{"id":220752,"date":"2024-06-24T22:41:45","date_gmt":"2024-06-25T01:41:45","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=220752"},"modified":"2024-06-24T22:41:45","modified_gmt":"2024-06-25T01:41:45","slug":"a-problema-para-ajudar-na-escola-numeros-interessantes-um-desafio","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-para-ajudar-na-escola-numeros-interessantes-um-desafio\/","title":{"rendered":"(A) Problema para ajudar na escola: N\u00fameros interessantes &#8211; um desafio!"},"content":{"rendered":"<p class=\"ti3\"  style=\"text-align:center;\">Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;margin-top:10px;\">\n<input class=\"bo1 c1 cb13\" style=\"width:150px;\" value=\"Problema\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Problema';}\" \/>  <\/p>\n<div style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:25px;\">\n<p class=\"tit\"  style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<span style=\"font-size:12px;color:#FF8C00\"><br \/>\n(A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p><span style=\"font-size:12px;\">(<strong>UK Junior Mathematical Olympiad<\/strong>, 2012)<\/span>  O n\u00famero [tex]23173[\/tex] tem duas caracter\u00edsticas interessantes:<\/p>\n<ul>\n<li>todo par de d\u00edgitos vizinhos forma um n\u00famero primo,<\/li>\n<li>todos esses n\u00fameros primos formados s\u00e3o distintos dois a dois.<\/li>\n<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob406.png\" style=\"border: none;\"  alt=\"\" width=\"304\" height=\"336\" class=\"aligncenter size-full wp-image-138976\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob406.png 304w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/10\/prob406-271x300.png 271w\" sizes=\"auto, (max-width: 304px) 100vw, 304px\" \/><\/p>\n<p><strong>Qual \u00e9 o maior n\u00famero natural que satisfaz essas duas condi\u00e7\u00f5es?<\/strong><\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\"  style=\"line-height:30px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n<hr style=\"height:2px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Vamos ter de lidar com n\u00fameros primos de dois algarismos. Assim observamos, inicialmente, que nenhum primo de dois d\u00edgitos termina em [tex]5[\/tex] ou em um d\u00edgito par, j\u00e1 que um n\u00famero de dois d\u00edgitos que seja par \u00e9 divis\u00edvel por [tex]2[\/tex] (e portanto n\u00e3o \u00e9 primo) e um n\u00famero de dois d\u00edgitos que termine em [tex]5[\/tex] \u00e9 divis\u00edvel por [tex]5[\/tex] (e igualmente n\u00e3o primo).<br \/>\nPor outro lado, observe que, para os n\u00fameros com os quais iremos trabalhar, todo algarismo que ocupe uma posi\u00e7\u00e3o a partir da segunda (da esquerda para direita) ser\u00e1 necessariamente segundo algarismo de um n\u00famero primo com dois algarismos. Dessa forma, os algarismos [tex]2, 4, 6, 8[\/tex] ou [tex]5[\/tex] podem aparecer apenas como o primeiro d\u00edgito dos n\u00fameros que satisfa\u00e7am as condi\u00e7\u00f5es do problema.<br \/>\nFeitas essas observa\u00e7\u00f5es, vamos iniciar a nossa an\u00e1lise e para isso seja [tex]M[\/tex] o maior n\u00famero que satisfaz as duas condi\u00e7\u00f5es do problema<br \/>\nCom exce\u00e7\u00e3o do primeiro d\u00edgito, os demais d\u00edgitos dos n\u00fameros que analisaremos s\u00e3o \u00edmpares e diferentes de [tex]5[\/tex]. Assim, precisaremos de n\u00fameros primos com dois d\u00edgitos tais que os dois d\u00edgitos sejam \u00edmpares e diferentes de [tex]5[\/tex], e existem apenas dez n\u00fameros primos que satisfazem essas condi\u00e7\u00f5es: [tex]11, 13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79[\/tex] e [tex]97[\/tex].<br \/>\nPara ajudar na montagem dos n\u00fameros que analisaremos, vamos escrever estes n\u00fameros em uma tabela, colocando aqueles que tenham o mesmo primeiro d\u00edgito em uma mesma linha e aqueles com o mesmo segundo d\u00edgito em uma mesma coluna.<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob406_01.png\" alt=\"\" width=\"388\" height=\"141\" class=\"aligncenter size-full wp-image-149565\" srcset=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob406_01.png 388w, https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob406_01-300x109.png 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 388px) 100vw, 388px\" \/><\/p>\n<p>Uma condi\u00e7\u00e3o inicial para que tenhamos o maior n\u00famero dentre os que satisfazem as condi\u00e7\u00f5es do problema \u00e9 que utilizemos todos os dez primos da tabela. Vamos imaginar esses dez primos colocados um atr\u00e1s do outro e imaginar os problemas que podemos encontrar:<\/p>\n<ul>\n<li>Todo par de d\u00edgitos vizinhos de [tex]M[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo e os primos formados s\u00e3o dois a dois distintos. Mas observe que se escrevemos os primos [tex]11[\/tex] e [tex]13[\/tex] seguidamente ficamos com os d\u00edgitos [tex]1113[\/tex] e teremos dois primos vizinhos iguais:<\/li>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob406_02.png\" alt=\"\" width=\"61\" height=\"56\" class=\"aligncenter size-full wp-image-149567\" \/><\/p>\n<li>Dois algarismos vizinhos devem formar um n\u00famero primo. Observe que se escrevemos os primos [tex]19[\/tex] e [tex]31[\/tex] seguidamente ficamos com os d\u00edgitos [tex]1931[\/tex] e teremos dois d\u00edgitos vizinhos definindo um n\u00famero n\u00e3o primo: [tex]93[\/tex], que \u00e9 divis\u00edvel por [tex]3[\/tex].<\/li>\n<li>Agora, perceba que n\u00e3o podemos ter n\u00fameros com mais de doze d\u00edgitos satisfazendo as condi\u00e7\u00f5es do problema.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob406_03.png\" alt=\"\" width=\"286\" height=\"43\" class=\"aligncenter size-full wp-image-149569\" \/><br \/>\nCom efeito, para que tenhamos treze d\u00edgitos satisfazendo as condi\u00e7\u00f5es do problema devemos ter doze pares de primos vizinhos. Observe que primeiro primo pode ter o primeiro d\u00edgito par ou [tex]5[\/tex] e, portanto, ser diferente dos primos mostrados na tabela. Mas os demais n\u00e3o; e isso implicaria em termos onze primos com dois d\u00edgitos \u00edmpares, diferentes entre si, o que sabemos n\u00e3o ser poss\u00edvel pois os \u00fanicos primos nessas condi\u00e7\u00f5es s\u00e3o os dez mostrados na tabela. <\/li>\n<\/ul>\n<p>Vamos mostrar que \u00e9 poss\u00edvel que [tex]M[\/tex], o maior n\u00famero que satisfaz as duas condi\u00e7\u00f5es do problema, tenha doze d\u00edgitos. Para isso, vamos supor que podemos encontrar um n\u00famero de doze algarismos cujos d\u00edgitos definam todos os dez n\u00fameros primos da tabela e com o primeiro d\u00edgito igual a  [tex]2, 4, 6, 8[\/tex] ou [tex]5[\/tex], e tentar construir o maior n\u00famero desse tipo.<br \/>\nVamos a princ\u00edpio reservar o primeiro d\u00edgito dos n\u00fameros que analisaremos para um dos algarismos [tex]2, 4, 6, 8[\/tex] ou [tex]5[\/tex] e analisar os onze outros:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad\\underline{\\quad}\\,a_2a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}a_{11}a_{12}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<p>Observe que qualquer algarismo [tex]a[\/tex] que n\u00e3o seja o d\u00edgito [tex]a_2[\/tex] e nem o d\u00edgito [tex]a_{12}[\/tex] define dois n\u00fameros primos sucessivos [tex]ya[\/tex] e [tex]ax[\/tex]  com d\u00edgitos \u00edmpares.<br \/>\n A partir dessa observa\u00e7\u00e3o, conclu\u00edmos que:<\/p>\n<ul>\n<li> os algarismos que n\u00e3o ocupam as posi\u00e7\u00f5es [tex]2[\/tex] e [tex]12[\/tex] devem ser algarismos que aparecem na tabela uma mesma quantidade de vezes como  primeiro d\u00edgito e como segundo d\u00edgito;<\/li>\n<li> o algarismo que ocupar\u00e1 a posi\u00e7\u00e3o [tex]2[\/tex] deve aparecer na tabela uma vez a mais como primeiro d\u00edgito;<\/li>\n<li>o algarismo que ocupar\u00e1 a posi\u00e7\u00e3o [tex]12[\/tex] deve aparecer na tabela uma vez a mais como segundo d\u00edgito.<\/li>\n<\/ul>\n<p>Pronto, como na tabela vemos que o algarismo [tex]1[\/tex]  ocorre quatro vezes como primeiro d\u00edgito e apenas tr\u00eas vezes como segundo d\u00edgito, enquanto que o algarismo  [tex]9[\/tex] ocorre uma vez como primeiro d\u00edgito e duas vezes como segundo d\u00edgito, para que todos os n\u00fameros primos que cont\u00eam um d\u00edgito [tex]1[\/tex]  e um d\u00edgito [tex]9[\/tex] apare\u00e7am na composi\u00e7\u00e3o de [tex]M[\/tex] , [tex]a_{2}=1[\/tex]  e [tex]a_{12}=9[\/tex].<\/p>\n<ul>\n <span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> Por enquanto o [tex]M[\/tex] est\u00e1 com esta cara: [tex]M=a_11a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}a_{11}9[\/tex].<\/ul>\n<p>Vejamos o valor de [tex]a_1[\/tex]: [tex]a_1[\/tex] \u00e9 par ou \u00e9 cinco, o n\u00famero de dois d\u00edgitos [tex]\\boxed{a_11}[\/tex] deve ser primo e [tex]a_1[\/tex] deve ser o maior poss\u00edvel. Assim [tex]a_1=6[\/tex] e [tex]M[\/tex] fica com esta cara:<\/p>\n<ul> <span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> [tex]M=61a_3a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}a_{11}9[\/tex].<\/ul>\n<p>Olhando a tabela, o maior valor poss\u00edvel para [tex]a_3[\/tex] \u00e9 [tex]9 [\/tex] e, com isso,<\/p>\n<ul> <span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span>[tex]M=619a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}a_{11}9[\/tex].<\/ul>\n<p>Como o [tex]M[\/tex] termina com o [tex]9[\/tex], olhando a tabela vemos uma \u00fanica op\u00e7\u00e3o para [tex]a_{11}[\/tex]: [tex]7[\/tex]. Veja como est\u00e1 o [tex]M[\/tex]:<\/p>\n<ul> <span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> [tex]M=619a_4a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}79[\/tex].<\/ul>\n<p>Olhando novamente a tabela, temos uma \u00fanica op\u00e7\u00e3o para [tex]a_{4}[\/tex] pois o \u00fanico primo que come\u00e7a com [tex]9[\/tex] \u00e9 o [tex]97[\/tex]. Veja como est\u00e1 o [tex]M[\/tex] e os primos n\u00e3o utilizados da tabela:<\/p>\n<ul> <span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> [tex]M=6197a_5a_6a_7a_8a_9a_{10}79[\/tex].<\/ul>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob406_04.png\"  style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"300\" height=\"113\" class=\"aligncenter size-full wp-image-149595\" \/><\/p>\n<p>Vamos agora analisar os primos que est\u00e3o na tabela e t\u00eam um d\u00edgito [tex]7[\/tex]:<br \/>\n&#8211; Para o primo  [tex]7a_5[\/tex], a tabela oferece duas op\u00e7\u00f5es: [tex]71\\,[\/tex] e [tex]\\,73[\/tex]. Como estamos buscando o maior valor poss\u00edvel para [tex]M[\/tex], o algarismo [tex]a_5[\/tex] deve ter o maior valor poss\u00edvel; no nosso caso, [tex]a_5=3.[\/tex]<br \/>\n&#8211; Para o primo  [tex]a_{10}7[\/tex], a tabela tamb\u00e9m nos oferece duas op\u00e7\u00f5es: [tex]17\\,[\/tex] e [tex]\\,37[\/tex]. Para que [tex]M[\/tex] tenha o  maior valor poss\u00edvel, algarismos maiores devem ser colocados nas posi\u00e7\u00f5es mais \u00e0 esquerda e, os menores, mais \u00e0 direita. Como [tex]a_{10}[\/tex] \u00e9 a \u00faltima posi\u00e7\u00e3o dentre as n\u00e3o ocupadas, [tex]a_{10}=1.[\/tex]<br \/>\nAgora, [tex]M[\/tex] ganhou mais dois d\u00edgitos:<\/p>\n<ul> <span style=\"color:#800000;\">&#9658;<\/span> [tex]M=61973a_6a_7a_8a_9179[\/tex].<\/ul>\n<p>Olhando a nossa tabela, podemos continuar adicionando o maior d\u00edgito poss\u00edvel sempre \u00e0 direita dos d\u00edgitos iniciais.<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob406_06.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"100\" class=\"aligncenter size-full wp-image-149692\" \/><br \/>\nVamos l\u00e1:<\/p>\n<ul>\n<li>Para [tex]a_6[\/tex], temos duas possibilidades:[tex]1[\/tex] ou [tex]7[\/tex]; e [tex]7[\/tex] \u00e9 maior.<\/li>\n<p> <span style=\"color:#800000;padding-left:30px;\">&#9658;<\/span> [tex]M=619737a_7a_8a_9179[\/tex].<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob406_07.png\" style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"107\" class=\"aligncenter size-full wp-image-149694\" \/><\/p>\n<li>Para [tex]a_7[\/tex], temos uma \u00fanica possibilidade:[tex]a_7=1[\/tex] .<\/li>\n<p> <span style=\"color:#800000;padding-left:30px\">&#9658;<\/span> [tex]M=6197371a_8a_9179[\/tex].<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob406_08.png\"  style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"107\" class=\"aligncenter size-full wp-image-149697\" \/><\/p>\n<li>Para [tex]a_8[\/tex], temos duas possibilidades:[tex]1[\/tex] ou [tex]3[\/tex]; e [tex]3[\/tex] \u00e9 maior.<\/li>\n<p> <span style=\"color:#800000;padding-left:30px\">&#9658;<\/span> [tex]M=61973713a_9179[\/tex].<br \/>\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/prob406_09.png\"  style=\"border:none\" alt=\"\" width=\"296\" height=\"107\" class=\"aligncenter size-full wp-image-149701\" \/><\/p>\n<li>Para [tex]a_9[\/tex], temos uma \u00fanica possibilidade:[tex]a_9=1[\/tex] .<\/li>\n<p> <span style=\"color:#800000;padding-left:30px\">&#9658;<\/span> [tex]M=619737131179[\/tex].<\/ul>\n<p>Portanto, o maior n\u00famero natural que satisfaz essas duas condi\u00e7\u00f5es do problema \u00e9 o [tex]\\,\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$619\\,737\\,131\\,179$}\\,.[\/tex] <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<p style=\"margin:20px\">\n<table style=\" height:auto; margin-left: auto; margin-right: auto;width:640px;\">\n<tr>\n<td class=\"bf\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"wp-image-1001 alignright\" style=\"border: 0px;\" alt=\"\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" width=\"80\" height=\"115\" \/><\/td>\n<td class=\"bf\">\n<p class=\"fala\" style=\"width:520px;background-color: #FFF5EE; padding:10px; font-family: calibri; font-size: 13px;color: #1C1C1C; line-height: 20px; \"> Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.<br \/>\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (<em>Chrome<\/em>, <em>Edge<\/em>, <em>Firefox<\/em>, <em>Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito <em><strong>Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.<br \/>\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o <strong><em>Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar <a href=\"http:\/\/get.adobe.com\/br\/reader\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong>AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<div style=\" float:right;  width: 100px;\">\n<p style=\"text-align: center; border-style: dotted; border-color :#FFFAFA; border-width :thin; width:90px;  height:40px;  padding: 5px; background-color: #800000;\">\n<a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/04\/N\u00fameros-interessantes-\u2013-um-desafio.pdf\" title=\" Arquivo PDF\" download=\"Clubes_ N\u00fameros interessantes \u2013 um desafio.pdf\"><span style=\"color: #FFFAFA; font-family: georgia; font-size: 16px;\"><strong>Arquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil) (UK Junior Mathematical Olympiad, 2012) O n\u00famero [tex]23173[\/tex] tem duas caracter\u00edsticas interessantes: todo par de d\u00edgitos vizinhos forma um n\u00famero primo, todos esses n\u00fameros primos formados s\u00e3o distintos dois a dois. 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