{"id":220833,"date":"2024-06-25T03:14:05","date_gmt":"2024-06-25T06:14:05","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=220833"},"modified":"2024-06-25T03:14:05","modified_gmt":"2024-06-25T06:14:05","slug":"a-problema-para-ajudar-na-escola-uma-area-sombreada","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-para-ajudar-na-escola-uma-area-sombreada\/","title":{"rendered":"(A) Problema para ajudar na escola: Uma \u00e1rea sombreada"},"content":{"rendered":"<p class=\"ti3\"  style=\"text-align:center;\">Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;margin-top:10px;\">\n<input class=\"bo1 c1 cb13\" style=\"width:150px;\" value=\"Problema\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Problema';}\" \/>  <\/p>\n<div style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nEm um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], o comprimento do lado [tex]AB[\/tex] \u00e9 [tex]2\\text{ cm}[\/tex], o comprimento do lado [tex]BC[\/tex] \u00e9 [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e o \u00e2ngulo interno cujo v\u00e9rtice \u00e9 [tex]B[\/tex] mede [tex]72^\\circ.[\/tex]<br \/>\nFeita uma rota\u00e7\u00e3o, no sentido hor\u00e1rio, do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] em torno do v\u00e9rtice [tex]B[\/tex], foi obtido o tri\u00e2ngulo [tex]A&#8217;BC&#8217;.[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob432_gif3.gif\" style=\"border: none;\" alt=\"\" width=\"759\" height=\"543\" class=\"aligncenter size-full wp-image-148563\" \/><\/p>\n<p>Sabendo-se que os pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C'[\/tex] s\u00e3o colineares e que o arco [tex]\\stackrel{\\frown}{AA&#8217;}[\/tex] foi o descrito por [tex]A[\/tex] durante a rota\u00e7\u00e3o, <strong>determine a medida da \u00e1rea sombreada.<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"border: 2px dashed #800000; text-align:center; padding: 10px; width:90%; margin-left: auto; margin-right: auto;\" >\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\"> Um applet para ajudar <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<div style=\"text-align:justify;\">\n Voc\u00ea pode utilizar este <em>applet<\/em> para repetir a rota\u00e7\u00e3o do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] em torno do v\u00e9rtice [tex]B[\/tex] quantas vezes  voc\u00ea quiser e observar detalhes que poder\u00e3o lhe ajudar no entendimento da solu\u00e7\u00e3o apresentada.<\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p><strong>Instru\u00e7\u00f5es<\/strong>:<br \/>\n<strong>(1)<\/strong> Espere o applet carregar. <span style=\"font-size:12px\">(O aplicativo pode demorar um pouquinho para carregar.)<\/span><br \/>\n<strong>(2)<\/strong> Para iniciar a rota\u00e7\u00e3o do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], clique na setinha que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo.<br \/>\n<strong>(3)<\/strong> Depois que a rota\u00e7\u00e3o for finalizada, para fazer uma nova rota\u00e7\u00e3o, clique nas setinhas circulares que aparecem no canto superior direito  do aplicativo e, em seguida, clique novamente na setinha que aparece no canto inferior esquerdo do aplicativo.<br \/>\n<strong>(4)<\/strong> Voc\u00ea pode parar uma rota\u00e7\u00e3o em curso clicando no \u00edcone <strong>||<\/strong> que aparece no canto inferior esquerdo enquanto a anima\u00e7\u00e3o est\u00e1 ocorrendo. Para reiniciar o movimento, basta clicar na setinha que substituiu o \u00edcone <strong>||<\/strong> no canto inferior esquerdo.\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<p><iframe loading=\"lazy\" scrolling=\"no\" title=\"Uma \u00e1rea sombreada\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/dzn5yrtu\/width\/760\/height\/530\/border\/ffffff\/sfsb\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ai\/false\/asb\/false\/sri\/true\/rc\/false\/ld\/false\/sdz\/false\/ctl\/false\" width=\"760px\" height=\"530px\" style=\"border:2px solid #800000\"> <\/iframe><br \/>\n<span style=\"font-size: 14px;\">OBMEP_ srdg, criado com o <a href=\"http:\/\/www.geogebra.org\/\" target=\"_blank\">GeoGebra<\/a><\/span><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/p><\/div>\n<p style=\"margin:40px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:28px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\nO tri\u00e2ngulo [tex]A&#8217;BC'[\/tex] \u00e9 o resultado da rota\u00e7\u00e3o do tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] em torno do ponto [tex]B[\/tex] de modo que os pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C'[\/tex] ficassem colineares. Assim, os tri\u00e2ngulos [tex]ABC[\/tex] e [tex]A&#8217;BC'[\/tex] s\u00e3o congruentes, ou seja, as medidas dos lados e dos \u00e2ngulos de um s\u00e3o iguais \u00e0s medidas dos respectivos lados e \u00e2ngulos do outro.<br \/>\nEm particular, a medida do \u00e2ngulo [tex]A&#8217;\\hat{B}C'[\/tex] \u00e9 [tex]72^\\circ.[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob432_1_p.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"600\" height=\"396\" class=\"aligncenter size-full wp-image-155423\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob432_1_p.png 600w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob432_1_p-300x198.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><\/p>\n<p>Dessa forma, como os pontos [tex]A[\/tex], [tex]B[\/tex] e [tex]C'[\/tex] s\u00e3o colineares, temos que a medida do \u00e2ngulo [tex]A\\hat{B}C'[\/tex] \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex] e, portanto, a medida do \u00e2ngulo [tex]C\\hat{B}A'[\/tex] \u00e9 [tex]180^\\circ-72^\\circ-72^\\circ=\\boxed{\\,36^\\circ\\,}.[\/tex]<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob432_2_p.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"600\" height=\"398\" class=\"aligncenter size-full wp-image-155425\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob432_2_p.png 600w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob432_2_p-300x199.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 600px) 100vw, 600px\" \/><br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob432_3.png\"  style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"350\" height=\"335\" class=\"alignright size-full wp-image-155428\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob432_3.png 500w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/prob432_3-300x286.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 350px) 100vw, 350px\" \/><br \/>\nAssim, a \u00e1rea sombreada \u00e9 um setor circular correspondente a um \u00e2ngulo de [tex]36^\\circ[\/tex] em uma circunfer\u00eancia de raio [tex]2\\text{ cm}.[\/tex]<br \/>\nSabemos que a medida da \u00e1rea de um setor circular de raio [tex]R[\/tex] e [tex]\\alpha[\/tex] graus \u00e9 dada pela express\u00e3o [tex] \\boxed{\\dfrac{\\pi\\cdot R^{\\, 2} \\cdot \\alpha}{360}}[\/tex]; logo, a medida [tex]S[\/tex] da \u00e1rea sombreada \u00e9:<br \/>\n[tex] \\qquad \\qquad S=\\dfrac{\\pi\\cdot 2^{\\, 2} \\cdot 36}{360}\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad S=\\dfrac{\\pi\\cdot 4}{10}\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad  \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\,S=\\dfrac{2\\,\\pi}{5}\\,\\text{cm}^2$}\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\,S \\approx 1,26\\text{ cm}^2$}\\,.[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/06\/Uma-\u00e1rea-sombreada.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ Uma \u00e1rea sombreada.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F.- N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio) Em um tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex], o comprimento do lado [tex]AB[\/tex] \u00e9 [tex]2\\text{ cm}[\/tex], o comprimento do lado [tex]BC[\/tex] \u00e9 [tex]4\\text{ cm}[\/tex] e o \u00e2ngulo interno cujo v\u00e9rtice \u00e9 [tex]B[\/tex] mede [tex]72^\\circ.[\/tex] Feita uma rota\u00e7\u00e3o, no &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-para-ajudar-na-escola-uma-area-sombreada\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-220833","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/220833","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=220833"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/220833\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220834,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/220833\/revisions\/220834"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=220833"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}