\n
Problema \n Adaptado da XIV ONM<\/strong>, 2014.<\/p>\n<\/div>\n \n Lembretes e nota\u00e7\u00f5es<\/p>\n \n (1) <\/span><\/strong> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de qualquer tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ.[\/tex] \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Observe que o segmento [tex]\\overline{AB}[\/tex] \u00e9 lado do quadrado e do pent\u00e1gono; logo, os dois pol\u00edgonos t\u00eam lados com o mesmo comprimento. Dessa forma, os segmentos [tex]\\overline{AG}\\,[\/tex] e [tex]\\,\\overline{AD}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento e, portanto, o tri\u00e2ngulo [tex]AGD[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles. Com isso, utilizando os Lembretes (1) e (4)<\/span><\/strong>, segue que: Como os dois pol\u00edgonos t\u00eam lados com o mesmo comprimento, [tex]AG=AB[\/tex] e, portanto, [tex]ABG[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles.<\/p>\n Ent\u00e3o, utilizando os Lembretes (1), (2) e (4)<\/span><\/strong>, segue que: Pronto, j\u00e1 temos condi\u00e7\u00f5es de determinar a medida do \u00e2ngulo [tex]B\\hat{G}D[\/tex]: Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n
\nNa figura abaixo, ABCD<\/strong> \u00e9 um quadrado e ABEFG<\/strong> \u00e9 um pent\u00e1gono regular.
\nQual a medida do \u00e2ngulo determinado pelos segmentos GB<\/strong> e GD<\/strong> ?<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob489.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n(2) <\/span><\/strong> Cada \u00e2ngulo interno de um pent\u00e1gono regular mede [tex]108^\\circ.[\/tex]
\n(3) <\/span><\/strong> Cada \u00e2ngulo interno de um quadrado mede [tex]90^\\circ.[\/tex]
\n(4) <\/span><\/strong> Todo tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles possui os \u00e2ngulos da base com a mesma medida.
\n ✐ <\/span><\/strong> Denotaremos o \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]V[\/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]X\\hat{V}Y[\/tex] e a sua medida por [tex]m(X\\hat{V}Y)\\,.[\/tex]
\n ✐ <\/span><\/strong> Denotaremos o segmento de reta definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e seu respectivo comprimento por [tex]XY[\/tex].\n<\/div>\n
\n\n
\nVamos determinar, inicialmente, a medida do \u00e2ngulo [tex]G\\hat{A}D[\/tex], utilizando os Lembretes (2) e (3)<\/span><\/strong>:
\n[tex]\\qquad m(G\\hat{A}D)=m(G\\hat{A}B)-m(D\\hat{A}B)\\\\
\n\\qquad m(G\\hat{A}D)=108^\\circ-90^\\circ\\\\
\n\\qquad \\boxed{m(G\\hat{A}D)=18^\\circ},[\/tex]
\nj\u00e1 que [tex]G\\hat{A}B[\/tex] e [tex]D\\hat{A}B[\/tex] s\u00e3o \u00e2ngulos internos do pent\u00e1gono e do quadrado, respectivamente.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/prob489_1.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad m(D\\hat{G}A)+m(G\\hat{D}A)+m(G\\hat{A}D)=180^\\circ\\\\
\n\\qquad 2\\,m(D\\hat{G}A)+m(G\\hat{A}D)=180^\\circ\\\\
\n\\qquad 2\\,m(D\\hat{G}A)+18^\\circ=180^\\circ\\\\
\n\\qquad 2\\,m(D\\hat{G}A)=162^\\circ\\\\
\n\\qquad \\boxed{\\textcolor{#009900}{m(D\\hat{G}A)=81^\\circ}}\\,.[\/tex]<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/prob489_2.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad m(A\\hat{G}B)+m(A\\hat{B}G)+m(B\\hat{A}G)=180^\\circ\\\\
\n\\qquad 2\\,m(A\\hat{G}B)+m(B\\hat{A}G)=180^\\circ\\\\
\n\\qquad 2\\,m(A\\hat{G}B)+108^\\circ=180^\\circ\\\\
\n\\qquad 2\\,m(A\\hat{G}B)=72^\\circ\\\\
\n\\qquad \\boxed{ \\textcolor{#0099FF}{m(A\\hat{G}B)=36^\\circ}}\\,.[\/tex]\n<\/ul>\n
\n[tex]\\qquad \\textcolor{#FF7F00}{m(D\\hat{G}B)}=\\textcolor{#009900}{m(D\\hat{G}A)}-\\textcolor{#0099FF}{m(A\\hat{G}B)}\\\\
\n\\qquad \\textcolor{#FF7F00}{m(D\\hat{G}B)}=\\textcolor{#009900}{81^\\circ}-\\textcolor{#0099FF}{36^\\circ}\\\\
\n\\qquad \\textcolor{#FF7F00}{m(D\\hat{G}B)}=\\textcolor{#FF7F00}{45^\\circ}\\\\
\n[\/tex]
\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/11\/prob489_3.png\")
\nPortanto, a medida do \u00e2ngulo determinado pelos segmentos GB<\/strong> e GD<\/strong> \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$45^\\circ$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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