{"id":220608,"date":"2024-06-22T01:07:37","date_gmt":"2024-06-22T04:07:37","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=220608"},"modified":"2024-06-22T01:07:37","modified_gmt":"2024-06-22T04:07:37","slug":"a-problema-para-ajudar-na-escola-abacanja-e-laranxi","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-para-ajudar-na-escola-abacanja-e-laranxi\/","title":{"rendered":"(A) Problema para ajudar na escola: Abacanja e laranxi"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n

\n <\/p>\n
\n

\n

\n

Problema
\n (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Muito Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Uma grande rede de lanchonetes oferece dois tipos de sucos que fazem o maior sucesso: o abacanja <\/em><\/strong>e o laranxi<\/em><\/strong>.
\nPara produzi-los, s\u00e3o utilizadas duas frutas, abacaxi e laranja:<\/p>\n

    \n
  • Cada litro do abacanja \u00e9 produzido a partir de 0,4 litros de suco puro de abacaxi e 0,6 litros de suco puro de laranja.<\/li>\n
  • Cada litro do laranxi \u00e9 produzido a partir de 0,2 litros de suco puro de abacaxi e 0,8 litros de suco puro de laranja.<\/li>\n<\/ul>\n

    \"\"<\/p>\n

    Por raz\u00f5es comerciais, a rede de lanchonetes quer produzir semanalmente pelo menos 200 litros do abacanja e pelo menos 300 litros do laranxi. No entanto, para preservar a qualidade, as lanchonetes da rede s\u00f3 podem armazenar frutas suficientes para produzir no m\u00e1ximo 200 litros de suco puro de abacaxi e 500 litros de suco puro de laranja por semana.
    \nSabendo que o lucro nas vendas \u00e9 de R$ 4,00 por litro do abacanja e de R$ 5,00 por litro do laranxi, qual a quantidade em litros de cada tipo de suco que essa rede de lanchonetes deve vender semanalmente para maximizar seu lucro? Qual o lucro m\u00e1ximo que a rede poder\u00e1 obter por semana?<\/p>\n

    \n<\/div>\n

    \n

    \n

    Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

    \n

    \n

    Sejam [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex] as quantidades em litros dos sucos de abacanja <\/strong> e laranxi<\/strong> que a rede de lanchonetes deve vender semanalmente para maximizar seu lucro, respectivamente. Assim, a partir dos dados do problema, vamos estabelecer as restri\u00e7\u00f5es para [tex]x[\/tex] e [tex]y[\/tex]. Mas antes, vamos construir uma tabela com os dados para facilitar.<\/p>\n

    [tex]\\begin{array}{|c |c| c | c| c|}
    \n\\hline
    \n\\text{Sucos}&\\text{Litros a serem fabricados}&\\text{Suco puro de abacaxi utilizado}&\\text{Suco puro de laranja utilizado}&\\text{Lucro}\\\\
    \n\\hline
    \n\\text{Abacanja}&x&0,4\\cdot x\\,\\, litros & 0,6\\cdot x\\,\\, litros & 4\\cdot x\\,\\, reais\\\\
    \n\\hline
    \n\\text{Laranxi}&y&0,2\\cdot y\\,\\, litros & 0,8\\cdot y\\,\\, litros & 5\\cdot y\\,\\, reais\\\\
    \n\\hline
    \n\\text{Totais}&x+y&(0,4\\cdot x+0,2\\cdot y)\\,\\, litros & (0,6\\cdot x+0,8\\cdot y)\\,\\, litros & (4\\cdot x+5\\cdot y)\\,\\, reais\\\\
    \n\\hline
    \n\\end{array}[\/tex]<\/p>\n

    \n

    (1)<\/strong> Ser\u00e3o produzidos semanalmente pelo menos [tex]200[\/tex] litros do abacanja. Logo:<\/p>\n

      \n
    • [tex]x \\geqslant 200.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n

      (2)<\/strong> Ser\u00e3o produzidos semanalmente pelo menos [tex]300[\/tex] litros do laranxi. Logo:<\/p>\n

        \n
      • [tex]y \\geqslant 300.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n

        (3)<\/strong> Semanalmente, s\u00f3 podem ser armazenadas frutas suficientes para produzir no m\u00e1ximo [tex]200[\/tex] litros de suco puro de abacaxi. Assim:<\/p>\n

          \n
        • [tex]0,4\\cdot x+0,2\\cdot y \\leqslant 200.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n

          (4)<\/strong> Semanalmente, s\u00f3 podem ser armazenadas frutas suficientes para produzir no m\u00e1ximo [tex]500[\/tex] litros de suco puro de laranja . Assim:<\/p>\n

            \n
          • [tex]0,6\\cdot x+0,8\\cdot y \\leqslant 500.[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n

            Por (1)<\/strong>, (2)<\/strong>, (3)<\/strong> e (4)<\/strong>, as restri\u00e7\u00f5es para [tex]x[\/tex] e para [tex]y[\/tex] s\u00e3o atendidas pelos pares ordenados [tex](x,y)[\/tex] tais que:<\/p>\n

            [tex]\\begin{cases}
            \nx \\geqslant 200 \\\\
            \n y \\geqslant 300\\\\
            \n0,4\\cdot x+0,2\\cdot y \\leqslant 200\\\\
            \n0,6\\cdot x+0,8\\cdot y \\leqslant 500\\\\
            \n\\end{cases} \\,\\,\\,\\, .\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/p>\n

            Observe que nada impede que as quantidades de litros sejam dadas por n\u00fameros n\u00e3o inteiros, j\u00e1 que podemos ter, por exemplo, 5 litros e meio, 10,7 litros. Ent\u00e3o, vamos estudar cada uma dessas quatro condi\u00e7\u00f5es isoladamente em [tex]\\mathbb{R} \\times \\mathbb{R}[\/tex] e, em seguida, analisarmos as quatro simultaneamente.<\/p>\n

              \n
            • Condi\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{x \\geqslant 200 } [\/tex]<\/strong><\/li>\n

              Os pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] que satisfazem esta condi\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/p>\n

                – aqueles que est\u00e3o sobre a reta [tex]r[\/tex] definida por [tex]x=200 \\, [\/tex],
                \n\t– aqueles que est\u00e3o \u00e0 direita da reta [tex]r[\/tex] ([tex]x \\gt 200 \\, [\/tex]).<\/ul>\n

                A reta [tex]r[\/tex] \u00e9 a reta vertical que intersecta o eixo [tex]Ox[\/tex] em [tex]x=200 .[\/tex]<\/p>\n

                \n

                \"\"<\/p>\n

                \n

              • Condi\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{y \\geqslant 300} [\/tex]<\/strong><\/li>\n

                Os pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] que satisfazem esta condi\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/p>\n

                  – aqueles que est\u00e3o sobre a reta [tex]s[\/tex] definida por [tex]y=300 \\, [\/tex],
                  \n\t– aqueles que est\u00e3o acima da reta [tex]s[\/tex] ([tex]y \\gt 300 \\, [\/tex]).<\/ul>\n

                  A reta [tex]s[\/tex] \u00e9 a reta horizontal que intersecta o eixo [tex]Oy[\/tex] em [tex]y=300 .[\/tex]<\/p>\n

                  \n

                  <\/p>\n

                  \n

                • Condi\u00e7\u00e3o [tex] \\boxed{0,4\\cdot x+0,2\\cdot y \\leqslant 200} [\/tex]<\/strong><\/li>\n

                  Observe que
                  \n[tex]\\qquad 0,4x+0,2y \\leqslant 200 \\iff 2x+y \\leqslant 1000 \\iff y \\leqslant 1000-2x [\/tex],
                  \nassim, os pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] que satisfazem esta terceira condi\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/p>\n

                    – aqueles que est\u00e3o sobre a reta [tex]t[\/tex] definida por [tex]y=1000-2x \\, [\/tex] (e satisfazem a igualdade [tex]0,4\\cdot x+0,2\\cdot y =200[\/tex]);
                    \n\t– aqueles que est\u00e3o abaixo da reta [tex]t[\/tex] (e satisfazem a desigualdade [tex]0,4\\cdot x+0,2\\cdot y \\lt 200[\/tex]).<\/ul>\n

                    A reta [tex]t[\/tex] \u00e9 a reta que intersecta os eixos [tex]Ox[\/tex] e [tex]Oy[\/tex] em [tex]x=500 [\/tex] e [tex]y=1000[\/tex], respectivamente.<\/p>\n

                    \n

                    \"\"<\/p>\n

                    \n

                  • Condi\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{0,6\\cdot x+0,8\\cdot y \\leqslant 500}[\/tex]<\/strong><\/li>\n

                    Observe que:
                    \n[tex]\\qquad 0,6x+0,8y \\leqslant 500 \\iff \\dfrac{3}{4}x+ y \\leqslant 625\\iff y \\leqslant 625-\\dfrac{3}{4}x[\/tex],
                    \nassim, os pontos [tex]P=(x,y)[\/tex] que satisfazem esta \u00faltima condi\u00e7\u00e3o s\u00e3o:<\/p>\n

                      – aqueles que est\u00e3o sobre a reta [tex]k[\/tex] definida por [tex]y=625-\\dfrac{3}{4} \\, x[\/tex] (e satisfazem a igualdade [tex]0,6 x+0,8 y = 500[\/tex]),
                      \n\t– aqueles que est\u00e3o abaixo da reta [tex]k[\/tex] (e satisfazem a desigualdade [tex]0,6\\cdot x+0,8\\cdot y \\lt 500[\/tex]).<\/ul>\n

                      A reta [tex]k[\/tex] \u00e9 a reta que intersecta os eixos [tex]Ox[\/tex] e [tex]Oy[\/tex] em [tex]x=\\frac{2500}{3}\\approx 833 [\/tex] e [tex]y=625[\/tex], respectivamente.<\/p>\n

                      \n

                      \"\"\n<\/ul>\n

                      \n

                      Fazendo a interse\u00e7\u00e3o das quatro regi\u00f5es acima, obtemos a solu\u00e7\u00e3o do sistema [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] em [tex]\\mathbb{R} \\times \\mathbb{R}.[\/tex]<\/p>\n

                      \"\"\"\"<\/p>\n

                      Portanto, os pares ordenados que satisfazem as condi\u00e7\u00f5es (1)<\/strong>, (2)<\/strong>, (3)<\/strong> e (4)<\/strong>, s\u00e3o aqueles que definem os pontos do quadril\u00e1tero [tex]ABCD[\/tex] e de seu interior. Para melhor precisar essa regi\u00e3o, vamos determinar as coordenadas dos v\u00e9rtices do quadril\u00e1tero [tex]ABCD.[\/tex]<\/p>\n

                        \n
                      • O ponto [tex]A[\/tex]<\/strong> \u00e9 a interse\u00e7\u00e3o das retas [tex]r[\/tex] e [tex]s[\/tex]; assim, [tex]A=(200,300).[\/tex]<\/li>\n
                      • O ponto [tex]B[\/tex]<\/strong> \u00e9 a interse\u00e7\u00e3o das retas [tex]t[\/tex] e [tex]s[\/tex]; assim, [tex]y_B=300[\/tex] e, portanto, <\/li>\n

                        [tex]\\qquad y_B=1000-2x_B[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad 300=1000-2x_B[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad 2x_B=700[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad x_B=350.[\/tex]
                        \nLogo, [tex]B=(350,300).[\/tex]<\/p>\n

                      • O ponto [tex]C[\/tex]<\/strong> \u00e9 a interse\u00e7\u00e3o das retas [tex]t[\/tex] e [tex]k[\/tex]; assim: <\/li>\n

                        [tex]\\qquad \\begin{cases}
                        \ny_C=1000-2x_C\\\\
                        \ny_C=625-\\frac{3}{4}x_C\\end{cases}[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad 1000-2x_c=625-\\frac{3}{4}x_C[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad 4000-8x_c=2500-3x_C[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad 5x_C=1500[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad x_C=300[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad y_C=1000-2\\times 300[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad y_C=400.[\/tex]
                        \nLogo, [tex]C=(300,400).[\/tex]<\/p>\n

                      • O ponto [tex]D[\/tex]<\/strong> \u00e9 a interse\u00e7\u00e3o das retas [tex]r[\/tex] e [tex]k[\/tex]; assim, [tex]x_D=200[\/tex] e, portanto, <\/li>\n

                        [tex]\\qquad y_D=625-\\frac{3}{4}x_D[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad y_D=625-\\frac{3}{4}\\times 200[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad y_D=625-150[\/tex]
                        \n[tex]\\qquad y_D=475.[\/tex]
                        \nLogo, [tex]D=(200,475).[\/tex]<\/ul>\n

                        \"\"<\/p>\n

                        \n

                        O lucro que a rede de lanchonetes obt\u00e9m nas vendas \u00e9 de R$ 4,00 por litro do abacanja e de R$ 5,00 por litro do laranxi, portanto o lucro [tex]L[\/tex] obtido semanalmente com a venda de [tex]x[\/tex] litros do abacanja e de [tex]y[\/tex] litros do laranxi \u00e9 dado pela equa\u00e7\u00e3o [tex]\\boxed{L=4\\cdot x+5\\cdot y}.[\/tex]
                        \nTemos, ent\u00e3o uma fun\u00e7\u00e3o [tex]L[\/tex] de duas vari\u00e1veis, definida por [tex]L(x,y)=4\\cdot x+5\\cdot y[\/tex], para a qual precisamos saber o valor m\u00e1ximo que ela assume dentre os pares ordenados [tex](x,y)[\/tex] da regi\u00e3o [tex]\\textcolor{red}{R}[\/tex] definida pelo quadril\u00e1tero [tex]ABCD.[\/tex] S\u00e3o infinitos pares ordenados; logo, n\u00e3o podemos calcular [tex]L(x,y)[\/tex] para cada um deles. Mas note que, para cada n\u00famero real [tex]m[\/tex], a equa\u00e7\u00e3o [tex]4\\cdot x+5\\cdot y=m[\/tex] descreve uma reta.
                        \nAssim, podemos analisar geometricamente a fam\u00edlia de retas paralelas descritas por [tex]4x+5y=z[\/tex], para n\u00fameros reais positivos [tex]z[\/tex], no plano cartesiano no qual esteja representada a regi\u00e3o [tex]\\textcolor{red}{R}.[\/tex]
                        \nA interse\u00e7\u00e3o de cada uma dessas retas com a regi\u00e3o [tex]\\textcolor{red}{R}[\/tex] determina os pontos cujas coordenadas definem as quantidades em litros dos dois sucos cujas vendas propiciam o lucro [tex]z[\/tex] que define a reta em quest\u00e3o.<\/p>\n

                        \"\"<\/p>\n

                        Para facilitar a an\u00e1lise, podemos utilizar o applet abaixo. <\/p>\n

                        No aplicativo podemos visualizar um plano cartesiano [tex]xOy[\/tex] e a regi\u00e3o [tex]\\textcolor{red}{R}[\/tex]. Vemos tamb\u00e9m a reta definida pela equa\u00e7\u00e3o [tex]4\\cdot x+5\\cdot y=1[\/tex]; esta \u00e9 a primeira reta da fam\u00edlia de retas [tex]4\\cdot x+5\\cdot y=z[\/tex], na qual a vari\u00e1vel [tex]z[\/tex] representa o lucro obtido semanalmente com a venda de [tex]x[\/tex] litros do abacanja e de [tex]y[\/tex] litros do laranxi. As demais retas dessa fam\u00edlia s\u00e3o obtidas movimentando-se horizontalmente o ponto que aparece na parte inferior esquerda do applet, sobre o segmento verde. Esse ponto indicar\u00e1 valores de [tex]1[\/tex] a [tex]3500[\/tex], valores estes que representar\u00e3o lucros de [tex]R\\$ \\, 1,00[\/tex] a [tex]R\\$ \\, 3\\,500,00[\/tex] com a venda dos dois sucos.
                        \nPara cada reta obtida com a movimenta\u00e7\u00e3o do ponto Lucro<\/strong>, a sua equa\u00e7\u00e3o ser\u00e1 exibida na parte superior do applet, a direita.<\/p>\n

                        \n