{"id":220236,"date":"2024-06-10T22:10:42","date_gmt":"2024-06-11T01:10:42","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=220236"},"modified":"2024-06-10T22:17:11","modified_gmt":"2024-06-11T01:17:11","slug":"a-problema-para-ajudar-na-escola-maior-e-menor","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-para-ajudar-na-escola-maior-e-menor\/","title":{"rendered":"(A) Problema para ajudar na escola: Maior e menor"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n

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\n

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Problema
\n (A partir do 9\u00ba ano do E. F. – N\u00edvel de dificuldade: Dif\u00edcil<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n

Qual o maior inteiro [tex]x[\/tex] que satisfaz simultaneamente as duas desigualdades do sistema abaixo? E o menor?<\/p>\n

\n[tex]\\begin{cases}
\n10(x+1) \\leq 6(2x+1)-x\\\\
\n \\, \\, \\\\
\n4(x-10)+6x \\lt -6(2-x)
\n\\end{cases}[\/tex]<\/p>\n<\/div>\n

\n

\n

Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n

Para obter a solu\u00e7\u00e3o desse sistema composto de duas desigualdades, vamos resolver cada uma delas separadamente e fazer a intersec\u00e7\u00e3o das duas solu\u00e7\u00f5es, j\u00e1 que o sistema indica que as duas desigualdades devem ser satisfeitas simultaneamente.<\/p>\n

\n►<\/span> [tex]10(x+1) \\leq 6(2x+1)-x[\/tex]
\nA sequ\u00eancia de equival\u00eancias a seguir nos fornece a solu\u00e7\u00e3o da desigualdade em quest\u00e3o:
\n[tex]\\qquad 10(x+1) \\leq 6(2x+1)-x \\iff 10x+10 \\leq 12x+6-x \\iff \\\\
\n\\qquad\\iff 4 \\leq x \\iff \\boxed{x \\geq 4}\\,.[\/tex]
\nA solu\u00e7\u00e3o dessa desigualdade no conjunto dos n\u00fameros reais pode ser representada graficamente, conforme indicado na figura a seguir.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

\n►<\/span> [tex]4(x-10)+6x \\lt -6(2-x)[\/tex]
\nA sequ\u00eancia de equival\u00eancias a seguir nos fornece a solu\u00e7\u00e3o desta desigualdade:
\n[tex]\\qquad 4(x-10)+6x \\lt -6(2-x) \\iff 4x-40+6x \\lt -12+6x \\iff \\\\
\n\\qquad \\iff 4x \\lt 28 \\iff \\boxed{x \\lt 7} \\;.
\n[\/tex]
\nA solu\u00e7\u00e3o dessa desigualdade no conjunto dos n\u00fameros reais est\u00e1 representada graficamente na figura a seguir.<\/p>\n

\"\"\n<\/p>\n

Vamos comparar as duas solu\u00e7\u00f5es para obter a solu\u00e7\u00e3o do sistema no conjunto dos n\u00fameros reais.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Portanto, a solu\u00e7\u00e3o do sistema em [tex]\\mathbb{R}[\/tex] \u00e9 o seguinte conjunto: [tex]\\{x\\in \\mathbb{R} \\text{ tais que } 4 \\leq x \\lt 7\\}.[\/tex] Esse conjunto \u00e9 denotado por [tex][4 \\, , \\, 7[.[\/tex]<\/p>\n

Finalmente, j\u00e1 podemos solucionar o problema e determinar o maior inteiro e o menor inteiro que satisfazem simultaneamente as duas desigualdades do sistema.<\/p>\n