{"id":220692,"date":"2024-06-23T07:18:15","date_gmt":"2024-06-23T10:18:15","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=220692"},"modified":"2024-06-23T07:18:15","modified_gmt":"2024-06-23T10:18:15","slug":"a-problema-para-ajudar-na-escola-uma-area-amarela","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-para-ajudar-na-escola-uma-area-amarela\/","title":{"rendered":"(A) Problema para ajudar na escola: Uma \u00e1rea amarela"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n

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Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

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Os v\u00e9rtices do quadrado [tex]ABCD[\/tex] s\u00e3o pontos da circunfer\u00eancia exibida na figura e [tex]\\stackrel{\\frown}{BD}[\/tex] \u00e9 um arco da circunfer\u00eancia de centro em [tex]A[\/tex] e raio [tex]AB[\/tex].<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Sabendo que cada lado do quadrado mede [tex]2~cm[\/tex], determine a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida de amarelo.<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\nPara solucionar este problema, vamos calcular v\u00e1rias \u00e1reas. Observe!<\/p>\n\n\n\n\n
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    \n
  • O tri\u00e2ngulo [tex]BAD[\/tex] \u00e9 ret\u00e2ngulo; assim, do teorema de Pit\u00e1goras, segue que:<\/li>\n

    [tex]\\qquad DB\\,^2=AD\\,^2+AB\\,^2[\/tex]
    \n[tex]\\qquad DB\\,^2=2\\,^2+2\\,^2[\/tex]
    \n[tex]\\qquad DB\\,^2=8[\/tex]
    \n[tex]\\qquad DB=\\sqrt{8}=2\\,\\sqrt{2}.[\/tex]
    \nComo o segmento [tex]\\overline{DB}[\/tex] \u00e9 o di\u00e2metro do c\u00edrculo externo da figura, segue que a \u00e1rea [tex]\\textcolor{#6699FF}{A_{circ}}[\/tex] desse c\u00edrculo \u00e9:
    \n[tex]\\qquad \\textcolor{#6699FF}{A_{circ}=\\pi \\left(\\dfrac{2\\,\\sqrt{2}}{2}\\right)^2=2\\,\\pi\\;cm^2}[\/tex].<\/ul>\n<\/td>\n

<\/td>\n<\/tr>\n
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    \n
  • A \u00e1rea [tex] \\textcolor{#FF9900}{S_1}[\/tex] da regi\u00e3o limitada pelos segmentos [tex]\\overline{DC}[\/tex], [tex]\\overline{CB}[\/tex] e pelo arco [tex]\\stackrel{\\frown}{BD}[\/tex] \u00e9 igual \u00e0 \u00e1rea do quadrado [tex]ABCD[\/tex] menos um quarto da \u00e1rea do c\u00edrculo de centro em [tex]A[\/tex] e raio [tex]AB[\/tex].<\/li>\n

    Assim:
    \n[tex]\\qquad \\textcolor{#FF9900}{S_1=2^2-\\dfrac{\\pi\\,\\left(2\\right)^2}{4}=4-\\pi\\,\\,cm^2}[\/tex].<\/ul>\n<\/td>\n

\"\"<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n
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    \n
  • A \u00e1rea [tex] \\textcolor{#00CC00}{S_2}[\/tex] da regi\u00e3o limitada pelo segmento [tex]\\overline{DC}[\/tex] e pelo arco [tex]\\stackrel{\\frown}{DC}[\/tex] \u00e9 a quarta parte da diferen\u00e7a entre a \u00e1rea [tex]\\textcolor{#6699FF}{A_{circ}}[\/tex] do c\u00edrculo externo e a \u00e1rea do quadrado [tex]ABCD\\,.[\/tex]
    \nLogo:
    \n[tex]\\qquad \\textcolor{#00CC00}{S_2}=\\dfrac{\\textcolor{#6699FF}{2\\,\\pi}-4}{4}\\textcolor{#00CC00}{=\\dfrac{\\pi-2}{2}\\,cm^2}[\/tex].<\/p>\n

    \n

    Observe que [tex] \\textcolor{#00CC00}{S_2}[\/tex] \u00e9 tamb\u00e9m a \u00e1rea da regi\u00e3o limitada pelo segmento [tex]\\overline{CB}[\/tex] e pelo arco [tex]\\stackrel{\\frown}{CB}.[\/tex]\n<\/ul>\n<\/td>\n

\"\"\n<\/td>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

Finalmente, veja que a \u00e1rea [tex]S[\/tex] da regi\u00e3o colorida de amarelo \u00e9 a soma da \u00e1rea [tex] \\textcolor{#FF9900}{S_1}[\/tex] com duas vezes a \u00e1rea [tex] \\textcolor{#00CC00}{S_2}[\/tex]. Dessa forma:<\/p>\n

[tex]\\qquad S= \\textcolor{#FF9900}{S_1}+2 \\cdot \\textcolor{#00CC00}{S_2}= \\textcolor{#FF9900}{4-\\pi}+2 \\cdot \\textcolor{#00CC00}{\\dfrac{\\pi-2}{2}}=4-\\pi+\\pi-2=2\\,cm^2.[\/tex]
\nPortanto, a \u00e1rea da regi\u00e3o colorida de amarelo \u00e9 [tex]~\\fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$2\\,cm^2$}\\, .[\/tex]<\/p>\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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\"\"<\/td>\n\n

Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\nVoc\u00ea pode abrir o arquivo diretamente no seu navegador (Chrome<\/em>, Edge<\/em>, Firefox<\/em>, Safari<\/em>, entre outros), mas tamb\u00e9m pode utilizar o software gratuito Adobe Acrobat Reader<\/strong><\/em>.
\nCaso o dispositivo que voc\u00ea est\u00e1 utilizando n\u00e3o tenha o Acrobat Reader<\/em><\/strong> instalado, \u00e9 s\u00f3 clicar AQUI<\/strong><\/a> para fazer o download adequado ao seu dispositivo.<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n

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\nArquivo <\/strong><\/span><\/a>\n <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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