\n
Problema (Adaptado da Olimpiada Matem\u00e1tica Espa\u00f1ola<\/strong>-2000) Considere a sequ\u00eancia [tex]\\left(a_1,a_2,a_3, \\, \\cdots, \\, a_{2019}, \\, \\cdots\\right) [\/tex] de n\u00fameros naturais assim definida: \n<\/div>\n \n Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n Vamos inicialmente calcular os primeiros termos da sequ\u00eancia definida no problema:<\/p>\n A partir da f\u00f3rmula Com esses c\u00e1lculos iniciais, j\u00e1 podemos observar que:<\/p>\n ou seja,<\/p>\n E essa observa\u00e7\u00e3o procede, j\u00e1 que parece que, a partir do terceiro termo, est\u00e1 surgindo um padr\u00e3o com rela\u00e7\u00e3o aos dois \u00faltimos algarismos dos termos da sequ\u00eancia: se um termo da sequ\u00eancia termina em [tex]\\textcolor{red}{56}[\/tex], o termo seguinte termina em [tex]\\textcolor{blue}{92}.[\/tex]<\/strong> Portanto, como [tex]2019[\/tex] \u00e9 \u00edmpar, os dois \u00faltimos algarismos do termo [tex]a_{2019}[\/tex] s\u00e3o [tex]\\textcolor{red}{56}.[\/tex]<\/p>\n Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n \n Se for conveniente, voc\u00ea pode obter um arquivo PDF desta p\u00e1gina, com o problema e a solu\u00e7\u00e3o, clicando no bot\u00e3o abaixo.
\n (A partir da 2\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n
\n
\n[tex]\\qquad \\begin{cases}
\na_1=3\\\\
\na_{n+1} = a_n + a_n^2, \\text{ para } n \\gt 1
\n\\end{cases} \\, \\, \\, \\\\
\n \\, \\, [\/tex].
\nDetermine os dois \u00faltimos algarismos do termo [tex]a_{2019}[\/tex] dessa sequ\u00eancia.<\/p>\n
\n\n
\n[tex]\\qquad a_{n+1} = a_n + a_n^2 \\, [\/tex], [tex] \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]
\nvamos calcular alguns dos termos seguintes:<\/p>\n\n
\n[tex]\\qquad a_{1+1} = a_1 + a_1^2 [\/tex]
\n[tex]\\qquad a_{2} = 3 + 3^2 [\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{a_{2}=12}. [\/tex]<\/li>\n
\n[tex]\\qquad a_{2+1} = a_2 + a_2^2 [\/tex]
\n[tex]\\qquad a_{3} = 12 + 12^2 [\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{a_{3}=156}. [\/tex]<\/li>\n
\n[tex]\\qquad a_{3+1} = a_3 + a_3^2 [\/tex]
\n[tex]\\qquad a_{4} = 156+ 156^2 [\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{a_{4}=24 \\, 492}. [\/tex]<\/li>\n
\n[tex]\\qquad a_{4+1} = a_4 + a_4^2 [\/tex]
\n[tex]\\qquad a_{5} = 24492+ 24492^2 [\/tex]
\n[tex]\\qquad \\boxed{a_{5}=599 \\, 882 \\, 556}. [\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n\n
\n
\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{a_{n+1} = a_n + a_n^2=a_n\\left(1+a_n\\right)=a_n \\cdot \\left(a_n+1 \\right)}. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]
\nAnalisando os primeiros resultados<\/p>\n\n
\nSer\u00e1 que \u00e9 isso mesmo?
\n– Vamos investigar!
\n(1)<\/strong> Suponhamos que um termo [tex]a_m[\/tex] termine em [tex]\\textcolor{red}{56}[\/tex]. Assim, [tex]a_m[\/tex] \u00e9 da forma [tex]a_m= 100k+ \\textcolor{red}{56}[\/tex], para algum n\u00famero natural [tex]k.[\/tex]
\nCom isso, por [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], teremos que:
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = a_m \\cdot \\left(a_m+1 \\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = (100k+ \\textcolor{red}{56}) \\cdot \\left( (100k+ \\textcolor{red}{56})+1 \\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = (100k+ 56) \\cdot \\left( 100k+ 57 \\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = 10000k^2+5700k+5600k+3192[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = 100\\left(100k^2+57k+56k\\right)+(3100+92)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = 100\\left(100k^2+57k+56k+31\\right)+\\textcolor{blue}{92}.[\/tex]
\nSe [tex]t=100k^2+57k+56k+31[\/tex], ent\u00e3o
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = 100t+\\textcolor{blue}{92}[\/tex], com [tex]t \\in \\mathbb{N}[\/tex],
\nou seja [tex]a_{m+1}[\/tex] termina de fato em [tex]\\textcolor{blue}{92}.[\/tex]
\n(2)<\/strong> Suponhamos que um termo [tex]a_m[\/tex] termine em [tex]\\textcolor{blue}{92}[\/tex]. Assim, [tex]a_m[\/tex] \u00e9 da forma [tex]a_m= 100k+ \\textcolor{blue}{92}[\/tex], para algum n\u00famero natural [tex]k.[\/tex]
\nCom isso, por [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], teremos que:
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = a_m \\cdot \\left(a_m+1 \\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = (100k+ \\textcolor{blue}{92}) \\cdot \\left( (100k+ \\textcolor{blue}{92})+1 \\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = (100k+ 92) \\cdot \\left( 100k+ 93 \\right)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = 10000k^2+9300k+9200k+8556[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = 100\\left(100k^2+93k+92k\\right)+(8500+56)[\/tex]
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = 100\\left(100k^2+93k+92k+85\\right)+\\textcolor{red}{56}.[\/tex]
\nSe [tex]t=100k^2+93k+92k+85[\/tex], ent\u00e3o
\n[tex]\\qquad \\qquad a_{m+1} = 100t+\\textcolor{red}{56}[\/tex], com [tex]t \\in \\mathbb{N}[\/tex],
\nou seja [tex]a_{m+1}[\/tex] termina de fato em [tex]\\textcolor{red}{56}.[\/tex]
\nPodemos ir al\u00e9m…
\nObserve que, como
\n[tex]\\qquad a_{3} = 1\\textcolor{red}{56}[\/tex], [tex]a_{4} = 24 \\, 4\\textcolor{blue}{92} [\/tex], [tex]a_{5}=599 \\, 882 \\, 5\\textcolor{red}{56}[\/tex],
\npor (1) e (2), podemos concluir que<\/p>\n\n
\n\n
\n ![\"\"](\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\")
<\/td>\n\n
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