriz quadrada um escalar, ou seja, \u00e9 uma fun\u00e7\u00e3o que transforma uma matriz quadrada em um n\u00famero real. O determinante de uma matriz [tex]M[\/tex] \u00e9 denotado por [tex]\\det M[\/tex] ou simplesmente [tex]|M|[\/tex].
\nEm termos matem\u00e1ticos, sendo [tex]\\mathcal{M}[\/tex] o conjunto de todas as matrizes quadradas, temos
\n[tex]\\qquad \\begin{align*} \\det: \\mathcal{M} &\\rightarrow \\mathbb{R} \\\\ M &\\mapsto \\det M \\end{align*}[\/tex]<\/p>\n

Assim, as matrizes abaixo, por serem quadradas, possuem determinantes:<\/p>\n

    \n
  • [tex]A =\\begin{bmatrix} 5 \\end{bmatrix}[\/tex];<\/li>\n
  • [tex]B=\\begin{bmatrix} 1 & 4 \\\\ -2 & 4\\end{bmatrix}[\/tex];<\/li>\n
  • [tex]C=\\begin{bmatrix} 1 & 4 & 0 \\\\ -2 & 4 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1\\end{bmatrix}[\/tex];<\/li>\n
  • [tex]D=\\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\\\ -1& 2 & -2 & 0\\\\ 2 & 1 & 1 & 1\\\\ -2 & 1 & 0 & -1\\end{bmatrix}[\/tex].<\/li>\n<\/ul>\n

    Podemos representar o determinante da matriz [tex]C[\/tex] por [tex]\\det C[\/tex], [tex]|C|[\/tex] ou ainda [tex]\\begin{vmatrix} 1 & 4 & 0 \\\\ -2 & 4 & 3 \\\\ 2 & 1 & 1\\end{vmatrix}[\/tex].<\/p>\n

    \n

    Como calcular o determinante?<\/p>\n

    \n

    \n

    O m\u00e9todo utilizado para encontrar o determinante de uma matriz nem sempre \u00e9 o mesmo. Assim, apresentaremos algumas defini\u00e7\u00f5es formais de determinante de matrizes de ordens [tex]n = 1[\/tex], [tex]n=2[\/tex] e [tex]n=3[\/tex]. <\/p>\n

    \n

    \n

    Determinante de uma matriz de ordem [tex]n=1[\/tex]<\/p>\n

    Se [tex]M[\/tex] \u00e9 uma matriz de ordem [tex]n =1[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\det M[\/tex] \u00e9 o \u00fanico elemento de [tex]M[\/tex]. Ou seja, se [tex]M =\\begin{bmatrix} a_{11}\\end{bmatrix}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\det M = a_{11}[\/tex].\n <\/p><\/div>\n

    \n

    \n

    Exemplos: <\/strong>
    \n1) Se [tex]M =\\begin{bmatrix} 5\\end{bmatrix}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\det M = 5[\/tex];
    \n2) Se [tex]N =\\begin{bmatrix} -2\\end{bmatrix}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\det N = -2[\/tex].<\/p>\n

    \n

    \n

    Determinante de uma matriz de ordem [tex]n=2[\/tex]<\/p>\n

    Sendo [tex]M=\\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\\\ a_{21} & a_{22}\\end{bmatrix}[\/tex] uma matriz de ordem [tex]n =2[\/tex], o [tex]\\det M[\/tex] \u00e9 o produto de [tex]a_{11}[\/tex] e [tex]a_{22}[\/tex] menos o produto de [tex]a_{12}[\/tex] e [tex]a_{21}[\/tex]. Ou seja, [tex]\\det M = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}[\/tex].\n <\/p><\/div>\n

    \n

    \n

    Exemplos: <\/strong>
    \n1) Se [tex]M=\\begin{bmatrix} 1 & -2 \\\\ 4 & 3\\end{bmatrix}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\det M = 1\\cdot 3-(-2)\\cdot 4=11[\/tex];
    \n2) Se [tex]N=\\begin{bmatrix} -1 & 0 \\\\ 2 & 7\\end{bmatrix}[\/tex], ent\u00e3o [tex]\\det N = -1\\cdot 7-0\\cdot 2=-7[\/tex].<\/p>\n

    \n

    \n

    Determinante de uma matriz de ordem [tex]n=3[\/tex]<\/p>\n

    Se [tex]M[\/tex] \u00e9 uma matriz de ordem [tex]n =3[\/tex], digamos [tex]M=\\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\end{bmatrix}[\/tex], definimos o determinante de [tex]M[\/tex] por [tex]\\qquad \\det M = a_{11}\\cdot a_{22}\\cdot a_{33}+a_{12}\\cdot a_{23}\\cdot a_{31}+a_{13}\\cdot a_{21}\\cdot a_{32} -a_{13}\\cdot a_{22}\\cdot a_{31} – a_{11}\\cdot a_{23}\\cdot a_{32} -a_{12}\\cdot a_{21}\\cdot a_{33}.[\/tex]\n <\/p><\/div>\n

    \n

    \n

    Exemplos: <\/strong>
    \n1) Se [tex]M=\\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1\\\\ -2 & -1 & 2\\end{bmatrix}[\/tex], ent\u00e3o
    \n[tex]\\qquad \\begin{align}\\det M &= 1\\cdot 1\\cdot 2+(-2)\\cdot (-1)\\cdot (-2)+3\\cdot 2\\cdot (-1) -3\\cdot 1\\cdot (-2) – 1\\cdot (-1)\\cdot (-1) -(-2)\\cdot 2\\cdot 2\\\\
    \n\\det M &= 2-4-6+6-1+8\\\\
    \n\\det M &= 5;\\end{align}[\/tex]
    \n2) Se [tex]N=\\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & -2 & 1\\end{bmatrix}[\/tex], ent\u00e3o
    \n[tex]\\qquad \\begin{align}\\det N &= 1\\cdot (-1)\\cdot 1+ 2\\cdot 1\\cdot 0+3\\cdot 0\\cdot (-2) -3\\cdot (-1)\\cdot 0 – 1\\cdot 1\\cdot (-2) -2\\cdot 0\\cdot 1\\\\
    \n\\det N &= -1+0+0+0+2+0\\\\
    \n\\det N &= 1.\\end{align}[\/tex]<\/p>\n

    \n<\/p><\/div>\n

     <\/p>\n

    Voc\u00ea deve ter achado um tanto complicada a defini\u00e7\u00e3o de determinante para o caso de matrizes de ordem [tex]n=3[\/tex], n\u00e3o \u00e9 mesmo? Por consequ\u00eancia, vamos apresentar uma maneira de memorizar com mais facilidade a express\u00e3o do determinante [tex]\\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\end{vmatrix}[\/tex]:<\/p>\n

      \n
    1. Repita, do lado direito da matriz [tex]M[\/tex], suas duas primeiras colunas, conforme esquema abaixo.
      \n[tex]\\qquad \\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\end{vmatrix}
      \n\\begin{array}{cc}
      \n a_{11} & a_{12} \\\\
      \n a_{21} & a_{22} \\\\
      \n a_{31} & a_{32} \\\\
      \n\\end{array}[\/tex]<\/li>\n

       <\/p>\n

    2. Os termos precedidos pelo sinal [tex]+[\/tex], na defini\u00e7\u00e3o apresentada, s\u00e3o obtidos multiplicando-se os elementos situados segundo as setas que est\u00e3o na mesma dire\u00e7\u00e3o da diagonal principal. Observe:\n

      \"\"<\/li>\n

       <\/p>\n

    3. Os termos precedidos pelo sinal [tex]-[\/tex], na defini\u00e7\u00e3o apresentada, s\u00e3o obtidos multiplicando-se os elementos situados segundo as setas que est\u00e3o na mesma dire\u00e7\u00e3o da diagonal secund\u00e1ria. Veja:\n

      \"\"<\/p>\n

      Dessa forma,<\/p>\n

      [tex]\\qquad \\begin{align}\\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\end{vmatrix} = \\;\\;&\\textcolor{blue}{a_{11}\\cdot a_{22}\\cdot a_{33}+a_{12}\\cdot a_{23}\\cdot a_{31}+a_{13}\\cdot a_{21}\\cdot a_{32}} \\\\
      \n&\\textcolor{red}{-a_{13}\\cdot a_{22}\\cdot a_{31} – a_{11}\\cdot a_{23}\\cdot a_{32} -a_{12}\\cdot a_{21}\\cdot a_{33}.}\\end{align}[\/tex]<\/li>\n<\/ol>\n

      Exemplo:<\/strong> Encontre o determinante da matriz [tex]A=\\begin{bmatrix} -1 & 0 & 2 \\\\ 3& 1& 1\\\\ -2& 1& 3\\end{bmatrix}[\/tex]. <\/p>\n

      Solu\u00e7\u00e3o:<\/strong> Usando o esquema visto acima, temos <\/p>\n

      \"\"<\/p>\n

      Logo, [tex]\\det A = -3+0+6+4+1+0 = 8[\/tex]. <\/p>\n

      Esse esquema de memoriza\u00e7\u00e3o para calcular o determinante de uma matriz de ordem 3 \u00e9 chamado de Regra de Sarrus<\/strong>, que recebe este nome em homenagem ao matem\u00e1tico franc\u00eas Pierre Fr\u00e9d\u00e9ric Sarrus<\/em> (1798 – 1861). Sarrus foi reconhecido por seus trabalhos em v\u00e1rias \u00e1reas da Matem\u00e1tica, incluindo a teoria dos determinantes, na qual a regra que leva seu nome se destaca como uma ferramenta de c\u00e1lculo valiosa e amplamente utilizada. <\/p>\n

      At\u00e9 aqui, j\u00e1 sabemos calcular determinantes de matrizes de ordens 1, 2 e 3, mas e se quis\u00e9ssemos calcular o determinante de uma matriz de ordem superior, como dever\u00edamos proceder? Bom, a seguir vamos apresentar uma defini\u00e7\u00e3o formal de determinante, v\u00e1lida para matrizes de ordem [tex]n[\/tex] qualquer.<\/p>\n

      Para tanto, vamos precisar de algumas defini\u00e7\u00f5es:<\/p>\n

      Defini\u00e7\u00e3o:<\/strong> Seja [tex]M[\/tex] uma matriz quadrada de ordem [tex]n\\geq 2[\/tex]. Definimos menor complementar do elemento [tex]a_{ij}[\/tex]<\/strong> (representamos por [tex]D_{ij}[\/tex]) como sendo o determinante da matriz de ordem [tex]n-1[\/tex] que se obt\u00e9m eliminando-se a i-\u00e9sima linha e a j-\u00e9sima coluna da matriz [tex]M[\/tex].
      \nEsquematicamente, se [tex]M=(a_{ij})_{n\\times n}[\/tex], eliminamos a linha [tex]i[\/tex] e a coluna [tex]j[\/tex], conforme figura abaixo:
      \n

      \"\"<\/center><\/p>\n

      E ent\u00e3o
      \n\"\"<\/p>\n\n\n
      \"\"<\/td>\n\n

      Achou a representa\u00e7\u00e3o um pouco confusa? 😕
      \nVamos fazer essa mesma an\u00e1lise em uma matriz de ordem menor.<\/span><\/p>\n

      <\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

      Se, por exemplo, [tex]M=\\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\end{bmatrix}[\/tex], ent\u00e3o o menor complementar do elemento [tex]a_{12}[\/tex] \u00e9 o determinante da matriz que se obt\u00e9m eliminando-se a primeira linha e a segunda coluna da matriz [tex]M[\/tex], conforme esquema abaixo.<\/p>\n

      \"\"<\/p>\n

      Ou seja, [tex]D_{12} = \\begin{vmatrix} a_{21} &a_{23}\\\\a_{31}& a_{33} \\end{vmatrix}.[\/tex]<\/p>\n

      Exemplo:<\/strong> Dada a matriz [tex]M = \\begin{bmatrix} 4 &-6& -2\\\\-1& 3 &-4\\\\4 &3& 1 \\end{bmatrix}[\/tex]:<\/p>\n