\n
Problema Extra\u00eddo da IV ONEM<\/strong>, 2007.<\/p>\n<\/div>\n \n Lembrete<\/p>\n \n Teorema de Pit\u00e1goras:<\/strong><\/strong> Em um tri\u00e2ngulo ret\u00e2ngulo, o quadrado da hipotenusa \u00e9 a soma dos quadrados dos catetos.\n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n Observando a pr\u00f3xima figura, vemos que o comprimento [tex]\\textcolor{red}{d}[\/tex] \u00e9 dado por [tex]\\fcolorbox{red}{#ffffff}{$\\textcolor{red}{d=\\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$}\\,[\/tex], consequ\u00eancia de duas aplica\u00e7\u00f5es do Teorema de Pit\u00e1goras<\/strong>.<\/p>\n Como [tex]a[\/tex], [tex]\\,b\\,[\/tex] e [tex]\\,c\\,[\/tex] s\u00e3o medidas gen\u00e9ricas, podemos supor, sem perda de generalidade, que:<\/p>\n e, assim, [tex]ab=192[\/tex], [tex]ac=336[\/tex] e [tex]bc=252\\,.[\/tex]<\/p>\n Observe que Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 2\u00ba ano do E. M.- N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n
\nTr\u00eas das seis faces de um paralelep\u00edpedo retorret\u00e2ngulo t\u00eam as seguintes \u00e1reas: [tex] 192\\,\\text{cm}^2[\/tex], [tex]336\\,\\text{cm}^2[\/tex] e [tex]252\\,\\text{cm}^2 [\/tex].
\nQual a dist\u00e2ncia entre dois v\u00e9rtices desse paralelep\u00edpedo que n\u00e3o estejam na mesma face?<\/strong><\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\nVamos supor que os comprimentos dos lados do paralelep\u00edpedo retorret\u00e2ngulo do problema sejam [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] e [tex]c[\/tex] cent\u00edmetros, conforme indica a figura a seguir.
\nComo o problema pede a dist\u00e2ncia entre dois v\u00e9rtices que n\u00e3o estejam na mesma face desse paralelep\u00edpedo, precisamos calcular o comprimento [tex]\\textcolor{red}{d}[\/tex] de uma de suas diagonais; por exemplo, a diagonal colorida de vermelho na mesma figura.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/prob4401.png\")
<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/prob447_02.png\")
<\/p>\n\n
![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/08\/prob447_03.png\")
<\/p>\n
\n[tex]\\qquad \\left(abc\\right)^2=\\left(ab\\right)\\left(ac\\right)\\left(bc\\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\left(abc\\right)^2=192 \\times 336 \\times 252[\/tex]
\ne
\n[tex]\\qquad \\begin{align*}\\dfrac{\\left(abc\\right)^2}{\\left(bc\\right)^2}+\\dfrac{\\left(abc\\right)^2}{\\left(ac\\right)^2}+\\dfrac{\\left(abc\\right)^2}{\\left(ab\\right)^2}
\n&=\\dfrac{a^2\\cdot\\left(bc\\right)^2}{\\left(bc\\right)^2}+\\dfrac{b^2\\cdot\\left(ac\\right)^2}{\\left(ac\\right)^2}+\\dfrac{c^2\\cdot \\left(ab\\right)^2}{\\left(ab\\right)^2}\\\\
\n&=\\dfrac{a^2\\cdot \\color{blue}{\\cancel{\\left(bc\\right)^2}}}{\\color{blue}{\\cancel{\\left(bc\\right)^2}}}+\\dfrac{b^2\\cdot\\color{red}{\\cancel{\\left(ac\\right)^2}}}{\\color{red}{\\cancel{\\left(ac\\right)^2}}}+\\dfrac{c^2\\cdot \\color{#FF00FF}{\\cancel{\\left(ab\\right)^2}}}{\\color{#FF00FF}{\\cancel{\\left(ab\\right)^2}}}\\\\
\n&=a^2+b^2+c^2\\; ;
\n\\end{align*}[\/tex]
\nassim, segue que:
\n[tex]\\qquad a^2+b^2+c^2=\\dfrac{\\left(abc\\right)^2}{\\left(bc\\right)^2}+\\dfrac{\\left(abc\\right)^2}{\\left(ac\\right)^2}+\\dfrac{\\left(abc\\right)^2}{\\left(ab\\right)^2}\\,\\\\
\n\\qquad a^2+b^2+c^2=\\dfrac{192 \\times 336 \\times 252}{252^2}+\\dfrac{192 \\times 336 \\times 252}{336^2}+\\dfrac{192 \\times 336 \\times 252}{192^2}\\\\
\n\\qquad a^2+b^2+c^2=\\dfrac{192 \\times 336}{252}+\\dfrac{192 \\times 252}{336}+\\dfrac{336 \\times 252}{192}\\\\
\n\\qquad a^2+b^2+c^2=256+144+441\\\\
\n\\qquad a^2+b^2+c^2=841\\,.[\/tex]
\nPortanto:
\n[tex]\\qquad \\textcolor{red}{d=\\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\\\\
\n\\qquad\\textcolor{red}{d=\\sqrt{841}}\\\\
\n\\qquad \\textcolor{red}{d=29}.[\/tex]
\nLogo, a dist\u00e2ncia entre dois v\u00e9rtices que n\u00e3o est\u00e3o na mesma face do paralelep\u00edpedo retorret\u00e2ngulo definido no problema \u00e9 [tex]\\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$29 \\text{ cm}$}\\,.[\/tex]<\/p>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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