{"id":220125,"date":"2024-06-10T04:27:37","date_gmt":"2024-06-10T07:27:37","guid":{"rendered":"http:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/?page_id=220125"},"modified":"2024-06-10T04:27:37","modified_gmt":"2024-06-10T07:27:37","slug":"a-problema-para-ajudar-na-escola-uma-funcao-de-euler","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/clubes.obmep.org.br\/blog\/a-problema-para-ajudar-na-escola-uma-funcao-de-euler\/","title":{"rendered":"(A) Problema para ajudar na escola: Uma fun\u00e7\u00e3o de Euler"},"content":{"rendered":"

Clique no bot\u00e3o abaixo para visualizar o problema.<\/p>\n

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Problema
\n (A partir da 1\u00aa s\u00e9rie do E. M. – N\u00edvel de dificuldade: M\u00e9dio<\/span>)<\/span><\/p>\n

\n\"\"<\/p>\n

\nLeonhard Euler<\/em><\/strong> (1707-1783) foi um brilhante matem\u00e1tico su\u00ed\u00e7o que deixou in\u00fameras contribui\u00e7\u00f5es n\u00e3o s\u00f3 para a Matem\u00e1tica, mas tamb\u00e9m para a F\u00edsica, para a Qu\u00edmica e para a Astronomia.
\nEntre seus in\u00fameros feitos, Euler definiu uma importante fun\u00e7\u00e3o, comumente denotada pela letra grega [tex]\\varphi[\/tex] (phi), bastante utilizada em Teoria dos N\u00fameros, em particular na Criptografia.
\nEssa fun\u00e7\u00e3o, hoje conhecida como fun\u00e7\u00e3o [tex]\\varphi[\/tex] de Euler<\/span><\/strong>, associa a cada inteiro positivo [tex]n[\/tex] a quantidade de inteiros positivos menores do que [tex]n[\/tex] que s\u00e3o coprimos com [tex]n.[\/tex]<\/strong><\/p>\n

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\nConsidere a fun\u00e7\u00e3o
\n[tex]\\qquad \\qquad \\begin{align*} \\varphi: \\, \\{1,2,3,4,5, \\, \\cdots \\, \\} & \\rightarrow \\, \\{1,2,3,4,5, \\, \\cdots \\, \\}\\\\
\nn &\\mapsto \\, \\varphi(n)\\end{align*}[\/tex]
\nem que [tex]\\varphi(n)[\/tex] \u00e9 a quantidade de inteiros positivos menores do que [tex]n[\/tex] que s\u00e3o coprimos com [tex]n.[\/tex]<\/p>\n

(a)<\/strong> Determine [tex]\\varphi(20)[\/tex].
\n(b)<\/strong> Determine [tex] \\varphi(23)[\/tex].
\n(c)<\/strong> Se [tex]p[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural primo, determine [tex] \\varphi(p)[\/tex].<\/p>\n

\n<\/div>\n

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\n\"explicador_p\"<\/p>\n

Lembrete<\/p>\n

Se [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] s\u00e3o n\u00fameros naturais tais [tex]mdc(n,m)=1[\/tex], ent\u00e3o [tex]m[\/tex] e [tex]n[\/tex] s\u00e3o ditos coprimos<\/strong>, ou relativamente primos<\/strong> ou, ainda, primos entre si<\/strong>.<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o <\/p>\n

\n(a)<\/strong> Poder\u00edamos calcular o [tex]mdc[\/tex] entre [tex]20[\/tex] e todos os n\u00fameros naturais menores do que [tex]20[\/tex] e contarmos aqueles para os quais o [tex]mdc[\/tex] \u00e9 igual [tex]1.[\/tex] Mas podemos economizar tempo e contas, observando que:<\/p>\n

➤<\/span> Como [tex]20[\/tex] \u00e9 um n\u00famero par, ent\u00e3o todo n\u00famero natural par [tex]a[\/tex] \u00e9 tal que [tex]mdc(a,20)\\ne 1[\/tex]; j\u00e1 que, nesse caso, [tex]mdc(a,20)\\geqslant 2.[\/tex]
\n ➤<\/span> Como [tex]20[\/tex] \u00e9 um m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex], ent\u00e3o todo n\u00famero natural [tex]b[\/tex] m\u00faltiplo de [tex]5[\/tex] \u00e9 tal que [tex]mdc(b,20)\\ne 1[\/tex]; j\u00e1 que, nesse caso, [tex]mdc(b,20)\\geqslant 5.[\/tex]<\/p>\n

Dessa forma, n\u00e3o precisamos calcular o [tex]mdc[\/tex] entre [tex]20[\/tex] e os n\u00fameros naturais menores do que [tex]20[\/tex] que s\u00e3o pares ou m\u00faltiplos de [tex]5.[\/tex] Vamos ent\u00e3o aos c\u00e1lculos, lembrando que a decomposi\u00e7\u00e3o de [tex]20[\/tex] como produto de pot\u00eancias de n\u00fameros primos \u00e9 [tex]20=2^2 \\cdot 5.[\/tex]<\/p>\n

[tex]mdc(20,\\textcolor{red}{1})=1[\/tex] ; [tex]mdc(20,\\textcolor{red}{3})=1[\/tex] ; [tex]mdc(20,\\textcolor{red}{7})=1[\/tex] ; [tex]mdc(20,\\textcolor{red}{9})=1[\/tex] ; [tex]mdc(20,\\textcolor{red}{11})=1[\/tex] ; [tex]mdc(20,\\textcolor{red}{13})=1[\/tex] ; [tex]mdc(20,\\textcolor{red}{17})=1[\/tex] ; [tex]mdc(20,\\textcolor{red}{19})=1.[\/tex]
\nPelos nossos c\u00e1lculos, conclu\u00edmos que [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\varphi(20)=8$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

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(b)<\/strong> Neste item tamb\u00e9m poder\u00edamos calcular o [tex]mdc[\/tex] entre [tex]23[\/tex] e todos os n\u00fameros naturais menores do que ele. Mas observe que [tex]23[\/tex] \u00e9 um n\u00famero primo; assim, se [tex]x[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural menor do que [tex]23[\/tex], todos os fatores primos de [tex]x[\/tex] s\u00e3o menores do que [tex]23[\/tex] e, com isso, [tex]mdc(23,x)=1.[\/tex] Assim, todo n\u00famero natural menor do que [tex]23[\/tex] \u00e9 coprimo com [tex]23[\/tex]; portanto, conclu\u00edmos que [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\varphi(23)=22$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

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(c)<\/strong> Este item \u00e9 uma generaliza\u00e7\u00e3o do item anterior, por isso vamos utilizar o mesmo racioc\u00ednio!
\nSejam [tex]p[\/tex] um n\u00famero natural primo e [tex]m[\/tex] um n\u00famero natural menor do que [tex]p[\/tex]. Note que qualquer divisor [tex]d[\/tex] de [tex]m[\/tex] \u00e9 tal que [tex]d \\leqslant m[\/tex], donde [tex]d \\lt p[\/tex]. Como [tex]p \\, [\/tex] e [tex] \\, 1[\/tex] s\u00e3o os \u00fanicos divisores de [tex]p[\/tex], ent\u00e3o [tex]p[\/tex] e [tex]m[\/tex] t\u00eam apenas um divisor comum: [tex]1.[\/tex]
\nDessa forma, qualquer n\u00famero natural n\u00e3o nulo [tex]m[\/tex] menor do que [tex]p[\/tex] \u00e9 tal que [tex]mdc(p,m)=1[\/tex] e, portanto, os coprimos com [tex]p[\/tex] menores do que ele s\u00e3o: <\/p>\n

[tex]\\underbrace{1 \\, , \\, 2 \\, , \\, 3 \\, , \\, \\dots \\, , \\, p-1}_{p-1}[\/tex] <\/p>\n

Com isso, conclu\u00edmos que se [tex]p[\/tex] \u00e9 um n\u00famero natural primo, ent\u00e3o [tex] \\, \\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\\varphi(p)=p-1$} \\, .[\/tex]<\/p>\n

Assim, em particular, [tex]\\varphi(11)= 10[\/tex] , [tex]\\varphi(13)= 12[\/tex] , [tex]\\varphi(19)= 18[\/tex] , [tex]\\varphi(2719)= 2718[\/tex] , [tex]\\varphi(8893)= 8892[\/tex] e [tex]\\varphi(p)=p-1[\/tex], para todos os [tex]1229[\/tex] n\u00fameros desta lista<\/strong><\/a>.<\/p>\n

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Solu\u00e7\u00e3o elaborada pelos Moderadores do Blog<\/strong>.<\/p>\n<\/div>\n

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Um v\u00eddeo <\/p>\n

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\nA fun\u00e7\u00e3o [tex]\\varphi[\/tex] de Euler<\/span><\/strong> \u00e9 tamb\u00e9m conhecida como fun\u00e7\u00e3o totiente de Euler<\/strong> e pode ser denotada igualmente pela letra grega phi mai\u00fascula: [tex]\\Phi.[\/tex]
\nAssista a um v\u00eddeo da Khan Academy<\/em> sobre essa fun\u00e7\u00e3o e aprenda um pouco mais sobre ela: \u00e9 s\u00f3 clicar na setinha e <\/p>\n

Bons Estudos! <\/p>\n

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