{"id":220210,"date":"2024-06-10T21:33:35","date_gmt":"2024-06-11T00:33:35","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=220210"},"modified":"2024-06-10T21:33:35","modified_gmt":"2024-06-11T00:33:35","slug":"a-problema-para-ajudar-na-escola-fatorial-de-quanto","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-para-ajudar-na-escola-fatorial-de-quanto\/","title":{"rendered":"(A) Problema para ajudar na escola: Fatorial de quanto?"},"content":{"rendered":"<p class=\"ti3\"  style=\"text-align:center;\">Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;margin-top:10px;\">\n<input class=\"bo1 c1 cb13\" style=\"width:150px;\" value=\"Problema\" title=\"Clique aqui\" type=\"button\" onclick=    \"if(this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display != ''){this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = '';this.value = 'Ocultar';} else{this.parentNode.getElementsByTagName('div')[0].style.display = 'none'; this.value = 'Problema';}\" \/>  <\/p>\n<div style=\"display: none;\">\n<p style=\"margin:10px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:27px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:20px; margin-bottom: 10px;\">Problema<br \/>\n<span style=\"font-size:12px;color:#00BF00\"> (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; <span style=\"font-weight: normal;\"> N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil<\/span>)<\/span><\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>Determine o n\u00famero natural [tex]n[\/tex] tal que [tex]\\boxed{ \\, n!=2^{15} \\cdot 3^6  \\cdot 5^3 \\cdot 7^2 \\cdot 11 \\cdot 13 \\, }.[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"cb36 g1n\" style=\"margin:30px;line-height:30px; width:90%; margin-left:auto; margin-right:auto; \">\n<img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-content\/uploads\/2013\/01\/menino.jpg\" style=\"border:none\"  alt=\"explicador_p\" width=\"99\" height=\"120\" class=\"alignleft size-full wp-image-1001\" \/> <\/p>\n<p class=\"c3 ti3\" style=\"line-height:28px; margin-bottom: 20px;\"> AJUDA<\/p>\n<p>Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo, utilizamos a nota\u00e7\u00e3o [tex]n![\/tex] (leia n fatorial) para indicar o produto de todos os n\u00fameros naturais n\u00e3o nulos menores do que ou iguais a [tex]n:[\/tex]<br \/>\n[tex] \\,  \\, [\/tex]<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad \\boxed{n!=1\\cdot 2 \\cdot 3 \\cdot  \\,  \\ldots  \\,   \\cdot (n-2)\\cdot  (n-1) \\cdot n} \\, .[\/tex]<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p>Assim, por exemplo, [tex] \\, \\boxed{3!=1\\cdot 2 \\cdot 3=6} \\, [\/tex].<br \/>\nOutro exemplo, [tex] \\, \\boxed{5!=1\\cdot 2\\cdot 3\\cdot 4\\cdot 5=120}[\/tex].<\/p>\n<p style=\"margin:10px;\">\n<p>Para aprender um pouco mais sobre essa nota\u00e7\u00e3o, visite <a href=\"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/sala-para-leitura_009-fatorial-e-permutacao-simples\/\" rel=\"noopener\" target=\"_blank\"><strong><span style=\"color:#800000;\">esta Sala<\/span><\/strong><\/a>  do nosso Blog e leia as informa\u00e7\u00f5es do primeiro quadro: <strong>Fatorial<\/strong>.<\/p>\n<p style=\"margin:10px\">\n<\/div>\n<p style=\"margin:30px\">\n<div class=\"g1n\" style=\"line-height:30px;\">\n<p class=\"tit\" style=\"line-height:28px; margin-bottom: 10px;\">Solu\u00e7\u00e3o  <\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 20px;border: 0 none\"\/>\n<p>&#8211; Um passo importante para resolver este problema \u00e9 observar o expoente do fator [tex]5[\/tex] da decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n![\/tex] como produto de primos positivos. O expoente [tex]3[\/tex] indica que existem tr\u00eas n\u00fameros menores do que ou iguais a [tex]n[\/tex] que s\u00e3o m\u00faltiplos de [tex]5[\/tex]; na sequ\u00eancia: [tex]5=1\\times 5, \\, 10=2\\times 5, \\, 15=3\\times 5[\/tex].<br \/>\nDessa forma, [tex]n[\/tex] n\u00e3o \u00e9 menor do que [tex]15[\/tex]; pois, se fosse, apenas [tex]5[\/tex] e [tex]10[\/tex] contribuiriam com o fator [tex]5[\/tex] na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n![\/tex] e, portanto, o expoente de [tex]5[\/tex] seria [tex]2[\/tex] e n\u00e3o [tex]3.[\/tex] Observe tamb\u00e9m que todos os primos menores do que [tex]15[\/tex] aparecem na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n! \\, .[\/tex] Portanto:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]n\\geqslant 15.\\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>&#8211; Observe agora que [tex]17[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo e n\u00e3o est\u00e1 na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n![\/tex]; assim:<\/p>\n<ul>\n<li>[tex]n\\lt 17. \\qquad \\qquad \\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex]<\/li>\n<\/ul>\n<p>Por [tex]\\textcolor{#800000}{(i)}[\/tex] e [tex]\\textcolor{#800000}{(ii)}[\/tex], ficamos com apenas duas op\u00e7\u00f5es para [tex]n[\/tex]: [tex]n=15[\/tex] ou [tex]n=16.[\/tex]<br \/>\n&#8211; Analisemos agora o expoente do fator [tex]2[\/tex] da decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n![\/tex]:[tex] \\, 15[\/tex]. Para isso, vamos observar os pares de [tex]2[\/tex] at\u00e9 [tex]16[\/tex] e contar quantas vezes aparece nesses n\u00fameros o fator [tex]2[\/tex]:<br \/>\n[tex]\\qquad \\qquad 2=2^{\\textcolor{red}{1}} \\, ;\\,4=2^{\\textcolor{red}{2}} \\, ;\\,6=2^{\\textcolor{red}{1}}\\times 3 \\, ;\\,8=2^{\\textcolor{red}{3}} \\, ;\\,10=2^{\\textcolor{red}{1}}\\times 5 \\, ;\\\\<br \/>\n\\qquad \\qquad \\quad \\quad  12=2^{\\textcolor{red}{2}}\\times 3 \\, ;\\,14=2^{\\textcolor{red}{1}}\\times7 \\, ;\\, 16=2^{\\textcolor{red}{4}}.[\/tex]<br \/>\nNote que se [tex]n [\/tex] fosse [tex]15[\/tex], ter\u00edamos [tex]\\textcolor{red}{1+2+1+3+1+2+1}=11[\/tex] fatores primos [tex]2[\/tex] na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n![\/tex], o que n\u00e3o ocorre.<br \/>\nJ\u00e1 para [tex]n=16[\/tex],  ter\u00edamos [tex]\\textcolor{red}{1+2+1+3+1+2+1+4}=15[\/tex] fatores primos [tex]2[\/tex] na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n![\/tex], o que \u00e9 confirmado pelo expoente [tex]15[\/tex] do [tex]2[\/tex] na decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]n![\/tex].<br \/>\nPelo exposto, conclu\u00edmos que [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=16$} \\, .[\/tex]<\/p>\n<hr style=\"height:1px; width:100%;background-color:#800000; margin-top: 10px; margin-bottom: 15px;border: 0 none\"\/>\n<p class=\"g2\" style=\"line-height:20px;\">Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos <strong>Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema. Problema (A partir do 9\u00ba ano do E. F. &#8211; N\u00edvel de dificuldade: F\u00e1cil) Determine o n\u00famero natural [tex]n[\/tex] tal que [tex]\\boxed{ \\, n!=2^{15} \\cdot 3^6 \\cdot 5^3 \\cdot 7^2 \\cdot 11 \\cdot 13 \\, }.[\/tex] AJUDA Se [tex]n[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural n\u00e3o nulo, utilizamos a &hellip; <\/p>\n<p><a class=\"more-link btn\" href=\"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-para-ajudar-na-escola-fatorial-de-quanto\/\">Continue lendo<\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"parent":0,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"template-onecolumn.php","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-220210","page","type-page","status-publish","hentry","nodate","item-wrap"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/220210","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=220210"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/220210\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":220211,"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/220210\/revisions\/220211"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=220210"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}