\n
Problema (ONEM<\/strong>, 2008 – Adaptado)<\/span> Quantos n\u00fameros com tr\u00eas algarismos distintos satisfazem a propriedade abaixo?<\/p>\n \n<\/div>\n Ajuda<\/p>\n ✏<\/strong> <\/span> Divisibilidade por [tex]3[\/tex]<\/strong>: Para um n\u00famero natural ser divis\u00edvel por [tex]3[\/tex], \u00e9 necess\u00e1rio e suficiente que a soma de seus algarismos seja divis\u00edvel por [tex]3[\/tex]. Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Suponhamos que [tex]N=abc[\/tex] seja um n\u00famero de tr\u00eas algarismos distintos que satisfaz a propriedade exigida pelo problema. \n (1)<\/span> O maior algarismo \u00e9 [tex]c[\/tex]<\/strong>:<\/p>\n Este \u00e9 o caso mais simples de ser analisado. Observe que ao substituirmos [tex]c[\/tex] por [tex]1[\/tex], ficamos com o n\u00famero [tex]\\boxed{S=ab1}[\/tex] que particularmente n\u00e3o \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]10[\/tex], pois n\u00e3o termina em [tex]0[\/tex]. Consequentemente, o n\u00famero [tex]S[\/tex] resultante da substitui\u00e7\u00e3o n\u00e3o \u00e9 m\u00faltiplo de [tex]30[\/tex] e, portanto, o n\u00famero [tex]N[\/tex] n\u00e3o satisfaz, de fato, a propriedade exigida. (2)<\/span> O maior algarismo \u00e9 [tex]b[\/tex]<\/strong>:<\/p>\n Como os tr\u00eas d\u00edgitos de [tex]S[\/tex] s\u00e3o distintos, temos nove possibilidades para o algarismo [tex]a[\/tex]. Vamos test\u00e1-las:<\/p>\n Temos ent\u00e3o apenas tr\u00eas possibilidades para [tex]S[\/tex]: [tex]210,\\,510,\\, 810\\,.[\/tex] Mas observe que: (3)<\/span> O maior algarismo \u00e9 [tex]a[\/tex]<\/strong>:<\/p>\n Agora, observe que: Dessa forma, por (1)<\/span><\/strong>, (2)<\/span><\/strong> e (3)<\/span><\/strong>, conclu\u00edmos que existem [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$12+12=24$}\\,[\/tex] n\u00fameros que satisfazem as condi\u00e7\u00f5es do problema.<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil<\/span>) <\/span><\/p>\n
\n\n
![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n ✏<\/strong> <\/span> Divisibilidade por [tex]10[\/tex]:<\/strong> Para um n\u00famero natural ser divis\u00edvel por [tex]10[\/tex], \u00e9 necess\u00e1rio e suficiente que ele termine em [tex]0[\/tex].
\n ✏<\/strong> <\/span> Divisibilidade por [tex]30[\/tex]:<\/strong> Para um n\u00famero natural ser divis\u00edvel por [tex]30[\/tex], \u00e9 necess\u00e1rio e suficiente que ele seja divis\u00edvel simultaneamente por [tex]3[\/tex] e [tex]10[\/tex].\n<\/div>\n
\n
\n (Observe que, aqui, a nota\u00e7\u00e3o [tex]abc[\/tex] n\u00e3o indica um produto e sim a representa\u00e7\u00e3o de um n\u00famero de tr\u00eas algarismos no sistema decimal:[tex]a[\/tex] \u00e9 o algarismo das centenas, [tex]b[\/tex] \u00e9 o algarismos das dezenas e [tex]c[\/tex] o algarismos das unidades.)<\/span>
\nComo a propriedade em quest\u00e3o se refere ao maior algarismo de [tex]N[\/tex], vamos analisar separadamente tr\u00eas situa\u00e7\u00f5es: o maior algarismo de [tex]N[\/tex] \u00e9 [tex]a[\/tex], [tex]b[\/tex] ou [tex]c[\/tex].<\/p>\n
\nCom isso, este caso est\u00e1 eliminado, ou seja, o maior algarismo de [tex]N[\/tex] n\u00e3o pode ser [tex]c[\/tex].<\/p>\n\n
\n
\n►<\/span> Se [tex]S=210[\/tex], ent\u00e3o [tex]N=2b0[\/tex], com [tex]b \\gt 2[\/tex], j\u00e1 que [tex]b[\/tex] \u00e9 o maior algarismo neste caso. Ent\u00e3o, teremos sete casos poss\u00edveis para [tex]b[\/tex]: [tex]b=3,\\,4,\\,5,\\,6,\\,7,\\,8,\\,9[\/tex]. Dessa forma, temos neste caso [tex]\\boxed{7}[\/tex] possibilidades de valores para [tex]N\\,.[\/tex]
\n►<\/span> Se [tex]S=510[\/tex], ent\u00e3o [tex]N=5b0[\/tex], com [tex]b \\gt 5[\/tex] ([tex]b[\/tex] \u00e9 o maior algarismo). Assim, teremos quatro casos poss\u00edveis para [tex]b[\/tex]: [tex]b=6,\\,7,\\,8,\\,9[\/tex]. Logo, conseguimos mais [tex]\\boxed{4}[\/tex] possibilidades de valores para [tex]N\\,.[\/tex]
\n►<\/span> Se [tex]S=810[\/tex], ent\u00e3o [tex]N=8b0[\/tex], com [tex]b \\gt 8[\/tex]. Portanto, teremos um caso poss\u00edvel para [tex]b[\/tex]: [tex]b=9[\/tex] e mais [tex]\\boxed{1}[\/tex] possibilidade de valor para [tex]N\\,.[\/tex]
\nTemos ent\u00e3o neste segundo caso [tex]7+4+1=12[\/tex] n\u00fameros [tex]N[\/tex] que satisfazem a propriedade requerida.<\/div>\n\n
\n►<\/span> Se [tex]S=120[\/tex], ent\u00e3o [tex]N=a20[\/tex], com [tex]a \\gt 2[\/tex], j\u00e1 que aqui [tex]a[\/tex] \u00e9 o maior algarismo. Ent\u00e3o, teremos sete casos poss\u00edveis para [tex]a[\/tex]: [tex]a=3,\\,4,\\,5,\\,6,\\,7,\\,8,\\,9[\/tex]. Temos neste caso [tex]\\boxed{7}[\/tex] possibilidades de valores para [tex]N\\,.[\/tex]
\n►<\/span> Se [tex]S=150[\/tex], ent\u00e3o [tex]N=a50[\/tex], com [tex]a \\gt 5[\/tex] ([tex]a[\/tex] \u00e9 o maior algarismo). Assim, teremos quatro casos poss\u00edveis para [tex]a[\/tex]: [tex]a=6,\\,7,\\,8,\\,9[\/tex]. Portanto, conseguimos mais [tex]\\boxed{4}[\/tex] possibilidades de valores para [tex]N\\,.[\/tex]
\n►<\/span> Se [tex]S=180[\/tex], ent\u00e3o [tex]N=a80[\/tex], com [tex]a \\gt 8[\/tex]. Com isso, teremos um caso poss\u00edvel para [tex]b[\/tex]: [tex]b=9[\/tex] e mais [tex]\\boxed{1}[\/tex] possibilidade de valor para [tex]N\\,.[\/tex]
\nNeste terceiro caso, obtemos tamb\u00e9m [tex]7+4+1=12[\/tex] n\u00fameros [tex]N[\/tex] que satisfazem a propriedade requerida.<\/div>\n
\n\n
\n <\/td>\n\n
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