\n
Problema (OPM<\/strong>, 2014 – Adaptado) Na figura abaixo vemos um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles [tex]ABC[\/tex] de base [tex]\\overline{BC}[\/tex] medindo [tex]10\\, cm[\/tex] e cuja medida do \u00e2ngulo relativo ao v\u00e9rtice [tex]\\hat{A}[\/tex] \u00e9 [tex]20^\\circ.[\/tex] \n<\/div>\n \n Lembretes <\/p>\n \n (1)<\/strong><\/span> A soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex]. Nota\u00e7\u00f5es:<\/strong> <\/span> \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n O tri\u00e2ngulo [tex]ABC[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles com base [tex]\\overline{BC}[\/tex]; assim, seus \u00e2ngulos internos com v\u00e9rtices em [tex]B[\/tex] e [tex]C[\/tex] t\u00eam a mesma medida. Com isso, como a soma das medidas dos \u00e2ngulos internos de um tri\u00e2ngulo \u00e9 [tex]180^\\circ[\/tex], segue que:<\/p>\n Perceba agora que o tri\u00e2ngulo [tex]EBC[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles com base [tex]\\overline{EC}[\/tex], j\u00e1 que [tex]\\overline{EB}[\/tex] e [tex]\\overline{BC}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento. Logo, segue que:<\/p>\n Como [tex] A \\widehat{B} C=80^\\circ[\/tex], [tex] E \\widehat{B} C=20^\\circ[\/tex] e [tex] A \\widehat{B} C= E \\widehat{B} C+D \\widehat{B}E[\/tex], conclu\u00edmos que:<\/p>\n Voc\u00ea pode estar se perguntando o que todas essas medidas de \u00e2ngulos t\u00eam a ver com um problema no qual precisamos encontrar uma medida de segmento, n\u00e3o \u00e9? Com isso, podemos concluir que o tri\u00e2ngulo [tex]EDB[\/tex] \u00e9 mais do que um tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles: [tex]EDB[\/tex] \u00e9 um tri\u00e2ngulo equil\u00e1tero!<\/strong> Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir do 8\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n
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\nSobre os segmentos [tex]\\overline{AB}[\/tex] e [tex]\\overline{AC}[\/tex] foram marcados os pontos [tex]D[\/tex] e [tex]E[\/tex], ficando ent\u00e3o definidos os segmentos [tex]\\overline{ED}[\/tex] e [tex]\\overline{EB}[\/tex], ambos com comprimento [tex]10\\, cm.[\/tex]
\nQual \u00e9 a medida do segmento [tex]\\mathbf{\\overline{BD}}\\, [\/tex]?<\/strong><\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/06\/prob354.png\")
<\/p>\n![\"explicador_p\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/p>\n
\n(2)<\/strong><\/span> Todo tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles possui os \u00e2ngulos da base com a mesma medida.<\/p>\n
\n– Denotaremos a medida do \u00e2ngulo de v\u00e9rtice [tex]V[\/tex] e definido por dois pontos, digamos [tex]X [\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]X\\widehat{V}Y. [\/tex]
\n– Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos [tex]X[\/tex] e [tex]Y[\/tex], por [tex]\\overline{XY}[\/tex] e o seu comprimento por [tex]XY[\/tex].<\/p>\n
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\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob354_1.png\")
<\/td>\n ![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob354_2.png\")
<\/td>\n ![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob354_3.png\")
<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\nMas observe que os segmentos [tex]\\overline{ED}[\/tex] e [tex]\\overline{EB}[\/tex] t\u00eam o mesmo comprimento e, portanto, o tri\u00e2ngulo [tex]EDB[\/tex] \u00e9 is\u00f3sceles. Dessa forma, [tex]B\\widehat{D}E= D\\widehat{B}E=60^\\circ[\/tex] e, da\u00ed resulta que:<\/p>\n\n
\nE como [tex]\\overline{ED}[\/tex] e [tex]\\overline{EB}[\/tex] t\u00eam comprimento [tex]10\\, cm[\/tex], todas as medidas angulares que encontramos nos permitem, finalmente, concluir que a medida do segmento [tex]\\overline{BD}[\/tex] \u00e9 [tex]\\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$10\\,cm$}.[\/tex]<\/p>\n\n
\n ![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob354_4.png\")
<\/td>\n ![](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2019\/09\/prob354_5.png\")
<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
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\n <\/td>\n\n
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